Сборник задач

трения, можем написать

dp

= −6

μQ

,

откуда

dr

πrb3

6μQ

p = C −

ln r.

πb3

Поскольку при r = R0 p = 0,

то

6μQ

R0

p =

ln

.

πb3

r

Получили закон распределения давления по радиусу зазора.

Так как при r = r0 p = p0, то, очевидно,

p0 =

6μQ

ln

R0

,

πb3

r0

откуда искомый расход

Q =

πb3p0

1

.

(8.26)

6μ

ln R0

r0

Разобранная задача встречается при расчете торцевых уплотне-

ний машин, а также при расчете дисковых фрикционных насосов.

При установившемся ламинарном течении в цилиндрической

трубе с некруглым поперечным сечением задача сводится к реше-

нию дифференциального уравнения Пуассона при условии равен-

ства нулю скорости на границе потока (частный случай дифферен-

циального уравнения Навье —

Стокса):

d2u

d2u

p

+

=

,

dx2

dy2

μl

где u – скорость потока, u = f(x, y);

р –

перепад давления; х, у –

координаты в плоскости поперечного сечения потока; μ –

вязкость

жидкости; l –

длина трубы.

Q = a4

πa3b3

p

,

(8.27)

где а и b – полуоси эллипса;

a2 + b2 4μl

б) для трубы, имеющей поперечное сечение в форме равносто-

роннего треугольника со стороной

а,

√

p

Q = a4

3

;

(8.28)

320

μl

в) для трубы прямоугольного поперечного сечения

Q = f

a

p

a2b2,

(8.29)

b

4μl

где f

a

– функция, значения которой даны ниже (2a и 2b – сто-

b

роны прямоугольника):

a

1

1,2

1,5

2

3

5

10

b

a

f

2,25

2,2

2,08

1,83

1,4

0,93

0,5

b

Для

труб некруглого

сечения

расчет

удобно также вести по об-

щей формуле (8.13):

L

v2

h

п

= λ

или

Dг

2g

L

v2

p = λ

ρ

,

где hп –

потеря напора;

Dг

2

λ –

коэффициент сопротивления трения;

Dг – гидравлический диаметр сечения; v –

средняя скорость потока;

р – потеря давления; ρ –

плотность жидкости.

Значения λ для кольцевых и прямоугольных сечений даны ниже

в виде произведения λ ∙ Re:

Кольцевое сечение

R2

∞

10

3

10

2

20

10

5

2,5

1

R1

212

64

74,7

80,1

86,3

89,4

92,3

94,7

96

λ ∙ Re

a

∞

20

10

8

6

4

2

1

b

λ∙ Re

96

89,9

84,7

82,3

78,8

72,9

62,2

56,9

Рис. 8.16

Вязкость жидкости зависит от давления и температуры. Эти за-

висимости выражаются формулами

μ (p) = μ0eα(p−p0)

(t = t0 = const)

и

μ (t) = μ0e−β(t−t0)

(p = p0 = const) ,

эмпири-

где μ – вязкость при давлении 0 и температуре t0; α и β –

ческие коэффициенты для различных жидкостей.

При одновременном учете влияния давления и температуры

μ(p, t) = μ0eα(p−p0)−β(t−t0).

(8.30)

1

(pи − p) ,

t − t0 =

C ρ

где C – удельная теплоемкость; ρ –

плотность жидкости. Обозначая

C ρ

через k, получаем t − t0 = k (pи − p) .

1

Подставляя этот результат в формулу (8.30) и учитывая, что на

выходе давление атмосферное (р0 = 0), получаем

μ = μ0eαp−β(pи−p)k,

или

μ = μ0e(α+βk)p−βkpи .

Выделив элементарный участок зазора длиной dx, можем запи-

сать по формуле (8.19)

dp

= −

12μQ

,

где

dx

Bb3

Q – расход жидкости; В –

ширина зазора; b – высота зазора.

Разделяя переменные

pd

12Q

=

dx,

μ

Bb3

p = α + βk 1 − (α + βk) pи ln h1 + L e(α+βk)pи − 1i

1

1

x

и расход

Bb3

e(α+βk)pи − 1

Q =

.

Введем обозначение

12μ0L (α + βk) eαpи

Bb3

= Q0,

где Q0 –

расход через

12μ0L

предположении

зазор, вычисленный в

Таким образом, окончательно получим

μ = const = μ0.

