22) Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.

Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат — подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.

Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t назьшается вектор определяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.

Относительная, или локальная, производная определяет измененине вектора b(t) в подвижной системе O'XYZ.

Формула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными): .

Рассомтрим частные случаи.

1) угловая скорость = 0, то =;

2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета (=0), то ;

3) , т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости (), то =. В частности, если , то , т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.

Дополнение:

Выведение формулы Бура:

Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной системы O'XYZ, то можно записать:, где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная , а полная производная с учетом изменения также ортов I, J , К имеет вид: . В правой части уравнения первые три слагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона (), т.е. . С учетом получаем: .

23) Скорости и ускорения точки при сложном движении.

ρ = r0 + r

dp/dt = d(r0+r)/dt = dr0/dt + dr/dt

dp/dt = v0 + dr/dt + ω*r = v0 + vr + ω*r

v = v0 + ω*r + vr = ve + vr

a = dv/dt = d(v0 + ω*r +vr)/dt = a0 + (dω/dt)*r + ω*(dr/dt) + dvr/dt

dr/dt = d(~)r/dt + ω*r = vr + ω*r

dvr/dt = d(~)vr/dt + ω*vr = ar + ω*vr

a = a0 + ε*r + ω*vr + ω*vr + ω*(r*ω) + ar + ω*vr = a0 + a(вр) + ω*vr + ω*vr + а(ос) + ar + ω*vr

a = a0 + ε*r + ω*(r*ω) + ar + + 2*ω*vr, где 2*ω*vr - добавочное (поворотное) ускорение, a0 + ε*r + ω*(r*ω) - (ае) переносное ускорение.

24) Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского.

Кинематическая теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений - относительного, переносного и ускорения Кориолиса.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки: , следовательно по модулю ускорение Кориолиса: (sin90=1).

Кориолисово ускорение обращаетсяв нуль, когда: 1) переносное движение - поступательное, т.е. омега переносное равно нулю; 2) в те моменты времени, когда в относительном движении точка останавливается, например. при изменении направления относительного движения.

Правило Жуковского: Кориолисово ускорение можно получить, спроецировав вектор радиальной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору омега переносное, увеличив полученную проекцию радиальной скорости в 2*(омега переносное) раз и повернув ее на 90 градусов в направлении переносного вращения.

25) Сложное вращение твердого тела вокруг пресекающихся осей.

В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О (рис. 7.2), абсолютное движение будет движением твердого тела вокруг неподвижной точки О (сферическим движением) с угловой скоростью, определяемой согласно .

Нетрудно убедиться, что скорости всех точек, лежащих на линии, по которой направлен вектор угловой скорости, равны нулю. В самом деле, например, скорость находящейся на этой линии точки А тела (по свойству произведения коллинеарных векторов "омега" и r). Таким образом, прямая, на которой расположен вектор угловой скорости, является мгновенной осью вращения тела.

Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так: или , где .

Модули составляющих, а также абсолютной скорости точки М равны модулям соответствующих векторных произведений и могут быть вычислены по формулам: , где - кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения.