МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
–––––––––––––––––––––––––––––
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Л.И. Кленина, И.Н. Дорофеева
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ
Учебное пособие
по курсу «Высшая математика» для студентов, обучающихся по направлению
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»
Москва Издательство МЭИ
2022
1
УДК 517.37 (075.8) ББК 22.161.6я73
К 52
Утверждено учебным управлением НИУ «МЭИ» в качестве учебного издания
Подготовлено на кафедре высшей математики
Рецензенты: А.А. Бободжанов, докт. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики НИУ «МЭИ»; А.Н. Якивчик, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей
топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова
Кленина, Л.И.
К 52 Определенные интегралы: вычисление и применение: учеб. пособие / Л.И.Кленина,И.Н.Дорофеева.–М.:ИздательствоМЭИ,2022.–108с.
ISBN 978-5-7046-2643-5
Содержит основные сведения из теории определенных интегралов от функций одной переменной, разобраны главные методы вычисления определенных интегралов, а также приведены примеры их применения. Включены задачи для самостоятельного решения, варианты контрольных работ по рассмотренному материалу, а также задания для тестирования по теоретическому материалу.
Предназначено для подготовки бакалавров по направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника». Может быть полезно как для студентов, так и для молодых преподавателей очного и дистанционного обучения и преподавания.
УДК 517.37 (075.8) ББК 22.161.6я73
ISBN 978-5-7046-2643-5 |
© Национальный исследовательский |
|
университет «МЭИ», 2022 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………… 4 ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………… 5
1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ... 6
1.1.Определение определенного интеграла………………………... 6
1.2.Геометрический смысл определенного интеграла…………….. 12
1.3.Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла………………………………………... 18
1.4. Достаточные условия существования определенного
интеграла………………………………………………………..… 21
1.5.Свойства определенного интеграла…………………………..… 28
1.6.Оценки определенного интеграла……………………………..... 37
1.7.Формула вычисления определенного интеграла……….…..….. 50
1.8.Замена переменных в определенном интеграле…………..…… 55
1.9.Формула интегрирования по частям в определенном
интеграле………………………………………………………….. 57
2.МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ…. 58
2.1.Интегрирование исходя из определения……………………..… 58
2.2.Табличное интегрирование…………………………………….... 61
2.3.Применение метода замены переменных (подстановки)........ 67
2.4.Применение формулы интегрирования по частям…………..… 77
3.ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА……………….. 81
3.1.Общий принцип приложений определенного интеграла……... 81
3.2.Применение определенного интеграла в физике………………. 81
3.3.Применение определенного интеграла в геометрии…………... 85
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………….… 91
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………… 92
ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………….. 93
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС ВО) задают вектор развития профессионального образования и обучения в технических университетах. Стандарт для бакалавриата по направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» (ФГОС ВО 3++) в одной из своих частей содержит требования к результатам освоения программы подготовки бакалавров. Эти требования формулируются в виде универсальных (УК), общепрофессиональных (ОПК) и профессиональных (ПК) компетенций.
Фундаментальная подготовка по математике бакалавров по направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» в НИУ «МЭИ» предусматривает, что выпускник будет способен применять математический аппарат, методы анализа и моделирования при решении профессиональных задач (ОПК-2) и способен осуществлять поиск и анализ необходимой информации из различных источников (ОПК-1). При осуществлении поиска информации от выпускника требуется критический анализ и синтез полученной информации (УК-1), а также способность управлять своим временем, выстраивая и реализовывая траекторию саморазвития (УК-6).
Авторы надеются, что данное учебное пособие поможет студентам бакалавриата приобрести указанные компетенции. В этой работе представлен этап освоения модуля «интегральное исчисление» применительно к определенным интегралам. Это достаточно важно для освоения основных понятий интегрирования функций одной действительной переменной с точки зрения будущего приложения к инженерным задачам.
Теория и практика интегрального исчисления нашли применение в математике, теории вероятностей, физике. Для успешного освоения темы: «Определенные интегралы: вычисление и применение» в курсе высшей математики для технических университетов, необходимо знание основных понятий высшей математики в объеме первого семестра обучения в вузе. Требуется, чтобы студенты умели вычислять предел и дифференциал функций одной переменной.
Авторы полагают, что данное пособие поможет студентам, обучающимся по техническим направлениям, глубже понять данную тематику, освоить математическую логику, присутствующую в теоретической части, и найти применение определенных интегралов в конкретных технических направлениях выбранной специальности.
Авторы выражают большую благодарность рецензентам за внимательное редактирование текста пособия, тщательный просмотр рукописи и сделанные замечания.
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие «Определенные интегралы: вычисление и применение» состоит из четырех частей. В первой части рассмотрены теоретические вопросы, связанные с определением и существованием определенных интегралов. Эта часть особенно необходима для бакалавров, обучающихся по программе «ЭТАЛОН», где требуется основательное изучение математических дисциплин, а также умение доказывать различные свойства. Во второй части представлены методы вычисления определенных интегралов. В третьей части приведены примеры на применение определенных интегралов. В четвертой части содержатся задачи для самостоятельного решения, варианты контрольных работ по рассмотренному материалу, а также задания для тестирования по теоретическому материалу.
