- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рис 11.1
- •Рис 11.2
- •11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Упражнения
- •Упражнения
- •11.4 Линейные ду первого порядка.
- •11.5 Уравнение Бернулли
- •Упражнения
- •11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
- •Упражнения
- •11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
- •Упражнения
- •11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
- •Упражнения
Рис 11.2
При k=1 имеем x² + y² = 1. Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси ОХ под углом П/4. Зная изоклины, можно построить интегральные кривые данного ДУ.
11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ДУ с разделяющимися переменными называются уравнения вида
= f 1(x) f 2(y), (11.3)
или
f 1(x) f 2(y)dx + f 3(x) f 4(y)dy = 0. (11.4)
Интегрирование
В уравнении (1.3) можно разделить переменные
= f 1(x) f 2(y) =f 1(x)dx, ,
берем неопределенный интеграл от левой и правой частей
- общее решение или общий интеграл, если у не выражен
явно через х .
В уравнении вида (1.4) делим почленно левую и правую части на , в результате в левой части получаем два слагаемых, одно из которых
зависит только от х, другое только от у:
;
интегрируем почленно
- общий интеграл ДУ (1.4)
Примеры
Найти общие решения дифференциальных уравнений
11.1 =xy
Решение. Имеем уравнение вида (1.2), где f 1(x)= х; f 2(y)= у.
Разделяем переменные:
= ху = х; у;
Интегрируем обе части:
Находим неопределенные интегралы
.
Здесь произвольную постоянную удобно обозначить ln C, далее
,
или ,
знак модуля убрали, так как при произвольном значении С всегда можно полагать,
что ;- общее решение ДУ=xy
11.2
Решение. Имеем уравнение вида (11.3), делим почленно на (произведение функций, зависящих от у в первом слагаемом и от х – во втором)
.
После преобразования получаем
;
Интегрируем:
; или ;или
, где =15С.
Получили общий интеграл исходного уравнения.
11.3 Решить задачу Коши: Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям у=1 при х=0, или у(0)=1.
Решение В данном ДУ разделяем переменные
, интегрируем:
; или - общий интеграл данного
уравнения.
Подставляем в него х=0; у=1, получаем
.
Частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям.
, или
Упражнения
Решить дифференциальные уравнения:
11.1 y’=; 11.2 y’=;
11.3 y’= - ; 11.4 xy’-y=x²;
11.5 xyy’=1-x²; 11.6 y’ tgx=y;
11.3 Однородные дифференциальные уравнения
Однородной функцией измерения n называется функция f (x;y), такая, что
f (λx; λy)= λⁿ f (x;y), где λ € R.
Уравнение вида
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (11.5)
называется однородным , если P(x;y) и Q(x;y)- однородные функции одного измерения, или ДУ вида:
= f (x;y) (11.6)
называется однородным, если f (x;y) – однородная функция нулевого измерения
Однородное ДУ может быть приведено к виду = φ (y/x). С помощью подстановки у = tx однородное уравнение приводится к ДУ с разделяющимися переменными.
Пример
Найти общие интегралы ДУ
11.7 =
Решение Функция f (x;y)= является однородной функцией нулевого измерения. Действительно, f (λx; λy)= = - = - = f (x;y).
Замена переменных: у=tx y’=t’x+t x’ y’ = t’x+t
Выражения у и у’ через t и х подставляем в исходное уравнение, получаем
t’x + t = , или t’x= -t -1 – t; t’x= -1-2t –
ДУ с разделяющими переменными; разделяя их, имеем
, где t’ = ,
Интегрируем последнее ДУ:
, ,,
перенесли ln C в левую часть, использовали свойства логарифмов. Далее:
; или ;
Возвращаемся к переменной у
;
- общий интеграл однородного уравнения.