Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 семестр / Определённые интегралы. Кленина

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном учебном пособии подробно разобрано понятие определенного интеграла как конечного предела последовательности интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения заданного отрезка на достаточно малые части и не зависит от выбора точек на этих малых частях. Для самостоятельного изучения студентами в доступной форме изложен теоретический материал, который содержит достаточно большое количество примеров. Это, несомненно, позволит облегчить понимание и усвоение учебного материала студентами. Задания для тестирования по теоретическому материалу поможет глубже понять некоторые вопросы по теории определенных интегралов. Молодые преподаватели тоже найдут много примеров для использования их при проведении занятий со студентами.

Наличие двух самостоятельных работ по методам вычисления определенных интегралов и по их применению служит хорошей подготовкой к рубежному контролю. Подбор примеров для самостоятельного решения поможет студентам при подготовке к контрольным мероприятиям, а варианты контрольных работ могут служить преподавателям в качестве вариантов заданий на контрольных мероприятиях.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основной

1.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учеб. пособие / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – СПб.: «Лань», 2009.

2.Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: учебник / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: «Академия», 2014.

3.Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Лекции и практикум: учеб. пособие; под ред. И.М. Петрушко. – СПб.: «Лань», 2006.

4.Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум: учеб. пособие; под ред. И.М. Петрушко. –

СПб.: «Лань», 2007.

5.Крупин, В.Г. Высшая математика. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ: сборник задач с решениями / В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. – М.: Издательский дом МЭИ, 2016.

Дополнительный

6.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач: учеб. пособие / Г.Н. Берман. – СПб.: «Лань», 2005.

7.Бободжанов, А.А. Высшая математика. Дополнительные задачи

ктиповому расчету по курсу высшей математики: учеб. пособие. / А.А Бободжанов, М.А. Бободжанова, В.Ф. Сафонов и др. – М.: «Спутник

+», 2017.

8.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. – 7-е изд., испр. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование», 2008.

9.Ильин, В.А. Основы математического анализа. Ч.I. / В.А. Ильин. – Изд-во: Физматлит, 2021.

10.Кленина, Л.И. Двойные интегралы и их применение в технике: учеб. пособие. / Л.И. Кленина, И.Н. Дорофеева, В.И. Кленина. – М.: Изд-

во МЭИ, 2018.

11.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2015.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задания для самостоятельной работы

В задании представлены две самостоятельной работы. Первая посвящена методам вычисления определенных интегралов (см. табл. П1). В ней содержатся 6 вариантов по 7 задач в каждом. Кроме этого приведены методы решения той или иной задачи (см. табл. П2) и ответы на приведенные задачи (см. табл. П3). Во второй самостоятельной работе, посвященной применению определенных интегралов (см. табл. П4), также содержатся 6 вариантов по 7 задач в каждом. В каждом варианте отрабатывается навык на выполнение задачи одного типа. В указаниях ко второй самостоятельной работе приводятся формулы, необходимые для решения задач каждого варианта (см. табл. П5), имеются ответы ко всем задачам (см. табл. П6).

Самостоятельная работа № 1: «Методы вычисления определенных интегралов»

																												Таблица П1

	Вычислить интеграл																Вычислить интеграл
	Вариант 1																			Вариант 2
1.1	0	(			x2				)							2.1	0		(		2	+			+		)
	ò				x2				-4 cos3xdx								ò x				2	+	6x		+		9 sin2xdx
	ò																ò x						6x				9 sin2xdx
	-2																-3
1.2	1															2.2						e				2 xdx
	ò (x +1)ln2(x +1)dx																					ò x ln				2 xdx
	0																					1
1.3	1							1+ x		2	)					2.3				2p		x +cosx
	ò						(							dx						òp								dx
							(															x2 + 2sin x
		(											2									x2 + 2sin x
	0	(				3						)
	0			x		3		+3x +1
				x				+3x +1
1.4	2arctg2										dx					2.4					p/2					cosxdx
	ò																				ò
																											3
								sin2 x			1	+cosx												(1
	p/2							sin2 x			1	+cosx						2arctg(1/2)
	p/2									(					)											-cosx)
1.5	arctg3								1						dx	2.5	p/4								2ctgx +1				dx
	ò								1								ò								2ctgx +1
	ò		(3tgx +5)sin2x														ò
	p/4		(3tgx +5)sin2x														arccos(4/ 17)(2sin x +cosx)2

Продолжение табл. П1

Вычислить интеграл

Вариант 1

Вариант 2

1.6

2.6

256sin4 x cos4 xdx

ò16sin6 x cos2 xdx

p/2

1.7

2/2

2.7

(1- x2)

3 dx

(

+ x2

)

25+ x2

Вычислить интеграл

Вариант 3

Вариант 4

3.1

p/2

(

)

4.1

(

3x2

)

-5x +6 sin3xdx

+5 cos2xdx

3.2

(x + 2)3 ln2(x + 2)dx

4.2

ò x2e-x/2dx

-1

3.3

1 x3 + x

4.3

1-cosx

ò0

x4 +1dx

(x -sin x)2

3.4

p/2

cosx -sin x

4.4

2arctg3

cosx

1-cosx

2arctg3 (1+sin x)