Данная работа может быть полезна как студентам для самостоятельной подготовки, включая дистанционное обучение, так и преподавателям в качестве вспомогательного материала при проведении практических занятий. Материал большей частью излагается в соответствии с календарным планом изучения модуля «Интегральное исчисление функций одной действительной переменной» в курсе «Высшая математика» и включает в себя основные разделы.
Учебное пособие представлено в виде комбинации подробных теоретических сведений и разобранных практических задач по следующим темам:
1.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл. Необходимые и достаточные условия существования определенного интеграла, его свойства и оценки.
2.Вычисление определенных интегралов осуществляется по формуле Ньютона-Лейбница или путем замены переменной, или с применением формулы интегрирования по частям.
3.Применение определенных интегралов демонстрируется на примерах вычисления площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, длин дуг плоских кривых, объемов, образованных вращением криволинейных трапеций вокруг одной из координатных осей.
Достаточно большое число рисунков делает изложение теоретического материала более наглядным.
Предложены две самостоятельные работы с указаниями и ответами, а также шесть вариантов контрольных работ.
5
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНО ВЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛ ОВ ОТ ФУНК ИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1.Определение определенного интеграла
Вэтом параграфе дается определение определенного интеграла от функций действительной переменной. Рассматриваются примеры функ-
ций, которые вляютсяинтегрируемыми и неинтегрируемыми на отрезке. Определенный интеграл о пределя тся как последовательность ин-
тегральных сумм. Рассмотрим |
ункцию y f x |
одной действительной |
|||
пере енной x , |
где x задается |
а отрезке a,b , причем a b , |
а именно: |
||
x a ,b . |
|
a,b |
|
|
|
Разобьем |
отрезок |
на n частей |
с помощью точек |
||
x0 a,x1,x2. ,xn b. Т акое разбиение обозначим |
буквой T . На каждом |
||||
получившимся |
отрезке |
x0,x1 |
, x1,x2 , , xi 1,xi , , xn 1 ,xn |
выберем |
|
произвольным образом (см. рис. |
1.1) точку ci xi 1,xi , i 1,2, ,n . |
||||
|
Рис. 1.1. |
Выбор точек c |
x |
|
,x |
, i =1,2,…,n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i-1 |
i |
|
|
|
|
||
Обозначим xi |
xi xi 1 – длину отрезка xi 1,xi , |
i 1,2, ,n . |
||||||||||||||
Найдем все произведения |
|
f |
ci |
xi |
– значения функции |
в точке ci и |
||||||||||
длины отрезк |
xi 1,xi , |
в котором находится точка ci , |
i 1,2, ,n . Со- |
|||||||||||||
ставим сумму |
In xi ,ci |
всех таких произведен й, |
которая называется |
|||||||||||||
интегральной суммой функции y f x |
на отрезке a,b : |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
I n xi ,ci f c1 x1 f c2 x2 f cn xn f ci xi . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
Для различных значений |
n , |
n 1,2, получаем последователь- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
i |
i |
|
|
|
|
|
x |
|
отрезке a,b . |
ность интегра |
льных сумм |
|
I |
|
x |
,c |
|
функции y f |
на |
|||||||
Конечно, зна ение интегральн ой сумм |
|
функции |
y |
f x на отрезке |
||||||||||||
6
a,b зависит от способа разбиения T отрезка a,b точками
x0 a,x1,x2. ,xn b и от выбора точек c1,c2. ,cn на каждом из отрезков разбиения xi 1,xi , i 1,2, ,n .
Для краткости обозначим In In xi ,ci .
Для функции y f x , неотрицательной на отрезке a,b можно
определить геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим в декартовой системе координат график функции y f x на отрезке a,b
Область, ограниченная кривой y f x , |
прямыми x a, |
x b и |
осью абсцисс y 0, представляет собой криволинейную трапецию. Про-
ведем разбиение криволинейной трапеции на прямоугольные области
(см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Разбиение криволинейной трапеции
n
Каждое отдельное слагаемое интегральной суммы In f ci xi
представляет собой площадь прямоугольника |
|
|
i 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
S1 f c1 x1, S2 f c2 x2 , …, Si f ci xi , Sn f cn xn , |
|||||||||||
где ci – |
произвольным образом выбранная точка на отрезке |
xi 1,xi , |
|||||||||
а произведение |
f ci xi |
– |
это |
произведение |
значения |
функции |
|||||
y f x |
в точке ci и длины отрезка xi 1,xi , i 1,2, ,n . |
|
|
|
|||||||
Геометрический смысл интегральной суммы состоит в том, что |
|||||||||||
|
|
|
n |
ci |
xi |
|
|
|
|
|
|
интегральная сумма In |
f |
представляет собой сумму площа- |
|||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дей прямоугольников, |
которые |
образованны |
на |
каждом |
из |
отрезков |
|||||
xi 1,xi |
прямой |
y f ci , |
параллельной оси абсцисс, |
и |
прямыми, |
||||||
параллельными |
оси |
ординат: |
x xi , x xi |
i 1,2, ,n |
, |
то есть |
|||||
In S1 S2 Si Sn .
