1 семестр / Определённые интегралы. Кленина

Эта тео ема означает, что любая епрерывная на интервале a,b

Рис. 1.19. еременн ый верхний предел в интеграле

Разбиваем первый интеграл на два интегра а по отрезкам интегрирован ия c,x и x,x x , приводим подобные. Т огда

51

Последнее равенство означает, что для интегрируемой функции f (x) на любом отрезке, содержащимся в интервале (a,b), следует, что интеграл с переменным верхним пределом, а именно, функция

F (x)=òx f (t)dt является непрерывной на интервале (a,b), так как беско-

c

нечно малому приращению аргумента Dx (Dx 0) соответствует бесконечно малое приращение функции DF (DF = F (x +Dx)- F (x)= = f (x)Dx ® 0).

Функция f x непрерывна в точке x , поэтому при x 0 следует, что f (x)® f (x). Тогда по определению производной функции имеем

Получили, что существует производная от интеграла с переменным верхним пределом, и эта производная равна подынтегральной функции

Замечание. Аналогично доказывается теорема о существовании первообразной у непрерывной на отрезке a,b функции f x . В этом

случае в качестве нижнего предела интегрированиявместоc можно взять a.

всех точках этого отрезка выполняется равенство F x f x .

При этом под производными F ¢(a) и F ¢(b) понимаются односто-

ронние производные: F¢(a)= lim F (a +Dx)- F (a) (правосторонняя про-

Dx®+0 Dx

изводная)и F¢(b)= lim F (b +Dx)- F (b) (левосторонняя производная).

Dx

Интеграл с переменным нижним пределом

Аналогично, если функция y = f (x) интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале (a,b), и если d – некоторая фиксированная точка выбранного интервала, то каково бы ни было число x из

52

интервала (a,b), функция f (x) интегрируема на отрезке [x,d ]. Поэтому

d

на этом отрезке определена функция Ф(t)=òf (t)dt (здесь переменная

x

интегрирования обозначена буквой «t », так как буквой «x » обозначен нижний предел интегрирования).

d

Определение. Функция Ф(x)=òf (t)dt называется интегралом с

x

переменным нижним пределом.

Найдем производную функции Ф(x) по переменному нижнему пределу x .

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a,b , то для любого x Î(a,b) производная от интеграла по переменному нижнему пределу равна подынтегральной функции в нижнем пределе, взятой с

фиксированная точка интервала a,b .

Доказательство. Воспользуемся свойствами определенного инте-

где c и d – любые фиксированные точки (см. рис. 1.20) интервала (a,b), а x – переменная точка, лежащая в интервале (c,d ).

Из последнего равенства находим

53

a

В первом получившимся равенстве òf (t)dt = 0, тогда находим,

a

что C F a . Подставляя найденное значение C во второе равенство, имеем

b

òf (t)dt = F (b)- F (a).

a

Заменяя переменную интегрирования, обозначенную буквой t , на

b

букву x , получаем òf (t)dt = F (b)- F (a), что и требовалось.

a

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенных интегралов: определенный интеграл от непрерывной функция f x

по отрезку a,b равен разности значений любой ее первообразной функции F x в точках b и a, то есть F b F a .

Для краткости используют записьòb f (x)dx = F (x)ba = F (b)- F (a).

a

1.8. Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = g (t) определена при t Î[α,b] и имеет областью значений отрезок [a,b], причем g (a)= a и g (b)= b .

Тогда, если функция x = g (t) имеет непрерывную производную g¢(t) при t Î[α,b], то справедлива формула замены переменной под зна-

Доказательство. Функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b],

где F (x) – какая-либо первообразная функции y = f (x) на отрезке [a,b].

55

Функция F (x)= F (g (t)) является сложной функцией, причем F (x) дифференцируема при x Î[a,b], функция x = g (t) дифференцируема при t Î[α,b].

Применяя правило дифференцирования сложной функции, и учи-

Последнее равенство означает, что функция F (g (t)), определенная

на отрезке [α,β], является на этом отрезке первообразной для функции f (g (t)) g ¢(t). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

b

òf (g (t))g¢(t)dt = F (g (b))- F (g (a)).

a

Подставляя в правую часть последней формулы g(β) = b и g(α) = a ,

b

получаемòf (g (t))g¢(t)dt = F (b)- F (a).

a

Доказанная формула замены переменной под знаком определенного интеграла показывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части, то вычислен интеграл, стоящий в правой части, и наоборот, если вычислен интеграл, стоящий в правой части, то вычислен интеграл, стоящий в левой части.

56

1.9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) имеют на [a,b] непрерывные производные u¢(x) и v¢(x). Дифференциалы этих функций определяют-

что и требовалось.

57

2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИН ТЕГРАЛОВ

.1. Интегрирование исходя из определения

b

Пример 2.1. Вычислить определенный интеграл k x m dx .

a

Рассмотрим случай, когда b a и k o .

Решени . Геометрически данный определ нный и нтеграл представляет собой площадь прямоугольной трапеции ABCD (см. рис. 2.1), котор ая имеет основания AB и CD и высотуAD .

k2 b2 a2 m b a .

58

Проверим справедливость полученной площади прямоугольной

трапеции ABCD методом интегрирования функции y kx m , исходя из определения. Функция y kx m является непрерывной, поэтому для

b

вычисления kx m dx отрезок интегрирования a,b можно разбивать

a

произвольным образом и произвольным образом выбирать точки ci для построения интегральной суммы.

Разделим отрезок AD a,b на n равных отрезков точками a x0 x1 x2 b xn (см. рис. 2.1). Длина каждого частичного отрез-

ка равна x b n a , при этом точки деления отрезка a,b следующие:

a x0, x1 a x, x2 a 2 x, ,b xn a n x .

В качестве точек ci xi 1,xi a,b выберем левые концы каждого отрезка xi 1,xi , (i 0,1,2, ,n):

c1 a, c2 a x, c3 a 2 x, ,cn a n 1 x .

n

Составим интегральную сумму In f ci x . Каждое отдель-

i 1

ное слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямо-

In k a x m x k a 2 x m x

k a n 1 m x .

Группируем слагаемые после раскрытия скобок и выносим общий множитель x .

Получаем

In k n a 1 2 n 1 x m n x .

59

Учитывая, что в квадратных скобках находится сумма членов арифметической прогрессии, равная 1 2 n 1 1 n2 1 n 1

12n n 1 , а x b n a , преобразуем интегральную сумму:

или

Переходим к пределу при n , получаем

Используя свойства предела последовательности, получаем

вается определенным интегралом от функции y f x kx m на отрезке a,b .

Получили b kx m dx k b2 a2 m b a , что согласуется с ре-

60