Преобразуем через переменную t подынтегральное выражение
2dt
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1+t2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2+cosx |
|
|
|
|
|
|
|
3+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2+ |
1-t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдем |
новые |
|
пределы |
|
интегрирования: |
|
|
при x = 0 следует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
t = tg |
0 =0, при x = p |
следует t = tgp |
=1. Тогда интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
dx |
|
1 |
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I =ò0 |
|
|
=ò0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2+cos |
x |
3+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4) и форму- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лой Ньютона-Лейбница. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
I =ò |
= 2ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
3+t |
0 |
( 3) |
|
+t2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
æ |
|
|
|
1 |
|
-0 |
ö |
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
çarctg |
|
|
3 |
|
÷ |
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
p 6 |
5cosxdx |
|
|
Пример 2.19. Вычислить определенный интеграл I =ò |
. |
|||||
|
||||||
|
|
|
0 |
1-sin2 x |
||
Решение. При решении данного интеграла можно воспользоваться |
||||||
универсальной подстановкой t = tg |
x |
. Но проверим возможность ис- |
||||
|
||||||
2 |
é |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
êcosx, |
|
|
||
|
|
êsinx, |
|
|
||
пользования одной из частных подстановок t = ê |
|
|
|
|||
|
|
ê |
tgx, |
|
|
|
|
|
ê |
|
|
||
|
|
ê |
ctgx. |
|
|
|
|
|
ë |
|
|
||
По условию дана рациональная функция |
относительно sinx и |
|||||||
cosx , а именно: R(sinx,cosx)= |
|
5cosx |
|
. Проверим функцию на чет- |
||||
|
1-sin2 |
|
||||||
|
|
|
x |
|
||||
ность или нечетность относительно ее аргументов. |
|
|||||||
Рассмотрим |
5cosx |
|
|
|
5cosx |
|
||
R(-sinx,cosx)= |
|
= |
|
= R(sinx,cosx). |
||||
1-(-sinx)2 |
|
1-sin2 x |
||||||
|
|
|
|
|||||
71
Видно, что выполняется равенство R(-sinx,cosx)= R(sinx,cosx).
Следовательно, |
функция R(sinx,cosx) является четной |
относительно |
||||
sinx , поэтому подстановкой cosx = t |
воспользоваться не можем. |
|||||
Рассмотрим R(sinx,-cosx)= |
-5cosx |
|
=-R(sinx,cosx). |
|||
|
|
|||||
|
|
|
1-sin2 |
x |
|
|
Видно, |
что |
выполняется |
равенство |
|||
R -(sinx,cosx)= -R(sinx,cosx). Следовательно, функция R(sinx,cosx)
является нечетной относительно |
cosx , |
поэтому подстановкой sinx =t |
||||||||||||
воспользоваться можем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Применяем |
подстановку |
t =sinx . |
Находим |
|
|
дифференциал |
|||||||
dt = d(sinx)= cosxdx . Вычисляем новые |
пределы |
интегрирования: |
||||||||||||
при x = 0 следует t =sin0=0, при |
x = p |
следует t =sinp |
= |
1 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
Преобразуем |
через переменную |
t |
|
подынтегральное выражение |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5cosxdx |
|
5dt |
|
|
|
5cosxdx |
|
2 |
|
dt |
|
||
|
= |
. Тогда интеграл I =ò |
|
= 5ò |
|
. |
||||||||
|
1-sin2 x |
1-t2 |
|
|
0 |
|
1-sin2 x |
0 |
|
1-t2 |
|
|||
Воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4) и формулой Ньютона-Лейбница. Получим
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
çæarcsin1 -arcsin0÷ö |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
= 5×p = 5p . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
I = 5ò |
|
|
= 5arcsin |
|
2 = 5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
1-t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
è |
2 |
|
|
|
ø |
6 6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Заметим, что не надо делать подстановку ради подстановки. Дан- |
||||||||||||||||||||||||||
ный пример решается гораздо проще, если заметить, что при |
é |
p |
ù |
|||||||||||||||||||||||
x Îê0, |
6 |
ú |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
ú |
функция |
cosx >0, |
а |
знаменатель в |
подынтегральной |
функции |
|||||||||||||||||||||
1-sin2 x = |
cos2 x = |
|
cosx |
|
=cosx . |
Тогда |
подынтегральная |
функция |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f (x)= |
|
5cosx |
|
= |
5cosx =5, а интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1-sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p 6 |
5cosxdx |
|
|
p |
|
|
p |
= 5p. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I =ò |
|
|
= 5òdx = 5x |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1-sin2 x |
0 |
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
72
3
Пример2.20. Вычислитьопределенныйинтеграл I =ò 4x - x2 -3dx .
2
Решение. Преобразуем подкоренное выражение. Вначале в скобке соберем члены, содержащие x , y =4x -x2 -3=-(x2 -4x)-3,
а потом в скобке выделим полный квадрат y =-(x2 -2x 2+22 -22)-3.
Первые три члена в скобке дают полный квадрат, а четвертый член вынесем за знак скобки, получим y =-(x -2)2 -(-22)-3=1-(x -2)2 .
Введем новую |
переменную (тригонометрическая подстановка): |
|
x -2=sint . Выразим из последнего равенства x =2+sint |
и найдем |
|
дифференциал |
dx = d(2+sint)= costdt . Подынтегральное |
выражение |
преобразуется следующим образом:
4x - x2 -3dx = 1-(x -2)2dx = 1-sin2 t ×costdt = cos2 tdt .
Найдем пределы интегрирования новой переменной t :
если x = 2, то sint =0, отсюда следует, что t =0; если x =3, то sint =1, отсюда следует, что t = p2.
3
Тогда интеграл I =ò 4x - x2 -3dx .
2
При вычислении последнего интеграла применим тригонометрическую формулу понижения степени: cos2 t =1+cos22 x . Получим
|
3 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
ö |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
I =ò 4x - x2 -3dx = |
|
+cos2t)×dt = |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
ò(1 |
|
çt + |
|
sin2t ÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
è |
|
2 |
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя пределы интегрирования, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1æ 1 |
ö |
|
p |
1 |
ææp 1 |
|
pö æ |
|
1 |
|
|
öö |
|
|
p |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I = |
|
çt + |
|
sin2t ÷ |
|
= |
|
ç |
|
+ |
|
sin2 |
|
÷ - |
ç0+ |
|
sin0 |
÷ |
= |
|
|
, |
|||
2 |
2 |
|
2 |
çç |
2 |
2 |
2 |
2 |
÷÷ |
4 |
|||||||||||||||
|
è |
ø |
|
0 |
èè |
|
|
ø è |
|
|
|
øø |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
так как sinπ = sin0 = 0.
73
Пример 2.21. Вычислить определенный интеграл I =òe dx .
1 x(5+lnx)
Решение. Введем подстановку t =5+lnx . Найдем дифференциал dt = d(5+lnx)= dxx
Заметим, что под знаком интеграла находится дифференциал новой
переменной: |
dx |
= dt. Найдем новые пределы интегрирования: при |
x =1 |
|
|
x |
|
|
|
следует, что |
t =5+ln1=5, при x =e следует, что t =5+lne =6. |
|
||
|
|
e |
6 |
|
Тогда интеграл I =ò dx =òdt . Воспользуемся таблицей ин-
1 x(5+lnx) 5 t
тегралов (см. приложение 4) и формулой Ньютона-Лейбница. Получим
6 |
|
|
|
|
I =òdt = lnt |
|
56 = ln6-ln5= ln |
6 . |
|
|
||||
5 t |
|
5 |
||
|
|
|
|
3 |
Пример 2.22. Вычислить определенный интеграл I =òx 1+ xdx . |
||||
|
|
|
|
0 |
Решение. Сделаем замену переменной: |
t = 1+ x . Возведем по- |
|||
следнее равенство в квадрат 1+x =t2 и выразим x : x =t2 -1. Найдем дифференциал dx = d×(t 2 -1)= 2×t ×dt . Вычислим новые пределы интегрирования по переменной t . Если x = 0, то t =1; если x =3, то t =2.