2arctg2

(

)

3.5

arctg(1/3)

tgx +8

4.5

arccos 2/3

tgx + 2

ò0

sin2 x + 2cos2 x -3

18sin2 x +2cos2 x

3.6

256cos8 xdx

4.6

256sin2 x cos6 xdx

p/2

3.7

4.7

ò 16-x2dx

(16+ x2)3

Вычислить интеграл

Вариант 5

Вариант 6

5.1

(

-8x2

)

cos4xdx

6.1

(

)

sin2xdx

3x - x2

5.2

x +1 2 ln2

x +1 dx

6.2

+ 2 ex/2dx

ò(

(

ò (

)

-2

5.3

1+ln x

6.3

+ln x

5.4

p/2

1+cosx

6.4

p/2

sinx

1+cosx +sinx

Окончание табл. П1

Вычислить интеграл

Вариант 5

Вариант 6

5.5

arctg3

ctgx +1

6.5

p/4

2tg

x -11tgx -22

(sinx +2cox)2

p/4

4-tgx

5.6

6.6

6 x

ò sin

xdx

ò16sin

cos

5.7

2 1- x2dx

6.7

2,5

ò x

25- x2

Таблица П2

Указания к самостоятельной работе № 1

Задача 1 Решается методом интегрирования по частям Задача 2 Решается методом интегрирования по частям Задача 3 Требует замены переменной или

введения под знак дифференциала Задача 4 Решается с помощью универсальной

тригонометрической подстановки Задача 5 Решается с помощью полу универсальной

тригонометрической подстановки Задача 6 Требует знание тригонометрических формул,

в частности, синуса двойного аргумента Задача 7 Требует знание темы: интегрирование иррациональных функций

с помощью тригонометрической замены

Таблица П3

Ответы к задачам самостоятельной работы № 1


	Вариант 1									Вариант 2
1.1	4		cos6			2	sin6		2.1	1			cos6 17

		9				27						4
1.2	2ln			2	2 2ln2			3	2.2		10			e	3	16
1.2	2ln				2 2ln2			4	2.2	27				e		27
								4		27						27

																				Продолжение табл. П3
	Вариант 1																		Вариант 2
1.3									4								2.3									ln2

	15
	15
1.4	29																2.4									13

	24																									10
	24																									10
1.5					1				ln			12					2.5						2ln2									1
1.5	10								ln								2.5						2ln2								2
	10									7																					2
1.6								5									2.6											3
1.6	8																2.6											3
	8
1.7						5					3						2.7									2
	4									8
																										50
																										50
	Вариант 3																		Вариант 4
3.1														67			4.1											3
3.1																	4.1											3
	3									27
3.2	4ln22 2ln2															15	4.2				10						e				26
3.2	4ln22 2ln2														32		4.2				10						e						e
															32																		e
3.3	1			2ln2													4.3									1

		8																										2
3.4									1								4.4							1		ln					2
3.4									6								4.4				6					ln					3
									6												6										3
3.5									1				ln2				4.5				1		ln2											2

			3						36												4
3.6							35										4.6											5
3.7										2							4.7										4

	32
	32
			Вариант 5																		Вариант 6
5.1							2										6.1			1	3 cos6 3sin6

																		8		4
5.2	9ln23 6ln3														52		6.2							20					44
															27															e
5.3									3								6.3								e	2				1
																									e					1
									2
																					2									2
																					2									2
5.4		1		2ln2													6.4				1	2ln2
5.4		4		2ln2													6.4				4	2ln2

Окончание табл. П3

	Вариант 5									Вариант 6
5.5		1	ln			9		1	6.5		2ln		3	5
5.5	4		ln		5		15		6.5		2ln		8	4
	4				5		15						8	4
5.6				35					6.6				5
5.6	64								6.6				8
	64												8

5.7					1				6.7	25		2 3			3

	16										24

Самостоятельная работа № 2: «Применение определенных интегралов»

