Министерство образования и науки российской федерации

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

А.М. ЛАВРОВ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Часть 1.

ГАММА-, БЕТА- И ПСИ-ФУНКЦИИ

Рязань 2005

УДК 517.5

Специальные функции. Часть 1. Гамма-, бета- и пси-функции: Учеб. пособие / А.М. Лавров; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005. 64 c.

Излагается теория одного семейства специальных функций, в которое входят гамма- и бета- функции Эйлера, а также близкие к ним.

Предназначено для студентов технических вузов, которые в процессе учебы изучают и применяют специальные функции, но будет полезно также всем, кто встречается со специальными функциями в своей практической деятельности.

Ил.: 14. Библиогр.: 15 назв.

Специальные функции, гамма-функция Эйлера, бета-функция Эйлера, пси-функция, ряды, интегралы, интегральные преобразования, комплексный анализ

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанской государственной радиотехнической академии.

Рецензент: кафедра высшей математики РГРТА (зав. кафедрой доц., канд. экон. наук А.И. Новиков).

Л а в р о в Александр Михайлович

Специальные функции.

Часть 1. Гамма-, бета- и пси-функции

Редактор М.Е. Цветкова

Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 20.05.05. Формат бумаги 6084 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 4.0.

Уч.-изд. л. 4.0. Тираж 75 экз. Заказ

Рязанская государственная радиотехническая академия.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТА.



Рязанская государственная радиотехническая академия, 2005

Предисловие

Решение многих научных и технических проблем связано с исследованием специальных функций, которые появляются, как правило, либо в виде неберущихся интегралов (часто - зависящих от параметра), либо в виде рядов – не выражающихся через элементарные функции решений дифференциальных уравнений.

Специальные функции в широком смысле – это совокупность отдельных классов функций, возникающих при решении как теоретических, так и прикладных задач в самых различных разделах математики.

Все существующие на сегодняшний день специальные функции каталогизированы и расклассифицированы в зависимости от способа их определения: с помощью степенных и тригонометрических рядов, производящих функций, бесконечных произведений, последовательного дифференцирования, неберущихся определенных и неопределенных интегралов (последние, как правило, фигурируют в виде интегралов с переменным верхним или нижним пределом), дифференциальных, интегральных, разностных и функциональных уравнений, рядов по ортогональным функциям и т.п.

К наиболее важным классам специальных функций относятся гамма- и бета-функции Эйлера, гипергеометрическая и вырожденная гипергеометрическая функции, функции Бесселя, Лежандра и параболического цилиндра, интегральный синус и интегральный косинус, неполная гамма-функция, интеграл вероятности, различные классы ортогональных многочленов одной и многих переменных, эллиптические функции и интегралы, функции Ламе, Матье, дзета-функция Римана, автоморфная функция, некоторые специальные функции дискретного аргумента.

Разнообразие задач, приводящих к специальным функциям, вызвало быстрый рост числа функций, применяемых в приложениях. В связи с этим появилась обширная литература. Изданы солидные специализированные монографии. Вышли в свет различные справочники. В руководствах по вычислительным методам целые разделы посвящены вопросам приближенного вычисления значений специальных функций.

Однако многочисленная и разнообразная литература, посвященная специальным функциям, вызывает известные трудности у лиц, впервые имеющих дело с ними, да и объем этих руководств делает их не самыми удобными для использования (например, трактат Ватсона по функциям Бесселя содержит почти 800 страниц). Поэтому возникла потребность в издании одного пособия, в котором можно было бы найти ответы на все основные вопросы, возникающие при изучении и применении специальных функций.

Настоящее пособие представляет собой первую часть из задуманной серии руководств, охватывающих все важнейшие классы специальных функций. В нем рассматривается семейство функций, тесно связанных с Эйлеровыми интегралами, а именно сами гамма- и бета-функции Эйлера, пси-функция, а также полигамма-функции.

Для каждой функции дается широкий обзор ее свойств, причем упор делается на свойства, полезные в приложениях. При сравнительно небольшом объеме оно содержит очень богатый материал, охватывая почти все формулы, необходимые для практической работы с этими функциями. Изучение этих функций ведется в комплексной области с использованием теории аналитических функций.

Теоретические положения каждого раздела иллюстрируются примерами. В конце каждого раздела приводятся многочисленные задачи (от простейших до сложных; часто – с решениями) на применение изученных функций и их свойств, в основном - при вычислении интегралов и интегральных преобразований, а также при суммировании рядов.

Пособие предназначено тем студентам технических вузов, которые в процессе учебы изучают и применяют специальные функции, но будет полезно также аспирантам, инженерам, физикам и специалистам по прикладной математике, встречающимся со специальными функциями в своей практической деятельности.