3 |
2 |
Получили I =òx |
1+ xdx =ò(t 2 -1)×t ×2×t ×dt . Перемножаем выражение, |
0 |
1 |
стоящее под знаком интеграла, и пользуемся таблицей интегралов (см. приложение), а также формулой Ньютона-Лейбница. Тогда
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
t |
5 |
|
t |
3 |
ö |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
I = 2ò(t |
2 |
-1)×t ×t ×dt = 2ò(t |
4 |
-t |
2 |
)×dt = 2 |
ç |
|
- |
|
÷ |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
5 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
1 |
|
|
|
|||||
Подставляем пределы интегрирования и вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
I 2 |
|
25 |
|
23 |
|
|
15 |
|
13 |
|
2 |
|
31 |
|
7 |
|
|
2 |
93 35 |
116 |
7 |
11 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
5 |
3 |
5 |
3 |
5 |
|
3 |
15 |
|
15 |
15 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
74
|
p 2 |
Пример2.23. Вычислитьопределенныйинтеграл I =ò sinx cosxdx . |
|
|
0 |
Решение. Сделаем замену переменной: t =sinx . Найдем диффе- |
|
ренциал dt = d(sinx)= cosxdx . |
Вычислим новые пределы интегрирова- |
ния по переменной t . |
|
Если x = 0, то t =0; если x = p , то t =1. |
|
|
2 |
p 2 |
1 |
Получили I =ò sinx cosxdx =ò tdt . |
|
00
Воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4), тогда
1 |
|
2t3 2 |
|
1 |
2(1-0)= 2. |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
I =ò tdt = |
|
= |
|
|
|||||
0 |
|
3 |
|
|
0 |
3 |
3 |
2ò2 |
1+ x2 ×xdx . |
|
|
||||||||
Пример 2.24. Вычислить определенныйинтеграл I = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Решение: Сделаем замену переменной: t =1+x2. |
|
|
|||||||
Найдем дифференциал dt = d(1+ x2)= 2xdx . Вычислим новые пре- |
|||||||||
делы интегрирования по переменной t . |
|
|
|
|
|||||
Если x = 0, то t =1; если x = 2 |
2 , то t =9. Заметим, что подын- |
||||||||
тегральная функция содержит xdx = |
1dt . Получили |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
9 |
1dt . |
|
|
I = ò 1+ x2 ×xdx =ò t × |
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Выносим константу за знак интеграла и воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4), тогда
9 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
I =ò t × |
12dtI = |
12ò tdt = |
× |
t3 2 |
|
= 13(9 9 -1)= 263 =8 |
32 . |
|||
2 |
3 |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
Можно использовать другой метод, который предполагает внесение одного из множителей, находящегося в подынтегральной функции, под знак дифференциала.
75
|
Заметим, |
|
что |
|
подынтегральная |
функция |
в |
|
интеграле |
|||||||||||||
I = |
2ò2 |
1+ x2 ×xdx содержит множитель x , который присутствует в про- |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изводной выражения, находящегося под знаком корня: |
(1+x2)¢ =2x . |
|||||||||||||||||||||
Отсюда следует, что x = 12(1+x2)¢ и дифференциал |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
æ1 |
( |
2 |
ö |
|
1 |
( |
|
2 ¢ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
è |
2 |
|
)ø |
= |
2 |
|
) |
dx = |
|
× 2xdx = xdx или xdx = |
2 |
( |
+ x |
|
) |
. |
|||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
dç |
|
1+ x |
|
÷ |
|
1+ x |
|
|
|
d 1 |
|
|
|||||||||
|
Рассматриваем заданный интеграл и вносим 1+ x2 |
под знак диф- |
||||||||||||||||||||
ференциала, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I = 2ò2 |
1 |
+ x2xdx = |
12ò2 |
1+ x2 ×d(1+ x2). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь функцию (1+ x2) можно считать переменной интегрирования. Воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4), тогда
I = 122ò02 |
1+ x2 ×d(1+ x2)= 12×32(1+ x2)3 2 |
|
02 2 = 13(9 9 -1)= 263 =832. |
|
|||
|
Преимущество этого способа в том, что не надо переходить к новым пределам интегрирования.
2 |
x |
+3 |
|
|
Пример 2.25. Вычислить определенный интеграл I =ò |
dx . |
|||
2 |
+4 |
|||
0 |
x |
|
Решение: Подынтегральная функция представляет собой правильную дробь. Преобразуем подынтегральную функцию, в именно разобьем ее на сумму двух функций путем почленного деления числителя дроби
на ее знаменатель f (x)= xx2++34 = x2 x+4+ x23+4 . Тогда заданный ин-
теграл можно представить в виде суммы двух интегралов:
2 |
x |
+3 |
2 |
|
x |
2 |
|
1 |
|
I =ò |
dx =ò |
|
dx +3ò |
|
dx = I1 +I2. |
||||
2 |
+4 |
x |
2 |
x |
2 |
||||
0 |
x |
0 |
+4 |
0 |
+4 |
|
76
Для вычисления второго интеграла сразу воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4), получим
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
1arctg |
x |
|
|
2 |
|
3 |
|
3 |
×p |
= 3p . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I2 = 3ò |
|
dx = 3ò |
|
|
dx = 3× |
|
|
|
= |
(arctg1-arctg0)= |
||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
x +4 |
0 |
x +2 |
|
|
2 |
2 |
|
0 |
|
2 |
|
2 |
4 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для вычисления первого интеграла вначале в числителе выделим дифференциал знаменателя. Заметим, что подынтегральная функция в
2 |
|
x |
|
интеграле I1 =ò |
|
dx содержит множитель x , который присутствует в |
|
|
2 |
||
0 |
x |
+4 |
|
производной выражения, находящегося под знаком корня: (x2 +4)¢ =2x .