Q = Q0

e(α+βk)pи − 1

.

(8.31)

ЗАДАЧИ

(

α + βk) pиeαpи

Задача

8.1. Пластинка площадью F движется с постоянной

скоростью

u0 параллельно неподвижной горизонтальной плоско-

сти O−O, образуя с ней зазор,

который заполнен двумя жидкостями

со значениями динамической вязкости μ1 = 1,45

П и μ2 = 2,4 П.

Толщины слоев жидкостей b1

= 0,8 мм и b2 = 1,2 мм.

Построить эпюры скоростей и касательных напряжений в зазо-

ре и определить силу трения T , действующую на пластинку, если

ее площадь F = 1 000 см2

и скорость перемещения u0 = 0,4 м/с.

μ1

uгр =

b1

u0.

μ1

μ2

+

b

b

Касательное напряжение, одинаковое по всему зазору,

1

2

τ =

μ1 μ2

u0.

μ1b2 + μ2b1

Ответ. Т = 3,8 H.

Задача 8.2.

Слой жидкости (b = 3 мм, кинематическая вязкость

ν = 1,5 Ст) равномерно движется под действием силы тяжести по

наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 15◦.

Найти закон распределения скоростей в слое, а также опреде-

лить расход жидкости, протекающей через поперечное сечение слоя

шириной В = 1 см.

y(2b − y), где у – координата, измеряемая по нор-

Ответ. u =

2ν

g sin α

мали к плоскости

течения;

см3

/c.

Q = B

3ν

b3 = 1,53

g sin

α

Задача 8.3. По слою жидкости, находящемуся на наклонной

плоскости, перемещается параллельно последней пластинка с по-

стоянной скоростью u0.

Найти закон распределения скоростей u = f(y) в слое жидкости

и ее расход через поперечное сечение слоя шириной B = 50 мм, а

также определить касательное напряжение τ0 на пластинке, если

u0 = 0,2 м/с, α = 15◦, b

= 0,5 мм, плотность ρ = 900 кг/м3 и

динамическая вязкость жидкости μ = 2 П.

Ответ. u = u0 b +

8μ

(by − y2); Q = 2,52 cм3/c; τ0 = 80 Па.

y

gρ sin α

К задаче 8.2

К задаче 8.3

Задача 8.4. Пластинка массой m = 0,8 кг и площадью F = 64 см2

скользит в направляющих по наклонному слою жидкости, толщина

которого b = 0,5 мм.

Определить динамическую вязкость жидкости, если ско-

рость равномерного движения пластинки

u0 = 0,5 м/с, угол на-

клона плоскости к горизонту α = 12◦

и плотность жидкости

ρ = 900 кг/м3.

Ответ. μ =

mgb sin α

+

ρgb2 sin α

= 2,55 П.

F u0

2u0

К задаче 8.4

К задаче 8.5

Задача 8.5. В подшипнике с кольцевой смазкой жидкость по-

дается из масляной ванны к трущимся поверхностям при помощи

непрерывно движущегося ремня прямоугольного поперечного се-

чения.

Определить толщину b слоя подаваемой смазки и ее расход Q в

секунду, если скорость движения ремня u0 = 0,2 м/с и его ширина

В = 0,02 м. Динамическая вязкость жидкости

μ = 1,5 П, плотность

ρ = 900 кг/м3.

Построить эпюру скоростей в слое.

Указание. Скорость жидкости на внешней границе слоя равна нулю.

Ответ. b = r

ρg

0 = 2,6; Q =

3μ

= 6, 9

см3/c.

2

μu

Bb3 ρg

Задача 8.6.

Кольцевой канал между двумя соосными цилин-

драми, радиусы которых R1

= 0,02 м и R2

= 0,032 м, заполнен

жидкостью, имеющей динамическую вязкость μ = 2 П. Вну-

тренний цилиндр движется вдоль оси

c постоянной скоростью

u0 = 0,5 м/с.

217

1. Определить закон изменения ско-

ростей по радиусу,

а также силу трения

T на длине l = 1 м внутреннего цилин-

дра и расход Q жидости в канале.

Рис. 8.6

2. При каком значении радиуса вну-

треннего

цилиндра

R1 расход будет

наибольшим,

считая радиус R2 наружного цилиндра заданным.

