Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретические основы электротехники. Часть 1. Установившиеся режимы в линейных электрических цепях

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

ТЕМА 9. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

9.1. Определение цепей с распределенными параметрами. Упрощенная теория линий

Выше рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами, для которых полагают, что на отдельных участках цепи сосредоточен только один вид поля (электрическое – в конденсаторе, магнитное – в катушке индуктивности), а участки, на которых электромагнитная энергия необратимо преобразуется в тепловую, химическую или механическую, обозначают сопротивлениями.

В цепях с распределенными параметрами электрическое,

магнитное поля и потери энергии распределены вдоль участков цепи, а напряжения и токи различны для разных точек (сечений) цепи. Примеры цепей с распределенными параметрами: длинные линии электропередачи, линии электропроводной связи и телеуправления, обмотки трансформаторов и электрических машин и др.

Если расстояние между проводами длинной линии много меньше длины волны электромагнитных колебаний между проводами, то для расчета такой линии применима упрощенная теория, которая основана на понятиях теории электрических цепей (напряжения, токи, сопротивления, индуктивности, емкости), а не на теории электромагнитного поля, которая учитывает, что электрическое и магнитное поля линии распределяются внутри проводов и между проводами. Ниже излагается упрощенная теория.

9.2. Дифференциальные уравнения однородной линии и их решение для синусоидального режима

Линия, параметры которой равномерно распределены вдоль всей ее длины, называется однородной.

Рассмотрим однородную двухпроводную линию с индуктивностью L0dx , активным сопротивлением R0dx , емкостью

131

C0dx и активной проводимостью G0dx на каждом элементарном участке длиной dx (рис. 9.1). Параметры однородной линии на единицу ее длины ( L0 , C0 , R0 и G0 ) называют пер-

вичными параметрами. Будем называть верхний провод ли-

нии прямым, а нижний – обратным.

R0 dx	L0 dx	i R0 dx	L0 dx
		С0 dx		С0 dx
	G0 dx	u			u	u dx
					u	u dx
			G0 dx			x
	x	i	dx		i
				i +	x dx

Рис. 9.1.

Каждый элементарный участок линии можно рассматривать как элементарный четырехполюсник, а линию в целом можно считать симметричным пассивным четырехполюсником относительно любых двух сечений, например относительно входных и выходных зажимов.

В начале выбранного элемента линии dx напряжение и ток обозначим соответственно u и i, а в начале следующего

элемента –

dx и i

dx .

По законам Кирхгофа

R0dxi L0dx

u u

dx ;

dx G0dx C0dx

i i

dx ,

где x – расстояние от начала линии до элемента dx .

После упрощения последних уравнений, сократив их на dx , получим систему основных дифференциальных уравнений линии с распределенными параметрами

132

u	R i L		i ;	(9.1)
x	0	0 t
i	G u C		u .	(9.2)
x	G u C		u .	(9.2)
x	0		0 t

Будем полагать, что в линии установившийся режим при синусоидальном напряжении источника питания. Уравнения (9.1) и (9.2) в комплексной форме

ddxU R0 j L0 I ;

ddxI G0 j C0 U .

Введем обозначения: Z 0 R0 j L0 – комплексное сопротивление, Y 0 G0 j C0 – комплексная проводимость на единицу длины линии. Тогда


	dU		Z 0 I ;			(9.3)
	dx

d I		Y 0		U	.	(9.4)

dx

После дифференцирования (9.3) и (9.4) получим уравнения

d 2U

d I

;

d 2 I

dx2

0 dx

dx2

в которых заменим

d I

по (9.3) и (9.4):

d 2

;

(9.5)

dx2

d 2 I

I .

(9.6)

dx2

Решение (9.5):

U A e x

e x ,

(9.7)

где A1 и A2 – постоянные интегрирования;

Z 0 Y 0 –

(9.8)

коэффициент распространения.