Отсюда следует, что x |
= |
1 |
(x |
2 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
+4) |
и дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
( |
|
2 |
ö |
1 |
( |
|
2 |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
è2 |
|
|
)ø |
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
× 2xdx = xdx или |
|
2 |
|
( |
|
|
) |
||||||||
x |
|
x |
|
|
|
dx = |
2 |
xdx = |
d |
x |
|
|||||||||||||||||||||
dç |
|
|
+4 ÷ = |
|
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
+4 . |
||||||||||||||||||
Рассматриваем первый интеграл и вносим x2 +4 под знак диффе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ренциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
=ò |
|
|
2x |
|
|
|
2 |
+4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 1òd(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
+4 |
|
x |
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь функцию (x2 +4) можно считать переменной интегрирования. Воспользуемся таблицей интегралов (см. приложение 4), получим
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
I1 = 12ò0 |
d(x +4) |
=12ln(x2 +4) |
|
|
= 12(ln8-ln4)= 12ln84 = 12ln2= ln 2. |
x2 +4 |
|
0 |
|||
|
|||||
Объединяя |
ответы двух |
интегралов, получаем I = I1 + I2 = |
|||
= ln 2 + |
3p. |
|
8 |
2.4. Применение формулы интегрирования по частям
Если функции u =u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производ-
b |
|
b |
ные на отрезке [a,b], то имеет место формулаòu×dv = u×v |
|
ab -òv×du . |
|
||
a |
|
a |
77
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Вообще большинство интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы.
К первой группе относятся интегралы, у которых в подынтегральной функции в качестве множителя имеется одна из функций lnx ,
arcsinx , arccosx |
и arctgx. |
За функцию u =u(x) обозначают одну из |
|||||||||||
указанных выше функций. |
|
|
|
|
|
ì |
|
ü |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
ïe |
|
ï |
Ко второй группе относятся интегралы вида: |
ò n ( |
) |
ï |
|
ï |
||||||||
ï |
|
ï |
|||||||||||
P |
x ×ísinlx ýdx , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
ïcoslxï |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
þ |
где P (x)= a |
n |
xn |
+a |
n-1 |
xn-1 + +a x +a |
0 |
– алгебраический |
многочлен |
|||||
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
степени n . Такие интегралы вычисляются многократным применением метода интегрирования по частям. Последовательно полагая u = Pn (x),
затем за u2 обозначается первая производная от Pn (x):u2 = Pn¢(x), и так далее: u3 = Pn¢¢(x), u4 = Pn¢¢¢(x), … . Получающиеся интегралы будут упрощаться, так как производная от алгебраического многочлена Pn (x), степени n , является алгебраическим многочленом Pn-1(x), степени на единицу меньшей.
|
|
b |
К |
третьей |
группе относятся интегралы вида: òelxcosbxdx , |
|
|
a |
b |
b |
b |
òelxsinbxdx , òsin(lnx)dx и òcos(lnx)dx . Обозначая любой из интегра- |
||
a |
a |
a |
лов этой группы через I и применяя два раза метод интегрирования по частям, получим уравнение для нахождения I .
1
Пример 2.26. Вычислить определенный интеграл òxexdx .
