Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретические основы электротехники. Часть 1. Установившиеся режимы в линейных электрических цепях

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

На рис. 6.12 представлены АЧХ для фильтра 4-го порядка при ε=1 (кривая б) и 1 5 (кривая а). Как видно из ри-

сунка, в полосе пропускания фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации ε.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в деци-

белах и пересчитываются по формуле 20log10 1 2 . Так,

пульсации с амплитудой в 3 дБ соответствуют ε=1. Чем меньше ε, тем лучше аппроксимируется АЧХ в указанной полосе, но одновременно снижается крутизна ската характеристики в полосе затухания (при с 1). Размах пульса-

ций АЧХ равен

1	1	.


	1 2
	1 2

Таким образом, у фильтров Чебышева характеристика ослабления в полосе пропускания имеет колебательный ха-

	рактер с амплитудой, не пре-	K ( )
	вышающей 3 дБ, а в полосе
		1
	затухания – монотонно воз-
		а

растающий, с	крутизной,				б
большей, чем у фильтра Бат-		0,5			б
		0,5

терворта такого же порядка.
Чем больше амплитуда ослаб-						1,5
ления в полосе пропускания,			0	0,5	1	1,5
ления в полосе пропускания,		Рис. 6.12. АЧХ фильтра
тем круче идет характеристика		Рис. 6.12. АЧХ фильтра
тем круче идет характеристика		Чебышева первого рода
в полосе затухания и наобо-		Чебышева первого рода
в полосе затухания и наобо-			четвертого порядка
рот, чем меньше	амплитуда		четвертого порядка
		( c	1 , кривая а
						– 1 5	;
колебания в полосе пропуска-						– 1 5	;
колебания в полосе пропуска-				кривая б – ε=1)
ния, тем меньше крутизна ха-				кривая б – ε=1)
ния, тем меньше крутизна ха-
рактеристики в полосе затухания (рис. 6.12).

Следует отметить, что порядок аналогового электронного фильтра Чебышева равен числу реактивных компонентов, необходимых для его реализации.

Фильтр Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) используется реже, так как имеет менее крутой спад

101

K ( )				АЧХ,	что приводит к увеличе-
K ( )				нию	числа компонентов филь-
1				нию	числа компонентов филь-
1				тра. У него отсутствуют пульса-
				тра. У него отсутствуют пульса-
				ции в полосе пропускания, од-
0,5				нако присутствуют в полосе за-
				тухания (рис. 6.13). АЧХ такого
				фильтра задаётся				следующим
0	1	2	3	выражением:
0	1	2	3
Рис. 6.13. АЧХ фильтра				K		1
Чебышева второго рода						1			.



	четвертого порядка					1		1
	( c 1 , ε=1,133)					1	2T 2	( )
							n	с

Таким образом, фильтры Чебышёва помогают решать задачи обеспечения хорошего подавления частот в области полосы затухания с помощью фильтров невысокого порядка в случае, если гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и затухания не столь важна.

В данном разделе рассматриваются только ФНЧ, т.к. другие типы фильтров (ФВЧ, полосовые и т.д.) можно получить с помощью замены переменной (частоты). Для этого во всех выражениях, содержащих частоту, нужно произвести замену переменной так, чтобы АЧХ преобразовалась в характеристику соответствующего фильтра. Такая замена называется преобразование частоты и подробно рассматривается в специальной литературе.

K ( )							Эллиптический
							Эллиптический

0,8						фильтр (Фильтр Кауэ-
						ра) – это фильтр, у ко-


0,6						торого пульсации при-
0,6						торого пульсации при-
0,4						сутствуют как в полосе
0,4						пропускания, так и в
						пропускания, так и в
0,2						полосе	затухания
0,2


						АЧХ. При этом вели-
0
	0,5	1	1,5	2	2,5
	0,5	1	1,5	2	2,5	чина пульсаций в каж-
Рис. 6.14. Эллиптический фильтр, n=4						чина пульсаций в каж-
Рис. 6.14. Эллиптический фильтр, n=4						дой из	полос незави-
						дой из	полос незави-

сима друг от друга. Отличительной особенностью фильтра

102

Кауэра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров (рис. 6.14).

АЧХ такого фильтра записывается в виде

K	1			,


	1 2 R2		(, )
	1 2 R2		(, )
		n	с

где Rn рациональная эллиптическая функция n-го порядка;

ξ – показатель селективности.

