1 семестр / Определённые интегралы. Кленина

3. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

3.1. Общий принцип приложений определенного интеграла

Общий принцип приложений определенного интеграла к вычислению геометрических и физических величин состоит в следующем:

а) вычисляемая величина A разбивается определенным образом на

формуле; при этом разность (ai ai ) должна быть величиной бесконечно малой по сравнению с ai ;

в) далее вводят переменную x таким образом, чтобы величина ai выражалась как ai f xi xi ;

г) в этом случае искомая величина вычисляется следующим обра-

3.2. Применение определенного интеграла в физике

Вычисление пути

Путь S , пройденный телом за отрезок времени от начала момента t1 до конца t2 при движении тела в прямолинейном направлении с пере-

менной скоростью v t , может быть найден по формуле:

t2

S v t dt ,

t1

где v t – непрерывная функция, зависящая от времени.

Пример 3.1. Тело движется прямолинейно со скоростью v t t3lnt м/с. Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от 1 до 3 с.

81

Решение. Путь, пройденный телом за промежуток времени от 1 до 3 с,

3

находиться как определенный интеграл: S t3lnt dt . Подынтегральная

1

функция представляет собой произведение многочлена третьей степени t3 на натуральный логарифм lnt. Этот тип выражений интегрируется с помощью метода интегрирования по частям. Для этого внесем многочлен под знак дифференциала и применим метод.

Получим S = 20,25 ln3 – 20 (м).

Вычисление работы

Работа, затраченная силой F x на перемещение материальной

точки по прямой Ox , совпадающей с направлением силы, от точки x a до точки x b вычисляется по формуле:

b

A F x dx ,

a

где F x – переменная сила.

Материальной точкой называется тело, размеры и форма которого несущественны в данной задаче.

Пример 3.2. Найти работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см силой, прямо пропорциональной сжатию. Известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 5 кгс.

Решение. Искомая работа будет находиться как определенный ин-

15

теграл A F x dx . Действующая сила F(x) = kx, так как она прямо

0

пропорциональна смещению. Из условия растяжения на 1 см получаем коэффициент пропорциональности равный 5. Таким образом F x 5x .

Далее подставляем найденную силу в определенный интеграл и вычисляем его:

82

Вычисление массы

Если мы имеем прямолинейный стержень неоднородной линейной плотности δ l , то его масса на участке от l1 до l2 находится как опреде-

ленный интеграл:

l2

m δ l dl ,

l1

где δ l – непрерывная функция.

Пример 3.3. Найти массу прямолинейного стержня длиной 3 м, если его линейная плотность задана функцией δ l 104 3ll кг/м.

Решение. Искомая масса стержня будет находиться как определенный интеграл:

Вычисление количества электричества

Количество электричества Q , прошедшего через поперечное сечение проводника за время от t t1 до t t2, вычисляется по формуле:

t2

Q I t dt ,

t1

где I t – величина тока, являющаяся непрерывной функцией времени.

Пример 3.4. Найти количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за первые 9 с, если величина тока изме-

83

Решение. Искомое количество электричества будет находиться как определенный интеграл:

Для вычисления введем замену переменных и, соответственно, заменим пределы интегрирования:

Вычисление давления жидкости

Давление Р, производимое жидкостью с удельным весом γ на од-

ну сторону погруженной в неё вертикальной пластины находится как определенный интеграл, если расстояние x точек пластины до уровня жидкости изменяется в пределах от a до b, а y x – непрерывная функ-

ция длины горизонтального сечения пластины, см. рис. 3.1.

Рис. 3.1. Вертикальная пластина, погруженная в емкость с жидкостью

В этом случае давление находится по формуле:

b

P γxy x dx .

a

84

Пример 3.5. Найти давление, производимое жидкостью с удельным весом 9807 Н/м3 на одну сторону погруженного в неё осколка вертикальной пластины, если длина горизонтального сечения его изменяется по

следующему закону: y x 1x 4x (м). Верхний край пластина находит-

ся на глубине 0,03 м, нижний на глубине 0,23 м.

Решение. Искомое давление будет находиться как определенный интеграл:

9807 x 0,230,03 43 x3 0,23 2118,31 Н.

0,03

3.3.Применение определенного интеграла в геометрии

Вычисление площади плоской фигуры

Линия, ограничивающая фигуру, задана параметрическими уравнениями

85

Линия, ограничивающая фигуру, задана параметрическими уравнениями

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x x t , y y t , прямыми x a, x b , и осью Ox , то пло-

щадь фигуры находится по формуле:

Решение. Построим график астроиды на плоскости xOy по точкам,

пользуясь свойствами симметрии тригонометрических функций, задавая соответствующие значения параметра t , рис. 3.2.

Рис. 3.2. Астроида

86

В силу симметрии фигуры достаточно найти площадь заштрихованного сегмента у умножить на 4. Таким образом, площадь всей астроиды находится по формуле:

Уравнения линий, ограничивающих фигуру, заданы в полярной системе координат

Пример 3.8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим графики функций, совмещая полярный луч с осью Ox . Определимся с областью существования функции ρ2 2cos2φ:

Задавая значения φ, находим значения ρ и строим график. График функции ρ 1 – окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Полученная фигура изображена на рис. 3.3. График кривой ρ2 2cos2φ

называют «двухлепестковой розой». В силу симметрии достаточно рассмотреть фигуру при x 0.

Найдем значения φ в точках пересечения графиков.

87

Вычисление длины дуги кривой, заданн й параметрическими уравнениями

ления изобразим схематично график функции на плоскости xOy , задавая различные значения параметра t и находя соответствующие пары значе-

ний x,y , рис. 3.4.

Рис. 3.4. Первая арка циклоиды

Нетрудно заметить, что значения t1 и t2 находятся из уравнений

89

Выч сление длины дуги кривой, заданной в полярной системе координат

Изобразим схематично график функции на плоскости xOy , задавая значения φ, находим значения ρ и строим график, рис. 3.5.

Подставляем полученные данные в формулу длины дуги:

Рис. 3.5. График кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат

90