Таблица П4

Вариант 1

Вариант 2

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями, заданных

ограниченной линиями

параметрическими уравнениями

6cost,

1.1

4 x

2.1

2sint,

x 0 и

x 1

8cos3 t,

x 4 y2 ,

x y2 2y

4sin3 t,

1.2

2.2

x 3

x t sint,

1.3

y x

4 x

0 и

2.3

y 1 cost,

0 x 2

y 1

x 2 , y

x 6cost,

4sint,

1.4

x 1

2.4

y 2 y 2

x 4

2cos3 t,

1.5

y arccosx ,

y 0

и x 0

2.5

2sin3 t,

x 2 x 2

Продолжение табл. П4

Вариант 1

Вариант 2

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями, заданных

ограниченной линиями

параметрическими уравнениями

y 2x x2 3,

2cost,

1.6

2.6

y x2

4x 3

y 4

2sint,

y 4

x 2

t sint ,

1.7

4 y

, x 0, y 0

2.7

1 cost ,

y 2

y 1

y 3 0 x 4 , y 3

Вариант 3

Вариант 4

Вычислить площадь фигуры,

Вычислить длину дуги кривой

ограниченной линиями в полярной

в декартовой системе координат

системе координат

3.1

ρ 1

2cosφ

4.1

y lncosx ,

0 x / 6

3.2

ρ 4sin3φ

ρ 2 ρ 2

4.2

y 2 ex , ln

3 x ln 8

3.3

ρ 2cosφ,

ρ 2 3sinφ

4.3

1 x

arcsinx ,

0 φ / 2

0 x

7 / 9

3.4

ρ 1

2sinφ

4.4

y 1 lncosx ,

0 x / 6

3.5

ρ sinφ

ρ 2sinφ

4.5

y ex 6, ln

8 x ln15

3.6

cosφ

4.6

1 x2 arccosx ,

0 x 8/ 9

3.7

ρ sin3φ

4.7

y lnsinx , / 3 x / 2

Вариант 5

Вариант 6

Вычислить длину дуги кривой,

заданной параметрическими

заданной в полярной системе

уравнениями

координат

cost sint ,

2 1 cosφ

x e

5.1

cost sint ,

6.1

y et

/ 2

/ 2 t

5.2

x 8cos3 t,

0 t / 6

6.2

2eφ,

y 8sin3 t,

/ 2 φ / 2

2 sint 2t cost,

x t

sinφ

5.3

y 2 t2 cost 2t sint,

6.3

6 1

/ 2 φ 0

0 t / 2

Окончание табл. П4

Вариант 5

Вариант 6

Вычислить длину дуги кривой,

заданной параметрическими

заданной в полярной системе

уравнениями

координат

x 3

sint

cosφ

5.4

t 2

6.4

5 1

y 3 t

cost ,

/ 3 φ 0

x 3,5

2cost cos2t

12e12φ/5,

5.5

6.5

3,5 2sint sin2t ,

0 φ

/ 3

0 t / 2

5.6

x 6cos3 t,

t / 3

6.6

1 sinφ,

3 t,

/ 2

φ / 6

y 6sin

5.7

x 5

t sint

0 t

6.7

2φ,

y 5 t cost ,

0 φ 4 / 3

Таблица П5

Указания к самостоятельной работе № 2

Площадь фигуры,

ограниченной прямыми линиями x a, x b

графиками

непрерывных на отрезке a,b

функций

y f1 x

Вариант 1

y f2 x , где

f1 x f2 x , вычисляется по формуле

x f

x dx

Площадь

фигуры,

ограниченной

линиями,

заданных

Вариант 2

параметрическими уравнениями x x t и

y y t при t1 t t2 ,

x t dt

вычисляется по формуле

S 2 y t

Площадь фигуры, ограниченной линиями в полярной системе

координат

ρ f1 φ ,

ρ f2 φ

0 f1 φ f2 φ

и лучами

Вариант 3

φ=α,

φ β α < β вычисляется по формуле

φ f

φ dφ

Окончание табл. П5

Длина дуги кривой в декартовой системе координат вычисляется по

Вариант 4

формуле

l b

1 f

2dx

Длину

дуги

кривой, заданной параметрическими уравнениями

Вариант 5

при условии t1 t

t2 , вычисляется по формуле

x t

2 y

t 2dt

l 2

Длина

дуги

кривой, заданной в полярной системе координат

Вариант 6

при условии α φ β вычисляется по формуле

1 ρ

dφ

Таблица П6

Ответы к задачам из самостоятельной работа № 2

	Вариант 1							Вариант 2						Вариант 3
1.1		1	2 3			3	2.1	2 3				3	3.1					3	1
1.1		6	2 3			3	2.1	2 3				3	3.1					2	1
1.2				9			2.2	2 3				3	3.2				4				2	3
1.2				9			2.2	2 3				3	3.2	3							2	3
														3
1.3					8		2.3				2		3.3					5				3
1.3				3			2.3	2			2		3.3	6								3
				3				2						6
1.4				1			2.4	4 6				3	3.4	3					1

				3														2
1.5				1			2.5		3	1			3.5							3
1.5				1			2.5	4		1			3.5							4
								4												4
1.6				9			2.6	2 2					3.6		1	4 3						3
1.6				9			2.6	2 2					3.6		8	4 3						3
	6																			4
1.7	1			2 3		3	2.7	3 3					3.7
1.7				2 3		3	2.7	3 3					3.7

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 семестр

#
26.02.2023729.38 Кб31 семестр. Лекции. Кленина.pdf
#
26.02.20238.08 Mб1Мои шпоры.docx
#
26.02.20232.6 Mб2Мои шпоры.pdf
#
26.02.20232.81 Mб3Определённые интегралы. Кленина.pdf
#
26.02.20236.61 Mб0Практика из ЭП (1).jpg
#
26.02.20236.94 Mб0Практика из ЭП (10).jpg
#
26.02.20235.49 Mб0Практика из ЭП (11).jpg
#
26.02.20236.5 Mб0Практика из ЭП (2).jpg
#
26.02.20236.31 Mб0Практика из ЭП (3).jpg