1 семестр / Определённые интегралы. Кленина

x Î[xi-1,xi ] удовлетворяют следующим равенствам:

Mi¢ =-mi и mi¢ =-Mi ,

значит, выполняется равенство Mi¢-mi¢ =-mi -(-Mi )= Mi -mi ;

41

По условию функция y = f (x) интегрируема на [a,b], тогда по достаточному условию интегрирования функции y = f (x) следует, для заданного числа ε > 0 существует такое разбиение отрезка [a,b], для которого разность S -s ˂ ε. Отсюда для функции y = f (x) с учетом послед-

него неравенства и оценки S¢-s¢£S -s получаем S¢-s¢ ˂ ε, что соответствует достаточному условию интегрируемости функции y = f (x) .

Докажем оценку модуля определенного интеграла. Для двойного неравенства функции y = f (x) имеем - f (x) £ f (x)£ f (x). Перехо-

дим к интегральным неравенствам, применяя оценку 5, получаем

а это означает, что имеет место требуемая оценка

Замечание. Из интегрируемости модуля функции f (x) не следует, вообще говоря, интегрируемость самой функции f (x). Проиллюстрируем это на примере. Пусть функция f (x) определяется на отрезке

число, а m – целое неотрицательное число.

Эта функция не интегрируема на заданном отрезке [0,1], так как не

существует предел последовательности интегральных сумм для любого разбиения отрезка. В самом деле, подсчитывая интегральные суммы заданной функция f (x), где выбранные точки ci рациональные, получается

длина отрезка [0,1], равная 1.

А выбирая точки ci иррациональные, получаем значение интегральных сумм, равное числу (-1). Таким образом, не выполняется условие независимости предела интегральных сумм функции f (x) от выбора точек ci .

44

Оценка 7. Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a,b],

M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции на [a,b].

Пусть функция g (x) тоже интегрируема на отрезке [a,b] и для всех x удовлетворяет условию g(x)³0. Тогда

Доказательство. Функция y = f (x) на [a,b] удовлетворяет неравенствам m £ f (x)£M . Умножим это двойное неравенство на функцию g(x)³0. Получим m g(x)£ f (x) g(x)£M g(x). Согласно оценке 5,

и m –соответственнонаибольшееинаименьшеезначенияфункциина [a,b].

Тогда найдется такое число μ, удовлетворяющее неравенствам m ≤ μ ≤ M, что

b

òf (x)dx = m(b - a).

a

45

Доказательство. Функция y = f (x) на отрезке [a,b] удовле воря-

венство имеет очевидную геометрическую интерпретацию (см. рис. 1.17), а им нно площадь прямоугольн ика A1A2A3A4 равна m(b a), площадь

прямоугольника A1B1 2A4 равна M (b a). Отсюда следует, что площадь криволинейной трапеции A1C1C2C3A4 не м ньше площади первого прямоугольника A1A2A 3A4 и не больше площади второго A1B1B2A4 .

Рис. 1.17. Оценка определ нного ин еграла

46

а им нно, сущ ествует прямоугольник A1B1B2B3A4, равновеликий криволинейной трап еции A1 A2B2A3A4 .

ис. 1.18. ллюстрация равенства площадей криволинейной трапеции и прямоугольника

47

Значение произведения f c b a численно равно площади прямоугольника A1B1B2B3A4 с основанием A1A4 b a и высотой f c .

b

А определенный интеграл òf (x)dx численно равен площади кри-

a

волинейной трапеции A1A2B2A3A4 .

Оценка 9. Первая формула среднего значения в обобщенном виде. Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a,b], M

и m – наибольшее и наименьшее значения функции на [a,b] соответ-

ственно.

Пусть функция g (x) тоже интегрируема на отрезке [a,b] и для всех удовлетворяет условию g(x)³0 (или g (x)£0).

Тогда найдется такое число μ, удовлетворяющее неравенствам

Последняя формула называется первой формулой среднего значения в обобщенной форме.

b

Доказательство. Если òg (x)dx = 0, то подставляя значение этого

48

Число μ удовлетворяет неравенствам m £m£ M . Следовательно,изпо-

a

Теперь получим первую формулу среднего значения в обобщенной форме.

Если функция f (x) – непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме

Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке [a,b] для любого числа μ, удовлетворяющего условию m £m£ M ,

существует такое число c Î[a,b], что f (c)= m.

49

Отсюда

Последняя формула представляет собой первую формулу среднего значения в обобщенной форме. Доказательство оценки 9 закончено.

Оценка10.ВтораяформуласреднегозначенияилиформулаБонне. Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a,b], а функция

g (x) монотоннанаэтомотрезке.Тогдасуществуеттакоечисло c Î[a,b],что

1.7. Формула вычисления определенного интеграла

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция y = f (x) интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале (a,b), и пусть c – некоторая фиксированная точка

выбранного интервала. Тогда каково бы ни было число x из интервала (a,b), функция f (x) интегрируема на отрезке [c,x]. Поэтому на отрезке

определена функция F (x)=òx f (t)dt (здесь переменная интегрирования

c

обозначена буквой «t», так как буквой «x» обозначен верхний предел интегрирования).

Определение. Функция F (x)=òx f (t)dt называется интегралом с

c

переменным верхним пределом.

Найдем производную функции F (x) по переменному верхнему

пределу x .

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на интервале a,b , то

50