Следует отметить, что из эллиптического фильтра можно получить уже известные нам фильтры. Так если пульсации в полосе затухания равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышева первого рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышева второго рода. Если же пульсации отсутствуют на всей АЧХ, то фильтр становится фильтром Бат-

терворта.
Фильтры Бесселя ха-	K ( )
рактеризуются очень по-	0,8
логими участками ампли-	0,8
логими участками ампли-
тудно-частотных характе-	0,6
ристик в переходной по-	0,4				а
ристик в переходной по-
лосе, более пологими чем
лосе, более пологими чем				б
у фильтров Баттерворда	0,2
(рис. 6.15), в то же время
они обладают практиче-	0		1	2	3
	0		1	2	3
		Рис. 6.15. АЧХ ФНЧ, n=3
ски линейной ФЧХ в по-		Рис. 6.15. АЧХ ФНЧ, n=3
ски линейной ФЧХ в по-	(а – фильтр Бесселя; б – Баттерворда)
лосе пропускания.	(а – фильтр Бесселя; б – Баттерворда)
лосе пропускания.
Передаточная функция фильтра Бесселя определяется
формулой
H ( p)		Bn (0)	,
H ( p)		Bn ( p)	,

где p j , Bn ( p) полином Бесселя, который находится на основе равенств

103

B1(x) x 1; B2 (x) x2 3x 3 ; …

Bn (x) (2n 1)Bn 1(x) x2Bn 2 (x) .

В специальной литературе приведены таблицы передаточных функций фильтров Бесселя.

Переходные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева имеют большую амплитуду колебаний при ступенчатом входном сигнале, в то время как переходный процесс для фильтра Бесселя практически не имеет колебаний. Таким образом, несмотря на менее удовлетворительные АЧХ фильтра Бесселя, во временной области он имеет наилучшие свойства, фильтр Чебышева – наихудшие, а фильтр Баттерворта по своим свойствам занимает промежуточное положе-

ние (рис. 6.16).

uвых, В

аб

				t, мс
0	0,5		1	t, мс

Рис. 6.16. Переходный процесс (а – фильтр Бесселя; б – Баттерворта; в – Чебышева)

104

ТЕМА 7. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

7.1. Метод расчета мгновенных установившихся значений переменных при действии несинусоидальных ЭДС

Выше рассматривались синусоидальные ЭДС. На практике во многих случаях кривые периодических ЭДС отличаются от синусоидальных.

Периодические несинусоидальные напряжения и токи (рис. 7.1, а) можно представить в виде рядов Фурье, которые в общем случае содержат: постоянную составляющую; первую гармонику, имеющую период, равный периоду самой функции; высшие гармоники, причем частота k-й гармоники в k раз больше частоты первой гармоники. Мгновенное значение ЭДС

e t E0	E1m sin t 1 E2m sin 2 t 2
	Ek m sin k t k ,	(7.1)
	Ek m sin k t k ,

где E0 – постоянная составляющая; E1m sin t 1 – основная (первая) гармоника; Ek m sin k t k – высшая (k-я) гармоника; Ek m – амплитуда, k – начальная фаза k-й гармоники.

Функции вида (7.1) должны удовлетворять условиям Дирихле, т.е. иметь конечное число разрывов, а также максимумов и минимумов за период T. Ряд Фурье (7.1) – бесконечный, но может быть ограничен конечным числом членов ряда.

Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Общий член ряда

Ek m sin k t k Ek m cos k sink t (7.2)Ek m sin k cosk t Bk sink t Ck cosk t.

Таким образом, (7.1) можно записать как


e t E0 Bk sink t Ck cosk t , (7.3)
k 1	k 1

где

105

T e t

dt ; B

T e t

sink tdt

; C

T e t

cosk tdt . (7.4)

Если известны коэффициенты Bk

и Ck , то можно вычис-

лить амплитуду и фазу e t :

arctg

C2 ;

k m

Аналогичные выкладки можно привести для токов и напряжений.

Приближенные формулы ряда Фурье. Приведенные выше формулы для определения E0 , Bk и Ck используются,

когда функция f t задана аналитически. Если же функция

напряжения, тока или ЭДС задана в виде графика, то можно воспользоваться приближенными формулами. Период T делится на p равных интервалов (рис. 7.1, б), и в p точках опре-

деляются ординаты f n заданной кривой при

n 1, 2, , p . Тогда коэффициенты ряда после дискретной замены примут вид:

	2	p	t		t
Bk		f n	sin k n			;	(7.5)
	p n 1		p		p
u(t)				i(t)
				i(t)
			t	1		n	p
			t
					2		t
T				i		T
а)						б)
			Рис. 7.1.

106

	2	p	t	t
Ck		f n	cos k n	.	(7.6)
Ck		f n	cos k n	.	(7.6)
	p n 1		p	p
На практике для определения Bk и Ck					используют при-

боры, именуемые гармоническими анализаторами. Причиной появления высших гармоник тока в линейных

цепях является наличие высших гармоник ЭДС и напряжений, питающих эти цепи. Высшие гармоники возникают и вследствие изменения параметров цепи. Если изменение параметров происходит по заданной периодической функции времени, то цепь является линейной, в противном случае – нелинейной.

