- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рис 11.1
- •Рис 11.2
- •11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Упражнения
- •Упражнения
- •11.4 Линейные ду первого порядка.
- •11.5 Уравнение Бернулли
- •Упражнения
- •11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
- •Упражнения
- •11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
- •Упражнения
- •11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
- •Упражнения
Упражнения
Найти общие решения и частные, удовлетворяющие начальным условиям:
11.44. – 7+ 12y = 0;
11.45. + 2+y = 0;
11.46. ++ 2y = 0;
11.47. + 2+ 3y = 0;
11.48. – 3+ 2y = 0, y=3, = 4 при 0;
11.49. – 2+y = 0, y=1, = 0 при 0;
11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
(11.65)
где p и q -действительные числа, f(x) 0 – некоторая функция.
Интегрирование.
1 способ. Метод вариации произвольных постоянных.
Находим сначала общее решение, соответствующее (11.65) ЛОДУ (11.53):
y = C1y1 + C2y2. (11.66)
Общее решение ЛНДУ (11.65) находим в виде (11.66), полагая C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть:
y = C1(x) y1(x) + C2(x)y2(x) (11.67)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) находятся из системы:
(11.68)
Примеры
11.50. Найти общее решение ЛНДУ(11.69)
–3+ 2y = . (11.69)
Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ(11.69)
–3+ 2y = 0. (11.70)
Характеристическое уравнение:
λ² - 3λ + 2 = 0.
Дискриминант: D=3² - 42 =1>0. Корни характеристического уравнения λ1= 1; λ2 = 2.
Частные решения: y1(x) = иy2(x) =
Общее решение:
y = C1+C2. (11.71)
Общее решение ЛНДУ (11.69) находим в виде (11.711), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть
y = C1(x) +C2(x) . (11.72)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяем из системы:
откуда C1’= -1, C2’ = . Интегрируем полученные ДУ относительно неизвестных функцияхC1(x) и C2(x), получаем:
C1 = - х + C3; C2 = - +C4, (11.73)
где C3 и C4 - произвольные постоянные.
Подставляем (11.73) в (11.72):
y=(-х + C3) + (-+C4) , или
y= C3 +C4 + (-x -1) - общее решение ЛНДУ (11.69).
11.51. Найти общее решение ЛНДУ:
–2+y = x. (11.74)
Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ (2.34):
–2+y = 0. (11.75)
Характеристическое уравнение:
λ² - 2λ + 1 = 0.
Дискриминант D=0. Корни: λ1= λ2=1.
Частные решения: y1 = ;y2 = x.
Общее решение ЛОДУ (2.35):
y=(C1+ xC2). (11.76)
Общее решение ЛНДУ (11.74) находим в виде (11.76), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть:
y = (C1(x) +xC2(x)). (11.77)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) находим из системы:
C1(x)= - +C3; C2(x) = + C4, (11.78)
Функции (11.78) подставим в (11.77):
y=(( + C4)x + (- +C3)), или
y= - (11.79)
общее решение ЛНДУ (2.34).
способ.
Структура общего решения ЛНДУ (11.65):
y = y0 + Y, (11.80)
где Y – общее решение соответствующего (11.65) ЛОДУ (11.53), y0 – частное решение (11.65), зависящее от вида функции f(x).
Частное решение y0 находим по виду правой части (11.65) методом неопределенных коэффициентов:
f(x) = , где -многочленстепени n;
если a не является корнем характеристического уравнения, то y₀=, где -многочлен степени n c неопределенными коэффициентами;
если a – корень характеристического уравнения, кратности r (r =1 или r=2), то y₀=;
f(x) = ,
если не является корнем характеристического уравнения, тоy₀=, где и-многочлены степени N=max с неопределенными коэффициентами,
если - корни характеристического уравнения, то
y₀=,
f(x) = f₁(x) + f₂(x) + …+ fk(x), - частные решения уравнений +p+ qy = (x),тогда - решение ЛНДУ с правой частью.
Примеры
11.52. Найти общее решение ЛНДУ:
- 2+y =x (11.81)
Решение Общее решение ЛНДУ (11.81) находим в виде:
y = +Y,(11.82)
где -частное решение (11.81), Y - общее решение ЛОДУ
- 2+y = 0. (11.83)
Имеем:
Y =(C1+ xC2). (11.84)
Частные решения находим по виду правой части f(x) = x: в показателе степени коэффициент при x (a =1) является корнем характеристического уравнения кратности r=2, многочлен = (x), n=1,тогда частное решение будем находить в виде
= (11.85)
Неопределенные коэффициенты A и В определяются в результате подстановки (11.85) в (11.81).
Производные:
; (11.86)
; (11.87)
После подстановки (11.85) - (11.87) в (11.81) имеем
; (11.88)
Сокращаем на и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения (11.88), получаем систему линейных уравнений относительно А и В:
x: 2(3A + 2B) – 4B = 1;
2B = 0;
откуда В = 0; А = (11.89)
Подставляем (11.89) в (11.85):
- (11.90)
Частное решение ЛНДУ (11.81).
Общее решение ЛНДУ (11.81) с учетом формулы (22.82) и решений (11.84) и (11.90) принимает вид
(11.91)
Сравниваем (11.91) и (11.79).
Общие решения, найденные предыдущими способами, совпадают.
11.53. Проинтегрировать уравнение при начальных условиях y=1, , при х = 0
(11.92)
Решение Общее решение ЛНДУ (2.52) находим в виде
y = +Y,(11.93)
где 1) Y – общее решение ЛОДУ
+- 2y=0;(11.94)
характеристическое уравнение
λ² +λ -2 = 0,
D = 1+8=9>0; корни: ; тогда
(11.95)
2)-частное решение ЛНДУ (11.92)- находим по виду правой части
f(x)= (11.96)
- в (11.96) отсутствует, поэтому а=0; коэффициенты при x в (11.96) b=1; не являются корнями характеристического уравнения; перед косинусом и синусом в (11.96) –численные коэффициенты (многочлены нулевой степени), тогда частное решение находим в виде
=A cosx + B sinx, (11.97)
где А и В – неопределенные коэффициенты;
дифференцируем (11.97):
=- А sinx + B cosx,(11.98)
= - А cosx - B sinx(11.99)
Выражение (11.97) - (11.99) подставляем в (11.92), получаем
;
приравниваем коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях:
откуда А=0, В=1.
Таким образом, частное решение (11.97) имеет вид
= sinx.(11.100)
Подставляем (11.95) и (11.100) в (11.93), получаем общее решение ЛНДУ
(11.101)
Находим далее частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Дифференцируем (11.101):
(11.102)
Подставляем y=1; =2;x=0 в (2.61) и (2.62):
или
откуда частное решение находим, подставляя полученные значения произвольных постоянных в (11.101):
-
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.