Metricheskie zadachi

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. М. Кирин

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Методические указания для выполнения эпюров и подготовки к экзаменам

ПЕНЗА 2010

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ)

Е. М. Кирин

Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Методические указания для выполнения эпюров и подготовки к экзаменам

Пенза Издательство ПГУ

2010

1

УДК 514

К43

Р е ц е н з е н т доктор технических наук, профессор кафедры «Детали машин»

ФГОУ ВПО «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия»

П. А. Емельянов

Кирин, Е. М.

К43 Метрические задачи в курсе начертательной геометрии: метод. указания для выполнения эпюров и подготовки к экзаменам / Е. М. Кирин. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 68 с.

В доступной форме изложена одна из главных тем курса начертательной геометрии – «Метрические задачи». Представлена классификация метрических задач и рассмотрены все типовые задачи на определение метрических характеристик геометрических объектов. Дано графическое решение основных метрических задач, сопровождаемое объяснением поэтапного решения.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей и могут быть использованы для выполнения эпюров, решения задач из рабочей тетради и подготовки к экзаменам и зачетам; будут полезны студентам, изучающим начертательную геометрию, а также студентам-дипломникам и инже- нерам-конструкторам.

УДК 514

©ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет», 2010

3

Предисловие

Как известно, проекционный чертеж (эпюр Монжа) обладает замечательным свойством – обратимостью (или воспроизводимостью), что означает: по заданному проекционному чертежу любого геометрического объекта можно определить не только форму объекта и его положение в пространстве, но и его размеры, которые часто называют метрическими характеристиками. К ним относятся линейные размеры объекта, расстояния между объектами, угловые размеры между элементами объекта или между двумя объектами, площади плоских геометрических фигур и объемы тел.

Если геометрический объект располагается в пространстве в частном положении, т.е. параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций, то многие его метрические характеристики могут быть легко определены. Однако при общем положении геометрического объекта относительно плоскостей проекций определение метрических характеристик представляет собой определённую сложность, связанную с тем, что при параллельном ортогональном (прямоугольном) проецировании многие метрические характеристики геометрических объектов искажаются. Некоторые размеры объекта непосредственно на проекционном чертеже измерить нельзя, так как они не изображаются на эпюре в натуральной (действительной) величине.

В связи с изложенным перед конструктором встаёт задача: по проекционному чертежу геометрического объекта определить все его метрические характеристики. Цикл задач, в которых определяются метрические характеристики объектов по их эпюру, в начертательной геометрии называются метрическими задачами. Они решаются, как правило, общегеометрическими методами, методами преобразования эпюра Монжа, а также специальными методами.

4

Тема «Метрические задачи» является одной из основных тем курса начертательной геометрии, так как имеет большое значение не только для теории геометрических измерений, но и для практической деятельности будущего инженера.

В настоящих методических указаниях«Метрические задачи в курсе начертательной геометрии» даны теоретические основы решения метрических задач и представлены примеры их решения.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей и могут быть полезны студентам-дипломникам и инжене- рам-конструкторам предприятий.

5

1МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Метрические задачи направлены на определение метрических характеристик геометрических объектов, а также характеристик их взаимного положения (расстояний и углов между ними).

Задачи на определение метрических характеристик геометрических объектов можно назвать прямыми метрическими задачами: по проекционному чертежу объекта определяются его размеры. Однако возможны и обратные метрические задачи: по заданным линейным, угловым и другим размерам строятся проекции геометрического объекта.

Всё многообразие метрических задач в конечном счете сводится к двум элементарным задачам:

-определению (измерению) расстояния между двумя точками;

-определению угла между двумя прямыми.

Этот важный вывод обусловлен тем, что при решении любой метрической задачи логические геометрические построения в итоге -не пременно приводят к этим двум типовым задачам. Так, например, при определении расстояния от точки до плоскости необходимо произвести следующие геометрические построения:

-опустить из точки перпендикуляр на заданную плоскость;

-найти точку встречи (пересечения) перпендикуляра с плоско-

стью;

-измерить расстояние между заданной и полученной точками пересечения. Это расстояние и будет являться искомым.

Анализ учебной, методической и научной литературы позволяет систематизировать метрические задачи и разрабатывать их классификацию. Автором разработана классификация метрических задач, в основу которой положено деление всего многообразия метрических задач на три группы: ориентированных на определение натуральной величины объектов; определение расстояний между объектами; определение углов между ними. Каждая группа задач включает в себя несколько метрических задач, объединённых одной целью. Классификация метрических задач приведена на рисунке 1.1.

6

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1.ПРЯМАЯ ЗАДАЧА (опускание и восстановление перпендикуляра к плоскости ).

2.ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА (проведение плоскости перпендикулярно прямой).

3.ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА (теорема прямого угла)

Рисунок 1.1 – Классификация метрических задач

7

Задачи на определение натуральной величины геометрических объектов включают в себя задачи на определение натуральной величины прямой, плоских углов и плоских фигур.

Задачи на определение расстояний между объектами содержат задачи на определение расстояния между двумя точками, расстояния от точки до плоскости, от точки до прямой; расстояния между параллельными плоскостями и прямыми, между скрещивающимися прямыми, между параллельными прямой и плоскостью.

В группу задач на определение углов между геометрическими объектами включены задачи: угол между прямой и плоскостями проекций, угол между плоскостью и плоскостями проекций, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, угол между двумя прямыми, угол между скрещивающимися прямыми.

Приведённая классификация охватывает всё многообразие метрических задач, приводит их в стройную систему и облегчает изучение и понимание этого сложного раздела начертательной геометрии. Она является определённым вкладом в теорию метрических задач и на её основе могут быть разработаны учебные электронные плакаты для чтения лекций.

8

2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Раздел «Метрические задачи» изучается в середине курса начертательной геометрии и основывается на ранее изученных темах «Методы проецирования», «Ортогональное проецирование точки, прямой и плоскости», «Позиционные задачи», «Многогранники», «Методы преобразования эпюра Монжа».

Основные положения и методики вышеупомянутых тем в той или иной степени используются при решении метрических задач. Приведём основные теоретические выкладки и методики, на которых основываются алгоритмы решения метрических задач.

2.1Метрические свойства ортогонального проецирования

При параллельном ортогональном проецировании, как указывалось ранее, метрические характеристики объектов искажаются(рисунок 2.1,а). Однако наряду с этим между объектом в пространстве и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства объекта сохраняются и на его проекциях. Такие свойства называются проективнымиили инвариантными (независимыми). Инвариантные свойства проекций играют в начертательной геометрии роль аксиом, т.е. положений, не требующих доказательств. Среди инвариантных свойств, используемых в метрических задачах, можно отметить следующие:

-если прямая параллельна плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину (рисунок 2.1,б);

-если прямая параллельна плоскости проекций, то углы наклона её к другим плоскостям проекций изображаются в натуральную -ве личину на проекции, где прямая изображается в натуральную величину (рисунок 2.1,г);

-если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в виде точки(«вырождается» в точку) (рисунок 2.1,в);

9