Применение принципа наложения. Основываясь на принципе наложения, можно предложить следующий метод расчета мгновенных значений токов в линейных цепях с периодическими несинусоидальными ЭДС.

Раскладываем заданные ЭДС или напряжения в ряд Фурье:

e e0	e1 e2	ek ;
u u0	u1 u2	uk .

Находим как функции времени мгновенные токи i0 ,i1,i2 , ,ik , возникающие в некоторой ветви цепи под действием каждой составляющей ЭДС ( e0 , e1, e2 , , ek ) или напряжения ( u0 ,u1,u2 , ,uk ) в отдельности. Суммируя

найденные значения токов, получаем ток в данной ветви i i0 i1 i2 ik .

Пример 7.1. Определить ток в простейшей неразветвленной RLC-цепи в установившемся режиме, если напряжение на входных зажимах является периодической несинусоидальной функцией.

Решение. Представим входное напряжение в виде ряда u u0 u1 u2 uk ,

где u0 – постоянная составляющая напряжения;

uk Uk m sin k t uk – высшая (k-я) гармоника напряжения.

107

Так как 0 , то Z и постоянная составляющая

i0 0 .

где Ik m

Мгновенное значение k-й гармоники тока

ik Ik m sin k t uk k ,
			1
					k L
Uk m				; k arctg	k L	k C	.
					R
	1	2



R2 k L
R2 k L
	k C

Искомый ток определяется суммой

i 0 i1 i2

ik .

Пример 7.2. Определить комплексную амплитуду входного тока в разветвленной цепи (рис. 7.2, а).

Решение. Воспользуемся методом комплексных амплитуд, для чего преобразуем схему (рис. 7.2, а) к эквивалентной схеме (рис. 7.2, б).

i	R1	L1	Zk1
		R2	Ik
		R2	R3

u	C3
L2	Uk	Zk2	Zk3

а)	б)
	Рис. 7.2.

Комплексная амплитуда напряжения k-й гармоники

	U	k m		U	k m	e j u k .
		k m			k m
Комплексное сопротивление цепи
Z k	Zk1			Z k 2 Z k 3			Zk e j k ,
Z k	Zk1						Zk e j k ,
			Z k 2 Z k 3
где Z k1 R1 j k L1 ;	Z k 2 R2 j k L2 ;							Z k 3 R3 j	1	.

									kC3
									kC3

108

Комплексная амплитуда тока

U k m

Uk m e j u k

Uk m

j u k k

j i k

k m

e j k

k m

7.2. Действующие периодические несинусоидальные токи и напряжения

Действующий периодический ток выше был определен как среднее квадратическое значение мгновенного тока за период:

i2dt .

После разложения i t в ряд Фурье

I 2

0 i2dt

0 i0 i1

2 dt k 0

0 i2dt q 0

0 iqisdt .

s 0

При q s

интегралы от синусоидальных функций за целое

число q s и q s периодов равны нулю. Таким образом,

I Ik2 I02 I12

Ik2 ,

k 0

т.е. действующий периодический несинусоидальный ток равен корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Аналогично находим выражение для периодических несинусоидальных напряжений:


U	Uk2 U02 U12	Uk2 .

k 0

7.3.Активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях

По определению активная мощность – среднее значение мгновенной мощности за период:

109

uidt

u0 u1

uk ik dt

uqis dt

ukik dt pk ,

k 0 T

q 0 T

k 0 T

k 0

s 0

поскольку uqis dt 0

при q s .

Действующее значение мощности

P P P

0 1

k 0

U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2

Uk Ik cos k .

7.4. Зависимость формы кривой тока от характера цепи при периодическом несинусоидальном напряжении

Сопротивление электрической цепи, содержащей индуктивные катушки и конденсаторы, зависит от частоты и неодинаково для различных гармоник.

Для активного сопротивления R кривая тока подобна

кривой напряжения. Для всех гармоник Ik mR Uk m , следова-

тельно, Ik mR Uk m .

I1mR U1m

Для катушки с активным сопротивлением R = 0 и индуктивностью L сопротивление X k L k L k-й гармоники растет

с увеличением				порядка гармоники. Соответственно
Ik mL	Uk m	и	Ik mL	1 Uk m	, т.е. амплитуды высших гармоник,

	k L		I1mL	k U1m

выраженные в долях первой гармоники, в кривой тока меньше, чем в кривой напряжения. Говорят, что катушка сглаживает кривую тока.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]