Ответ. 1. u = u0

ln

R2

2πμlu0

= 1, 35 Н;

r

; T =

ln

R2

ln

R2

R1

R1

л

с

Q = 2πu

1

R22 − R12

R12

ln

R2

= 0, 414

/

.

0 ln

R2

4

− 2

R1

R

к уравнению2.

1Исследуя выражение для расхода на максимум, приходим

где m = R1

.

m − 1 − ln m = (ln m)2,

R2

2

Решая

уравнение подбором, получаем m ≈ 6, т. е. максимум расхода

будет иметь место при R1 ≈ 0,4R2.

Задача

8.7.

Вязкость жидкости определяется на ротационном

вискозиметре путем измерения момента трения на внутреннем ци-

линдре.

Определить динамическую вязкость μ, если равномерное вра-

щение внутреннего цилиндра

(n = 90 об/мин)

достигается с помо-

щью груза массой m = 0,5 кг, а размеры вискозиметра: D0 = 150 мм,

D1 = 160 мм, D2

= 200 мм и L = 400

мм.

Предварительной тарировкой незаполненного вискозиметра

установлено,

что при частоте вращения n =

90 об/мин момент

трения в сальнике и подшипниках Mтр = 0,0735 H ∙ м.

Ответ. μ = 3,5

П.

Задача

8.8.

Для смазки и охлаждения подшипника вертикаль-

ного вала турбины применен самосмаз, в котором подача жидкости

осуществляется при помощи трубки полного напора, введенной в

жидкость, заполняющую ковш на валу турбины.

Пренебрегая влиянием силы тяжести на распределение давле-

ния в ковше,

определить, на каком диаметре

D0 следует размес-

218

тить входное отверстие трубки, чтобы в подшипнике был обес-

печен расход Q = 0,15

л/с при частоте вращения вала турбины

n = 120 об/мин, если ставится условие, чтобы свободная поверх-

ность жидкости в ковше находилась на диаметре D1 = 1 м.

Размеры: d = 12 мм; l = 4 м; Н0 = 3 м.

Кинематическая вязкость жидкости v = 0,36 Ст.

Учитывать только потери напора на трение по длине трубки.

Ответ. D0 = 1,5 м.

Задача 8.9. В регуляторе скорости гидротурбины применен

так называемый гидравлический маятник. При изменении частоты

вращения регулируемой турбины изменяется расход жидкости,

прокачиваемой насосом маятника через калиброванную трубку,

вследствие чего изменяется сила давления на поршень, и послед-

ний, изменяя поджатие пружины, оказывает воздействие на систему

регулирования.

Определить диаметр d калиброванной трубки, при котором при

подаче насоса Q = 0,39 л/с (что соответствует рабочей частоте вра-

щения турбины) сжатие пружины s0 = 60 мм.

Жесткость пружины

= 7,5 Н/см, длина трубки l = 0,7 м и ди-

К задаче 8.9

Задача 8.10. Жидкость перемещается из области с избыточ-

ным давлением р = 0,4

МПа в область,

где избыточное давление

р2

= 0, последовательно через две кольцевые щели одинаковой

длины l = 40 мм.

при котором избыточное давление в про-

Определить зазор b2,

межуточной камере р1 =

р

, если d2 = 2d1.

Вычислить касательные напряжения

τ1 и τ2 на цилиндриче-

2

а также расход жидкости

ских поверхностях, образующих зазоры,

Q, если d1 = 25 мм, b1 = 0,252 мм, а динамическая вязкость жид-

кости μ = 10 П.

Потери напора на входе и выходе из кольцевых щелей не учи-

тывать.

= 0,63 кПа; τ2 = 0,5 кПа; Q = 0,525 см3/с.

Ответ. b2 = 0,2 мм; τ1

Задача 8.11. Во внутренней полости гидроцилиндра поддержи-

вается постоянное избыточное давление р = 2 МПа.

1. Определить наибольший допустимый радиальный зазор b =

=

D − d

между стенкой цилиндра и плунжером (d = 40 мм,

l = 80 мм) при условии,

что утечки из полости высокого давления

2

при наибольшем эксцентриситете положения плунжера не превос-

ходят Q = 5 см3/с при температуре масла АМГ-10 t = 100 ◦С.

2. Как изменятся утечки, если вся конструкция охладится до

t0

= 0 ◦C и если плунжер выполнен из бронзы (коэффициент ли-