- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рис 11.1
- •Рис 11.2
- •11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Упражнения
- •Упражнения
- •11.4 Линейные ду первого порядка.
- •11.5 Уравнение Бернулли
- •Упражнения
- •11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
- •Упражнения
- •11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
- •Упражнения
- •11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
- •Упражнения
Упражнения
Проинтегрировать ДУ
14 =tgx + cosx;
15 - =x;
16 + ;
17 + =
18 + = arcsinx+x;
19 x- y = x² cosx
20 -2xy= x
21 (1+x²)+ y = arctgx
Проинтегрировать ДУ, приняв за неизвестную функцию х.
22 (x+y²) = y;
23 (2xy+3)dy - y²dx = 0;
24 (+2x) =y;
25 ydx + (x²+xy²)dy = 0.
11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
ДУ второго порядка называется уравнение вида
F (x, y, , ) = 0 (11.41)
Решением ДУ (2.1) называется любая дважды дифференцируемая функция у = φ(x), которая обращает данное уравнение в тождество
F (x, φ(x), φ’(x), φ”(x)) = 0
Задача Коши: найти решение ДУ (2.1), удовлетворяющее начальным условиям y = y0; = при x = x0.
Общим решением ДУ (2.1) называется функция у = φ(x, С1, С2), если:
эта функция является решением ДУ (2.1), и
при соответствующих значениях С1 и С2 из этой функции
получается любое решение задачи Коши, поставленной для данного уравнения.
Частным решением ДУ(2.1) называется всякое решение, получаемое из общего при конкретных значениях С1 и С2 .
В некоторых случаях решение ДУ второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух ДУ первого порядка.
11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
1) = f(x) (11.42)
Интегрирование :
= +С1 = f1(x) + С1;
y = +С1)dx = +С1)dx = f2(x) + С1x + С2,
где С1, С2 – произвольные постоянные f1(x) – одна из первообразных функции f(x); f2(x) -одна из первообразных функции f1(x).
Пример
11.26.Найти частное решение ДУ у” = x, удовлетворяющее начальным условиям у=1, =0, при x = 0.
Решение Найдем сначала общее решение данного ДУ
y’= xdx =u=x; dv=dx; du=dx; v=dx = -;
применяем формулу интегрирования по частям:
udv = uv- vdu= -x- (-)dx
= -x - + С1 (11.43)
Находим неизвестную функцию.
y = (-x + С1)dx = (-x) dx - - + С1dx = -( - x- + С2) +
+ + С1x= x+2 + С1x+ С2 , или
у = (x+2) + С1x+ С2 - (11.44)
общее решение данного ДУ.
Подставляем начальные условия в (11.43) и (11.44), получаем систему линейных уравнений относительно С1 и С2 :
(11.45)
После подставки (2.5) в (2.4) искомое частное решение имеет вид:
у = (x+2)+ x – 1.
2) F (x, y’, ) = 0 (11.46)
Интегрирование:
Заменой = Z исходное уравнение (11.46) преобразуем к виду F (x, z,) = 0.
Пример
11.27. Найти общее решение ДУ x++x = 0.
Решение. Полагаем = z, тогда = z’, данное ДУ преобразуется к виду
xz’+ z + x = 0. – линейное относительно Z, интегрируя его, получим:
zx = С1 - , возвращаясь к переменной y, имеем ДУ с разделяющимися переменными
x= С1 - , или
y = C1 - общее решение исходного ДУ.
3) F (y, , = 0 (11.47)
Интегрирование:
Замена= z, тогда = z;ДУ (2.7) приводится к виду:
F ( y, z, z) = 0 (11.48)
Пример
11.28. Найти частное решение ДУ
y– ()² = , (11.49)
при начальных условиях y=1, =0 при x = 0.
Решение. Пусть = z(y), z, ДУ (2.9) преобразуется к виду
yz– z² = ДУ Бернулли относительноz. Интегрируем его, получаем:
z = (11.50)
Используя начальные условия y’= z = 0 при y = 1, найдем С1 = -1.
Следовательно,
z = , или = ,
Интегрируем последнее ДУ, получаем:
arccos .
Вновь используем начальные условия: y=1 при х=0, находим С2 = 0, тогда
= cos x,
y = - частное решение ДУ (2.9)
4) F (x, y, , ) = 0 (11.51)
однородное относительно y, ,
Интегрирование : Замена / y = z.
Пример
11.29. Решить ДУ
3()² = 4 y + y² (2.12)
Решение. Разделить обе части ДУ (2.12) на y²0
.
Полагаем, / y = z, тогда , или. В результате получаем
уравнение: 3z - 4=1+z²
ДУ с разделяющимися переменными, разделяем переменные,. Интегрируем последнее ДУ:arctg z = C1 - x, или z = tg(C1 - ), или
/ y = tg(C1 - ). – общее решение исходного ДУ
Вновь интегрируем полученное ДУ:
ln y = 4ln cos(C1 - ) +ln C2, или y = C2 cos(C1 - ).