Metricheskie zadachi

а)

б)

Рисунок 5.10 – Определение двугранного угла методом перемены плоскостей проекций и плоско-параллельного перемещения

60

6 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

ЗАДАННЫХ РАЗМЕРОВ И УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН

В предыдущих главах рассматривались метрические задачи, в которых по метрически искажённым проекциям определялись действительные размеры геометрических объектов и их угловые величины. Такие задачи можно назвать прямыми задачами.

Однако в конструкторской практике встречаются задачи, в которых необходимо построить геометрические объекты с наперёдза данными метрическими характеристиками. Такие задачи можно назвать обратными метрическими задачами. Рассмотрим несколько обратных метрических задач.

Пример 1. Построить недостающую горизонтальную проекцию прямой АВ, если её длина равна 50 мм и задана горизонтальная проекция точки А.

Задачу решаем методом прямоугольного треугольника(рисунок 6.1,а). Из точки А или В на фронтальной проекции строим катет прямоугольного треугольника. Далее раствором циркуля 50 мм проводим дугу и на катете треугольника находим точкуВ0, которая определяет разность ординат концов отрезкаАВ. Откладываем найденную разность на горизонтальной проекции и получаем горизонтальную проекцию точки В.

Пример 2. Разделить отрезок АВ в отношении 2:5 (см. рисунок 6.1,б). Задачу решаем с использованием теоремы Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через полученные засечки любые параллельные прямые, то они будут отсекать на другой стороне угла равные или пропорциональные отрезки.

Через любую точку прямой проводим вспомогательную прямую под любым углом. На вспомогательной прямой откладываем семь равных произвольной длины отрезков. Конец последнего отрезка соединяем с другой точкой прямой. На вспомогательной прямой найдём точку K0, которая делит её в заданном отношении. Через взятую точку проведём линию, параллельную стороне вспомогательного треугольника, в результате чего получаем проекции точки K, которая делит проекции прямой в заданном отношении.

61

а)

б) в)

Рисунок 6.1 – Примеры решения обратных метрических задач:

а– построение прямой заданной длины;

б– деление прямой в заданном отношении;

в– деление угла на равные части

62

Пример 3. Дан уголАВС. Необходимо разделить угол пополам (провести биссектрису угла). Решение задачи представлено на рисунке 6.1,в.

Биссектрису угла можно провести, если на сторонах угла отложить равные отрезки и с помощью точек 1 и 2 построить параллелограмм В2K1, а далее найти проекции точки K, определяющей биссектрису. Сторона угла ВС в задаче является горизонталью, поэтому горизонтальная проекция есть НВ.

На стороне углаВС возьмём произвольный отрезокВ1. Определим натуральную величину стороныАВ методом прямоугольного треугольника. На гипотенузе прямоугольного треугольника отложим натуральную величину отрезка В1. Полученную точку 20 возвращаем на проекции. С помощью точек 1 и 2 строим искомый параллелограмм и через проекции точки K проводим проекции биссектрисы.

Пример 4. Построить прямой угол АВС, если известны одна проекция стороны ВС и плоскость угла, заданная следами.

Задачу решим методом совмещения(вращением плоскости угла вокруг горизонтального следа до совмещения с плоскостьюН). Решение задачи приведено на рисунке 6.2.

Сначала с помощью горизонталей построим горизонтальную проекцию прямой ВС. Далее вторым способом построим совмещенный фронтальный след заданной плоскости. Затем обычным для метода совмещения способом определим натуральную величину пря-

мой ВС – В0С0.

На натуральной величине прямой ВС построим прямой угол АВС. Точку А0 вернём на проекции и получим проекции искомого прямого угла.

Пример 5. На прямой АВ найти точку K, отстоящую от точки В на 30 мм. Через точку K и точку С провести горизонталь длиной 50 мм (рисунок 6.3,а).

Сначала методом прямоугольного треугольника определим натуральную величину прямой АВ, на которой откладываем 30 мм и получаем точку K0.

Далее получаем проекции точкиK и через них проводим проекции горизонтали. Длину горизонтали 50 мм откладываем на горизонтальной проекции горизонтали.

63

Рисунок 6.2 – Построение угла заданной величины по стороне угла и его заданной плоскости

64

а)

б)

Рисунок 6.3 – Примеры решения обратных метрических задач

65

Пример 6. Из любой точки заданной плоскости восстановить перпендикуляр длиной 35 мм (рисунок 6.3,б).

Сначала с помощью горизонтали, проведённой в плоскости, укажем произвольную точку А. Далее из точки А восстановим проекции перпендикуляра, которые проводим перпендикулярно следам плоскости.

Так как 35 мм нельзя отложить на проекциях перпендикуляра, ограничим перпендикуляр в произвольной точкеF и определим натуральную величину отрезка АF методом прямоугольного треугольника.

На натуральной величине перпендикуляра отложим 35 мм и получим точку K0. Точку K0 возвратим на проекции и получим искомые проекции перпендикуляра длиной 35 мм.

66

Список литературы

1.Гордон, В. О. Курс начертательной геометрии / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский. – М. : Высш. шк., 2002. – 247 с.

2.Кирин, Е. М. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии / Е. М. Кирин, М. Н. Краснов. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. – 147 с.

67

Учебное издание

Кирин Евгений Михайлович

Метрические задачи в курсе начертательной геометрии

Редактор О. Ю. Ещина Компьютерная верстка М. Б. Жучковой

Подписано в печать 17.09.10.

Формат 60´841/16. Усл. печ. л. 3,95.

Тираж 75. Заказ № 553.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40.

68