0
Решение. Данный интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям, поэтому обозначим u = x и dv = exdx . Нахо-
дим du = dx и v =òdv =òexdx =ex . По формуле интегрирования по частям получаем
1 |
1 |
|
|
|
òxexdx = xex |
|
10 -òexdx =(1×e1 -0)-ex |
|
10 = e -(e -1)=1. |
|
|
|||
|
|
|||
0 |
0 |
|
|
|
78
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.27. Вычислить интеграл ò(x +1)lnxdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Интеграл относится к первой группе интегралов, беру- |
||||||||||||||||||||||||||||||
щихся по частям. Положим u =lnx , а dv =(x +1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Находим du = d(lnx)= 1x dx и v =òdv =ò(x +1)dx = |
x2 |
|
+ x . |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
æx2 |
ö |
|
|
e |
e æx2 |
|
ö 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
dx . |
|
|
||||
Тогда I =ò(x +1)lnxdx =ç |
+ x÷lnx |
-òç |
|
|
|
+ x÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
ø |
|
|
1 |
1è 2 |
|
|
|
ø x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставляя пределы интегрирования и вычисляя интеграл, стоя- |
||||||||||||||||||||||||||||||
щий в правой части, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
æe2 |
|
÷ö |
|
æ |
1 2 |
|
|
öe |
æe2 |
|
÷ö æe2 |
|
|
÷ö |
|
æ |
1 |
|
ö |
|
e2 +5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ç |
+e |
÷ |
- |
ç |
|
x |
+ x |
|
÷ |
ç |
|
+ e |
÷ |
|
ç |
+ e |
÷ |
+ |
ç |
|
|
÷ |
= |
|
. |
|||||
I =ç |
|
ç |
|
|
÷ |
=ç |
|
|
-ç |
|
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
||||
ç |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
÷ |
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||
è 2 |
|
ø |
|
è |
4 |
|
|
|
ø1 |
è 2 |
|
ø è 4 |
|
|
ø |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
p
2
Пример 2.28. Вычислить интеграл I =òex cosxdx .
0
Решение. Данный интеграл относится к третьей группе интегралов, берущихся по частям. Положим u = ex , а dv =cosxdx .
Находим du =d(ex )= exdx и v =òdv =òcosxdx = sinx .
|
p |
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
I =òex cosxdx = ex sinx |
02 |
-òex sinxdx . |
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
p |
p |
p |
|
Подставляя пределы интегрирования |
ex sinx |
|
2 |
= e2 |
-e0 sin0= e2 |
и |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисляя интеграл, стоящий в правой части, методом интегрирования по
частям, пологая u1=ex , |
а dv1 = sinxdx , находим du1 = d(ex )= exdx и |
v1 =òdv =òsinxdx = -cosx . |
Подставляя пределы интегрирования и заме- |
чая, что вновь появляется заданный интеграл, который обозначен буквой «I », получаем
p |
|
|
|
|
p |
p |
|
æ p |
|
|
|
|
ö |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
p |
|
|
|
|
|||
x |
sinxdx = e |
x |
|
|
x |
ç |
-e |
0 |
cos0 |
÷ |
+ I =1+ I . |
|||
òe |
|
|
(-cosx) |
02 |
+òe |
|
cosxdx = -çe2 cos |
2 |
|
÷ |
||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
79
p
Таким образом, имеем уравнение для нахождения I : I = e2 -(1+I )
p |
|
1 |
æ p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или 2I = e2 -1. Отсюда находим |
I = |
ç |
e 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ç |
-1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Пример 2.29. Вычислить определенный интеграл |
òx cosxdx . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Решение. Данный интеграл относится ко второй группе интегра- |
|||||||||||||
лов, берущихся по частям, поэтому обозначим u = x и dv = cosxdx . |
|
||||||||||||
Находим du = dx и v =òdv =òcosxdx =sinx . По формуле интегри- |
|||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
рования по частям получаем òx cosxdx = x sinx |
|
02 -òsinxdx . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Подставляя пределы интегрирования x sinx |
|
p2 |
= psinp |
-0= p |
и вы- |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
числяя интеграл, стоящий в правой части:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-cosx) |
|
æ |
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òsinxdx = |
|
2 |
= -çcos |
2 |
-cos0÷ =1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
òx cosxdx = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.30. Вычислить интеграл òx2 lnxdx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Интеграл относится к первой группе интегралов, беру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
щихся по частям. Положим u =lnx , а dv = x2dx . |
|
x3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
=òdv =òx2dx = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Находим |
|
|
du = d(lnx)= x dx |
и |
v |
|
|
. |
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
3 |
|
|
|
1dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
òx2 lnxdx = |
|
lnx |
|
2 |
-ò |
|
× |
Подставляя |
пределы интегрирования |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x3 |
|
lnx |
|
2 |
= |
1 |
(8ln2 |
-1ln1)= |
8 |
ln2 |
ивычисляяинтеграл,стоящийвправойчасти |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
1 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ò |
x |
|
×1dx = 1òx2dx = 1 |
x |
|
|
|
|
= |
1(8-1) |
= 7,получаемòx2lnxdx = |
8ln2 |
|
- |
7 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 3 |
x |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
3 3 |
|
1 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
1 |
3 |
|
|
|
9 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
80