133

Найдем ток по уравнению (9.3):

1 dU

A1e x A2e x

A1e

A2e

(9.9)

Z 0 dx

Z 0

Z 0 Y 0

Здесь Z 0 Y 0 – волновое сопротивление линии Z В , которое

в случае однородной линии равно характеристическому сопротивлению линии как четырехполюсника:

Z В Z C ZC e j					R0 j L0			e j ,
			Z 0	Y 0	R0 j L0				(9.10)
			Z 0	Y 0					(9.10)
					G0 j C0
где
	1		G L R C
	1	arctg		0 0	0	0	–		(9.11)
	2	arctg	R G 2 L C				–		(9.11)
	2		R G 2 L C
			0	0	0	0

аргумент волнового сопротивления.

Коэффициент распространения и волновое сопротивле-

ние называют вторичными параметрами линии.

9.3. Бегущие волны в линии

Подставим (9.10) в (9.9):

e xe j x

e xe j x ,

(9.12)

Z C

где

A A e j 1

; A A e j 2 .

Мгновенные значения напряжения и тока:

A1 e x sin t x 1

A2 e x sin t x 2 ;

(9.13)

i =

2A1

e x sin(ωt–βx+Ψ1–θ) +

2A2

e x sin(ωt+βx+Ψ2–θ). (9.14)

Каждое слагаемое правых частей уравнений (9.13) и

(9.14) представляет собой бегущую волну.

Скорость

перемещения фазы колебания, постоянная

во времени t, но изменяемая по координате x, пройденного волной, называется фазовой скоростью. Из выражения ωt–βx+Ψ1 = const следует, что d(ωt–βx+Ψ1)/dt = 0. Фазовая скорость

134

c v	dx	.	(9.15)

Ф	dt

Аналогично из второго слагаемого (9.13) ωt+βx+Ψ2 = const

получим c v	, следовательно, эти слагаемые пред-
Ф

ставляют собой волны, движущиеся в противоположных направлениях.

Расстояние (в направлении распространения волны) между двумя ближайшими точками, разность фаз колебаний в которых равна 2π, называется длиной волны. Из (9.13) по-

лучим ωt–β(x+λ)+Ψ1 = ωt–βx+Ψ1 – 2π			, откуда
	2	.	(9.16)

За один период T ну волны:

волна проходит расстояние в одну дли-

2 f	f	.	(9.17)

		T

Волна, движущаяся от начала линии, называется прямой,

а от конца линии – обратной (встречной или отраженной).

Для построения кривой волны, например обратной (рис. 9.2), нужно сначала построить огибающие 2 A1 e x .

Разложение волн на прямые и обратные имеет условный характер, а реально в линиях существуют только результирующие напряжение U и ток I :

U U

A e

пр

об

;

(9.18)

I I пр I об

e x

e x ,

Z C

откуда

пр

;

об

(9.19)

пр

об

Таким образом, напряжения и токи в линии можно представить наложением прямых и обратных волн. Поэтому ве-

135

личина называется коэффициентом распространения, – коэффициентом ослабленения, – коэффициентом фазы.

uоб

2 A1 e x

t1 t2

c	t3

2 A1 e x

Рис. 9.2.

9.4. Определение напряжения и тока в любой точке линии по заданным напряжению и току в начале или в конце линии

Если известны значения напряжения U1

тока I1 в

начале линии, то

из

(9.7) и

(9.12) при

x 0

получим

U1 A1 A2 ;

I1 ZC A1 A2 , откуда

;

(9.20)

Подставим (9.20) в (9.7) и (9.12):

U 12 U 1 I1 Z C e x 12 U 1 I1 Z C e x ;

136

	1	U	1		1	U	1
I				I1 e x				I1 e x .

	2	Z C			2	Z C

После преобразований и ввода гиперболических функций запишем выражения для определения напряжения и тока в любой точке линии по заданным напряжению и току в начале линии:

U U

1 ch x I1 Z C sh x;

1 e x e x

e x e x

(9.21)

Z C

U 1

sh x I1 ch x.

Z C

Если

заданы

2 ,

I 2

в конце линии (сопротивление

Z Н U 2

нагрузки

I 2 ),

то,

обозначив

расстояние

текущей

точки от конца линии через y, длину линии – через l, при x l y из (9.7) и (9.12) получим:

U A e l e y A				e l e y ;
		1	2
		1	2
I Z	C	A e l e y A			e l e y .
	C		1	2
Заменим y на x		и	введем	обозначения		A A e l ;
						3	1
A4 A2e l , тогда

U A3e

A4e

;

(9.22)

I Z

A e x A e x ,

где A3e x – напряжение прямой волны;

A4e x

– обратной

волны.

