Сборник задач

Для призматического резервуара

t =

F

ln

H0

.

k

H

В случае замкнутого сосуда с избыточным давлением над сво-

бодной поверхностью жидкости,

в дифференциальном уравнении

(11.1) расход

Qz = μfs

2g z + ρg

Пренебрегая геодезическим напором z в аккумуляторе относи-

тельно выходного сечения питающего трубопровода, а также ло-

кальными ускорениями частиц жидкости, получим выражение рас-

хода в произвольный момент времени:

r

ρ

Q = μf

2 p − p1 ,

Подставляя выражения Q и р в исходное дифференциальное

уравнение, после преобразований находим

dt = A

√

√

x

dx,

(11.11)

B − Cx

где A =

F

; B = a0

(p0 + pат) и C = p1 + pат.

μfr

2

ρ

Время Т срабатывания аккумулятора, соответствующее ходу s

поршня гидроцилиндра, определяется интегралом:

a1

√

T = A Z

√

x

dx,

B

−

Cx

верхний предел которого

a0

1 (представляющий высоту воздушного

объема в конце процесса)

находится из очевидного объемного соот-

ношения

−F (z)dz = (Qz

− q)dt,

где q – приток жидкости в единицу времени.

Отсюда время понижения уровня от

H0 до H

H0

F z)dz

t = Z

(

.

μf√

q

2gz

−

H

Выражая приток q через постоянный напор истечения Н :

получаем

q = μfp2gH ,

1

H0

F (z)dz

Z

(11.13)

t =

μf√

√

√

.

2g

H

z

H

−

При призматическом резервуаре (F = const)

√

√

F

H

H

p

√H

−

t = μf2√2g "√H ln √H0 −√H

+

H0 −

Из формулы (11.14) следует, что уровень Н в резервуаре асимп-

тотически стремится к напору

Н ,

при котором расход опорожне-

ния Qz равен притоку q.

где F1, F2

F2dz2 = Qzdt,

– площади резервуаров; dz1 и dz2 – изменения уровней в

резервуарах за время dt(dz1 < 0, dz2

> 0).

Выражая расход Qz через разность z уровней в резервуарах:

Qz = μfp

2gz

и пользуясь соотношением

dz = dz1 − dz2,

получаем из приведенных выражений дифференциальное уравне-

ние процесса выравнивания:

F1F2

dz

(11.15)

dt = −

μf√

.

F1 + F2

2gz

Интегрируя его для призматических резервуаров от z = H0 до

z = 0, найдем время выравнивания в них уровней

2F1F2

√

H0

(11.16)

T =

μf√

.

F1

+ F2

2gz

При подстановке F1 = ∞

или F2

= ∞ формула (11.16) перехо-

дит в формулу (11.6), при этом в первом случае определяется время

наполнения резервуара 2 из резервуара 1 с постоянным уровнем и

во втором случае – время опорожнения резервуара 1

под постоян-

ный уровень в резервуаре 2.

Процесс наполнения плаваю-

щего резервуара через отверстие

в его стенке, сопровождающий-

ся увеличением его погружения в

жидкость

(затопление резервуара,

рис. 11.9),

выражается дифферен-

циальным уравнением

F dx = Qzdt,

Рис. 11.9

где F – внутренняя площадь ре-

зервуара;

dx – подъем уровня жидкости в резервуаре за время

Обозначив через z разность уровней жидкости (постоянного –

вне резервуара и переменного – внутри него),

получим, рассматри-

вая истечение за малое время dt как установившееся и считая, что

отверстие является затопленным в течение всего процесса наполне-

ния резервуара:

Qz = μfp

Переменные

x

и

z

у

резервуара диффе

-

связаны с погружением

ренциальным соотношением

(объем жидкости, поступившей в резервуар за время dt, равен объ-

ему, дополнительно вытесненному им за это время).

Таким образом,

F

dz = dy − dx = dx

0 − 1 .

F

Очевидно, что при F = F0 (тонкостенный призматический ре-

зервуар) dz = 0 и наполнение резервуара происходит при посто-

янном напоре истечения z = const. Если F < F0,

то, подставляя

последнее соотношение в исходное дифференциальное уравнение,

получаем

F0F

dz

(11.17)

dt = −

μf

√

.

F0 − F

2gz

326

Интегрируя это уравнение в заданных пределах, можно найти

время дополнительного погружения

(от момента открытия отвер-

стия) и,

в частности, полного затопления резервуара.

в переносном

Время опорожнения резервуара,

находящегося

движении,

определяется по общему дифференциальному уравне-

нию (11.1),

в котором Qz – расход, вычисляемый по относительной

скорости истечения через выпускное устройство.

Относительная скорость истечения определяется из уравнения

Бернулли для установившегося относительного движения жидко-

сти

p

w2

p

w2

2

1

1

2

+ hп − T,

(11.18)

где w –

z1

+

+

= z2 +

+

ρg

2g

ρg

2g

относительная скорость в рассматриваемом сечении пото-

ка; Т –

удельная работа сил инерции переносного движения между

выбранными сечениями,

s

T = Z0

j

cos θ ds;

(11.19)

здесь j –

g

единичная сила инерции переносного движения;

θ – угол

между j

и направлением относительного перемещения ds.

Для равномерного вращения канала вокруг неподвижной оси

(рис. 11.10)

применение формулы (11.19) после подстановок j =

= ω2r и ds cos θ = dr дает

T =

ω2r22 − ω2r12

=

u22 − u12

,

(11.20)

где u –

2g

2g

переносная (окружная) скорость в центре рассматриваемого

сечения.

Для поступательного прямолинейного движения канала с уско-

рением aˉ (рис. 11.11) из формулы (11.19) получаем

j

(11.21)

T =

sj,

где sj –

g

проекция относительного перемещения между выбранны-

Выбирая на свободной поверхности точку В, для которой x1 =

= 0, получаем

w = ϕs2g 1 +

a

sin α h,

(11.26)

g

где h – глубина центра выходного отверстия под свободной поверх-

ностью жидкости.

ЗАДАЧИ

Задача 11.1. Какое избыточное давление М воздуха нужно под-

держивать в баке, чтобы его опорожнение происходило в 2 раза бы-

стрее, чем при атмосферном давлении над уровнем воды; каким бу-

дет при этом время Т опорожнения бака?

Диаметр бака D = 800 мм, его начальное заполнение H =

= 900 мм. Истечение происходит через цилиндрический насадок

диаметром d = 25 мм и высотой h = 100 мм, коэффициент расхода

которого μ = 0,82.

Ответ. М = 11,8 кПа; T = 3 мин 12 с.

Задача 11.2. Определить время опорожнения составного ци-

линдрического резервуара (D1 = 1,5 м; D2 = 2,2 м;

h1 = 1 м;

h2 = 1,5 м) через вертикальную трубу высотой h3 = 2

м и диаме-

тром d = 60 мм при открытом вентиле с коэффициентом сопроти-

вления ζ = 4. Коэффициент сопротивления трения в трубе принять