Metricheskie zadachi

На основании изложенного можно сделать вывод: для того чтобы определить расстояние между двумя параллельными прямыми или плоскостями, необходимо любым методом преобразования перевести прямые или плоскости из общего положения в проецирующее. Наиболее эффективным методом преобразования для данного типа задач является метод перемены плоскостей проекций (рисунок 4.4,а, б).

4.5 Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется величиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые. Эти плоскости называют плоскостями параллелизма (рисунок 4.5).

Для того, чтобы через скрещивающиеся прямые провести эти плоскости, необходимо через точкуА провести прямую m, параллельную прямой b, а через точку В – прямую n, параллельную прямой a. Эти пересекающиеся прямые а и m, b и n определяют две параллельные плоскости. Расстояние между ними и есть расстояние между скрещивающимися прямыми. Однако изложенный метод трудоёмок.

Упростить решение задачи можно, используя методы преобразования, например, метод перемены плоскостей проекций(рисунок 4.5,б). Для решения задачи необходимо одну из скрещивающихся прямых перевести из общего положения в проецирующее, после чего из «вырожденной» точки опустить перпендикуляр на другую прямую. Этот перпендикуляр и определяет расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Полученные точки M и N обычно «возвращают» на исходные проекции.

4.6Расстояние между параллельными прямой и плоскостью

Задачу можно решить двумя способами. Первый способ (общегеометрический) заключается в следующем (рисунок 4.6,а):

- возьмём на прямой любую точку М; - опустим из точки М перпендикуляр на плоскость треугольни-

ка EDF;

40

а)

б)

Рисунок 4.4 – Определение расстояния между параллельными прямыми (а) и параллельными плоскостями (б)

41

а)

б)

Рисунок 4.5 – Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

42

а)

б)

Рисунок 4.6 – Определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

43

-найдём точку встречи перпендикуляра с плоскостью (точка K);

-соединим точки М и K и определим НВ прямой МК методом прямоугольного треугольника.

Второй способ предполагает перевод объектов из общего положения в проецирующее. При этом можно перевести или прямую, или плоскость. На рисунке 4.6,б показано решение задачи методом перемены плоскостей проекций с преобразованием заданной плоскости общего положения во фронтально-проецирующую плоскость.

44

5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

5.1Классификация углов и угловых метрических задач

Угловые метрические задачи в начертательной геометрии являются важным теоретическим и практически разделом, понятие «угол» – важнейшим геометрическим параметром объектов.

Углы в геометрии делятся на плоские(линейные) и пространственные (двугранные, трёхгранные и т.д.). К пространственным углам относятся также телесные углы.

Общая схема углов представлена на рисунке 5.1. Плоские углы делятся на следующие виды:

-угол между двумя прямыми (рисунок 5.1,а);

-центральный угол: угол, отсекающий часть окружности, с вершиной в центре окружности (рисунок 5.1,б);

-вертикальный угол: угол, образованный продолжением сторон данного угла (рисунок 5.1,в);

-смежный угол: угол, образованный одной из сторон данного угла и продолжением другой стороны (рисунок 5.1,г).

Пространственные углы делятся на следующие виды:

-угол между прямой и плоскостью (рисунок 5.1,д);

-угол между двумя плоскостями (двугранный угол) (рисунок 5.1,е;

-угол между двумя кривыми линиями (рисунок 5.1,ж);

-угол между двумя скрещивающимися прямыми (рисунок 5.1,з);

-конический телесный угол: угол, отсекаемый конической поверхностью на сфере (рисунок 5.1,и);

-многогранный телесный угол: угол, отсекаемый гранной поверхностью на сфере (рисунок 5.1,к).

На рисунке 5.2 представлена схема классификации метрических задач на определение углов в начертательной геометрии.

45

Рисунок 5.1 – Общая схема плоских и пространственных углов

46

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ В КУРСЕ «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ»

Рисунок 5.2 – Классификация угловых метрических задач

47

5.2 Определение углов между прямой

иплоскостями проекций

Вразделе 3.1 рассмотрен метод прямоугольного треугольника, с помощью которого определяются углы наклона прямой к плоскостям проекций.

Метод прямоугольного треугольника является эффективным методом определения углов наклона прямой к плоскостям проекций. Но не менее эффективными методами являются методы преобразования.

На рисунке 5.3,а представлено использование метода вращения прямой вокруг проецирующей оси. Если вращать прямую вокруг го- ризонтально-проецирующей оси i, проведённой, например, через точку А, то после вращения прямой до положения фронтали на фронтальной проекции прямой АВ определится угол её наклона к плоскости проекций Н. Если вращать прямую вокруг фронтально-про- ецирующей оси, то после вращения прямой до положения горизонтали можно определить угол её наклона к плоскостиV.

На рисунке 5.3,б представлено определение углов наклона прямой к плоскостям проекций методом перемены плоскостей проекций. Ход решения задачи ясен из чертежа.

5.3Определение угла между двумя прямыми линиями

Плоский линейный угол между двумя прямыми представляет из себя плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми. Плоские линейные углы образуются также вплоских фигурах (треугольниках и многоугольниках). В конечном итоге задача на определение плоских линейных углов сводится к определению натуральной величины фигур, в которых имеются плоские углы.

На рисунке 5.4 представлено решение задачи на определение натуральной величины плоского углаАВС методом перемены плоскостей проекций (рисунок 5.4,а), методом вращения вокруг горизонтали (рисунок 5.4,б) и методом плоско-параллельного перемещения (рисунок 5.4,в).

48

а)

б)

Рисунок 5.3 – Определение углов наклона прямой к плоскостям проекций методами преобразования эпюра

49