При x 0 U 2

A3 A4 ;

I 2 ZC A3 A4 , откуда

;

(9.23)

137

После подстановки (9.23) в (9.22) и преобразований получаем формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии по заданным соответствующим величинам в конце линии:

U	U		2 ch x I 2 Z C sh x;
		U 2			(9.24)
I				sh x I ch x.

		Z C		2

9.5. Условия неискаженной передачи сигнала в линии

Линия, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и с одинаковым коэффициентом затухания, называется линией без искажений. При движении волны вдоль линии без искажений ее амплитуда уменьшается, но формы волны напряжения (или тока) в конце и в начале линии остаются подобными. Речь и музыка передаются по таким линиям (линиям связи и телемеханики).

		Сигнал передается без искажений, если коэффициент за-
тухания и фазовая скорость															c vФ		не зависят от частоты,
т.е. при условии
								R0				G0			k .					(9.25)
															k .					(9.25)
								L0				C0
		Подставим выражения
	0		0	0		0					0			0			0	0
Z		R j L			L		k j		,	Y			G			j C		C	k j в (9.8):

				0	0
			k j	L C , откуда
							k L0C0							R0G0 ;						(9.26)

								L0C0 ;
							c							1		.				(9.27)
							c									.				(9.27)

L0C0

Вформулах (9.26) и (9.27) и c не зависят от частоты. Не зависит от частоты и волновое сопротивление линии без искажений

ZC Z В Z 0 Y 0 L0 C0 .

138

9.6. Режим согласованной нагрузки

Нагрузка, при которой отсутствует отраженная волна, называется согласованной. В режиме согласованной нагрузки коэффициент отражения равен нулю, а сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению.

Отношение напряжения отраженной (обратной) волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называется коэффициентом отражения по напряжению:

ku	A e l	Z	Н	Z	C
	1					.	(9.28)
	A2e l
		Z Н Z C

Коэффициент отражения по току ki ku .

Формулы напряжения и тока в любой точке линии на расстоянии x от ее конца получим, заменив в формулах (9.24)

Z C Z В

на Z Н :

U U 2 ch x sh x

2 e

;

(9.29)

I I 2 sh x ch x I 2 e x

В начале линии при x l

j U2

j l

;

(9.30)

I I e l I

e j I2 e l e j l ,

где U2

и I2 – аргументы комплексов

и I 2

соответ-

ственно.

Коэффициент полезного действия (КПД) линии при со-

гласованной нагрузке равен отношению активной мощности

в конце линии P к активной мощности в начале линии P .
	2		cos U 2		I2 U 2 I 2 cos .				1
При этом P2	U 2 I 2		cos U 2		I2 U 2 I 2 cos .				Согласно
формулам (9.30)	P U I cos U					I	2	e2 l cos . Тогда КПД
	1	1	1		2		2
				P2	e 2 l .				(9.31)
				P	e 2 l .				(9.31)
			1

139

9.7. Входное сопротивление линии

Для схемы (рис. 9.3) линии длиной l, подключенной к источнику напряжения U1 и нагруженной сопротивлением Z Н , входное сопротивление получим, заменив в формулах (9.24) x на l и U 2 – на I 2 Z Н :

U1	U2	ZН
		ZН

Рис. 9.3.

I 2 Z Н ch l I 2 Z C sh l

Z Н ch l Z C sh l

. (9.32)

ВХ

Z Н

I 2

sh l I 2 ch l

sh l ch l

Z C

При согласованной нагрузке ( Z Н Z C )

Z ВХ

Z C sh l ch l

Z C Z В .

sh l ch l

9.8. Линия без потерь. Стоячие волны

Напряжение и ток в линии без потерь. Когда говорят о линии без потерь, имеют в виду линию с очень малыми потерями (R0 и G0 много меньше ωL0 и ωC0 соответственно), а полностью исключить потери энергии невозможно.

При R0 = G0 =0 j j L0C0 , где 0 , L0C0 . Волновое сопротивление ZC L0 C0 при этом – чисто активное.

Если учесть, что x j x 0 j x j x , то формулы (9.24) для линии без потерь

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]