7
Обозначим |
через |
длину |
наибольшего отрезка xi 1,xi : |
|
max xi |
i 1,2, ,n . Найдем |
предел последовательности инте- |
||
гральных сумм, когда n так, что |
0. |
|||
Определение. |
Функция |
y |
f x называется интегрируемой |
|
(по Риману) на отрезке a,b , если последовательность интегральных сумм In xi ,ci функции y f x на отрезке a,b имеет конечный предел I при n при 0, который не зависит ни от способа разби-
ения отрезка a,b |
на n частей с помощью точек x0 |
a,x1,x2. ,xn b , |
||||||
ни от выбора точек ci xi 1,xi , i 1,2, ,n . |
|
|
|
|||||
Рассмотренный конечный предел I lim |
n |
ci xi называется |
||||||
f |
||||||||
|
|
|
|
n |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
на отрезке a,b |
||
определенным |
интегралом |
от функции |
y f x |
|
||||
и обозначается |
b f |
x dx : b |
f x dx lim |
n |
f c |
x . |
||
|
|
|
n |
|
i |
|
i |
|
|
a |
a |
0 i 1 |
|
|
|
|
|
Число a называется нижним пределом интегрирования, число b
называется верхним пределом интегрирования (обычно рассматривается случай, когда a b ). Отрезок a,b называется областью (отрез-
ком) интегрирования. Переменная x называется переменной интегрирования.
Функция f x называется подынтегральной функцией, а произве-
дение f x dx – называется подынтегральным выражением.
|
b |
x dx называется |
|
Операция о нахождении значения интеграла f |
|||
|
a |
|
|
интегрированием функции y f x на отрезке a,b . |
|
|
|
b |
x dx читается как интеграл от a до b функции |
f x |
|
Символ f |
|||
a
на dx .
Переменная интегрирования x служит лишь для удобного обозначения подынтегрального выражения. Ничего не изменится, если переменную интегрирования обозначить другой буквой, например, t при
b |
b |
условии, что t a,b , то есть f x dx f t dt . |
|
a |
a |
8
n
Это вытекает из того, что интегральная сумма f ci xi , а сле-
i 1
n
довательно, и ее предел lim f ci xi не зависят от того какой бук-
n i 10
вой x или t обозначен аргумент функции f .
b
Подчеркнем, что определенный интеграл f x dx – это число, зна-
a
чение которого можно найти точными или приближенными методами, в
отличие от неопределенного интеграла |
f x dx , который представляет |
|
собой семейство первообразных. |
|
f x dx F x C , |
Напомним: неопределенный |
интеграл |
|
где C – произвольная константа, а первообразная |
F x удовлетворяет |
|
условию, что производная первообразной равняется подынтегральной функции, а именно F x f x .
Введенное определение определенного интеграла не утверждает существование определенного интеграла для всякой функции y f x ,
определенной на отрезке a,b .
Пример интегрируемой функции
Пусть функция y f x на отрезке a,b принимает постоянное
значение: f x K для всех x a,b . Покажем, |
что функция |
y f x |
||
интегрируема на отрезке a,b и |
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
f x dx Kdx K b a . |
|
|
||
a |
|
a |
|
|
В самом деле, |
составим |
интегральную |
сумму для |
функции |
y f x , учитывая, что |
f x K |
для всех точек ci a,b : |
|
|
n |
|
n |
|
|
In f ci xi K xi K b a . |
|
|||
i 1 |
|
i 1 |
|
|
9
Получили, что для любого натурального числа n интегральные суммы для функции f x K , представляют собой постоянную величи-
ну In K b a . Переходя к пределу, имеем (по свойству, что предел константы есть константа)
I b |
f x dx lim I |
n |
lim K b a K b a . |
|
|
|
n |
n |
|
a |
|
K 1 получаем длину отрезка a,b , а именно, |
||
В частности, при |
||||
b
dx b a . В самом деле, составим интегральную сумму для функции
a |
f x 1 для всех точек ci a,b . |
|||||
y f x , учитывая, что |
||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
In f ci xi xi x1 x2 xi xn b a . |
||||||
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b a b a . |
Переходя к пределу, имеем I |
|
dx lim I |
n |
lim |
||
|
|
n |
n |
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
Пример неинтегрируемой функции |
|
|||||
Пусть на отрезке a,b задана функция Дирихле f |
x , которая равна |
|||||
единице врациональных точках иравнанулю виррациональных точках.
|
x |
m |
; |
|
|
|
1, |
n |
|
|
|
||
f x |
|
|
, |
|
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
0, |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m – целые и n – натуральные числа. |
|
|
|
|
y f x |
выбе- |
Для составления интегральных сумм для функции |
||||||
рем любое разбиение отрезка a,b , |
но |
два способа |
выбора |
точек |
||
ci xi 1,xi a,b . |
|
|
|
|
|
|
In n f ci xi n 1 xi b a ,
i 1 |
i 1 |
где ci mn – рациональные точки,
и In n f ci xi n 1 xi 0,
i 1 |
i 1 |
где ci mn – иррациональные точки на xi 1,xi при i 1,2, ,n .
10