- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Часть 1. Гамма-, бета- и пси-функции
- •390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
- •Предисловие
- •§ 1. Гамма-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 2 рода)
- •Определение и простейшие свойства гамма-функции в комплексной области
- •Рассмотрим замкнутую область(см. Рис. 1.1).
- •Дальнейшие свойства гамма-функции
- •Примеры
- •Примеры на применение формулы
- •Другое интегральное представление гамма-функции и следствия из него
- •§ 2. Бета-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 1 рода)
- •2.1. Определение и связь с гамма-функцией
- •2.2. Свойства бета–функции
- •2.3. Некоторые обозначения и символы
- •§ 3. Гамма-функция в вещественной области
- •Функциональная характеристика гамма-функции
- •3.2. График функции
- •3.3. График функции
- •4.2. Функция прии ее график
- •4.3. Дальнейшие свойства пси-функции
- •4.4. Вычисление преобразования Лапласа некоторых элементарных функций
- •4.4.1. Преобразование Лапласа функции
- •4.4.2. Преобразование Лапласа функции
§ 1. Гамма-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 2 рода)
Определение и простейшие свойства гамма-функции в комплексной области
При рассмотрим функцию
, (1.1)
где
Свойство 1.1. Функция определена и непрерывна в области(в правой полуплоскости).
Доказательство. Оценим подынтегральную функцию в (1) по модулю:
Рассмотрим замкнутую область(см. Рис. 1.1).
Пусть .
При
при
.
Отсюда
для доказательства сходимости второго интеграла применим интегрирование по частям:
.
Будем продолжать интегрирование по частям до тех пор, пока показатель степени не уменьшится до величины ,. Тогда
.
Таким образом, функция является мажорантой дляна. Поскольку интегралто интегралсходится равномерно относительно, следовательно, функцияопределена и непрерывна в областии в силу произвольностии- в областич.т.д.
Свойство 1.2. Функция аналитична в области, причем
. (1.2)
Доказательство.
.
Пусть .
При
при интегралсходится (см. доказательство свойства 1.1).
Докажем, что сходится интеграл . Интегрируя по частям, получаем:
.
Тем самым функция является интегрируемой мажорантой для интеграла в правой части (2), поэтому он сходится равномерно по , правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру применимо, и формула (2) доказана.
Свойство 1.3. из областивыполняется тождество
(формула понижения; рекуррентная формула).
Доказательство. Интегрируя по частям, получаем:
,
причем внеинтегральное слагаемое обращается в ноль, так как при при. Тем самым
ч.т.д.
Следствие 1. .
Отсюда по рекуррентной формуле получаем и т.д. В общем случае
Задача. Вычислить значения инепосредственно.
Следствие 2. Из формулы понижения следует, что
, (1.3)
при этом левая часть (3) определена при , а правая – при, т.е. при
(см. рис. 1.2). Тем самым формула (3) позволяет продолжить функцию как аналитическую в полуплоскость; при этом,
т.е. точка - полюс, а так как
,
то - полюс 1 порядка, т.е. в окрестности нуля
,
причем вычет
.
Аналогично
и функция продолжается как аналитическая в полуплоскость(см. рис. 1.3) и т.д.
Тем самым справедливо следующее утверждение.
Свойство 1.4. Функцию можно аналитически продолжить на всю плоскость переменной, кроме точек(см. рис. 1.4), в которыхимеет полюса первого порядка с вычетами
.
Доказательство. Применяя формулу понижения раз, получаем:
Правая часть определена при
при этоми
, ч.т.д.
Свойство 1.5.
Доказательство. При
;
при эта формула справедлива в силу аналитического продолжения, а при
Наглядное представление о поведении гамма-функции дает ее рельеф, т.е. график функции , приведенный на рис. 1.5. Ярко выраженные пики над точкамисоответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента; цифровые отметки на них указывают значение модуля и аргумента (последние – в градусах).
Рис. 1.5
Дальнейшие свойства гамма-функции
Выведем далее одну формулу, которая понадобится нам в дальнейшем. Для этого при рассмотрим произведение
и сделаем в получившемся двойном интеграле замену переменных
.
Якобиан этой замены ,
следовательно,
.
Сделаем во внутреннем интеграле замену переменной
(1.4)
Взяв, в частности, получим
.
В курсе ТФКП с помощью вычетов доказывается, что при
.
Тем самым установлено, что при
Отсюда с помощью аналитического продолжения заключаем, что .
Покажем, что эта формула справедлива . Действительно, приправая часть превращается в, а левая принимает вид
Если , то; если же, то. В обоих случаях произведениетакже обращается в.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Свойство 1.6. (1.5)
(формула дополнения; формула симметрии).
Следствие. При произведениевыражается через элементарные функции.
Доказательство. Пусть вначале
Для остальных n доказательство аналогично.
Свойство 1.7. не имеет нулей:
Доказательство проведем методом «от противного». Пусть При этом, так как; а также, так как. Тем самым.
Но согласно формуле дополнения
т.е.
- противоречие.
Следствие. Функция - аналитическая в С.
На рис. 1.6. приведен ее рельеф, т.е. график функции .
Рис. 1.6
Свойство 8. Значения в некоторых точках
Напомним, что при гамма-функция задается интеграломпричем привыше, исходя из определения найдено, что.
Вычислим далее .
Исходя из определения, эту величину найти не удается, так как уже значение
представляется неберущимся интегралом. Однако ее можно вычислить по свойствам. Так, взяв в формуле дополнения получаем
Далее, с помощью формулы понижения получаем
и т.д.
В общем случае при
.
Запишем это выражение через обычные факториалы:
.
Таким образом, получаем, что
. (1.6)
Найдем далее .
Подставив в формулу дополнения и пользуясь (6), получаем: