Упражнения

11.8 (x² + xy)dx + xydy = 0;

11.9 xy + y² = (2x² +xy) y’;

11.10 xyy’ = y² +2x²;

11.11 (x²+y²)dx – xydy = 0;

11.17 y’ = .

Алгоритм решения упражнений 1.13; 1.16.

1. Общий вид ДУ:

2. P(x;y) = … ; Q(x;y)= … ;

P(λx; λy) = … ; Q (λx; λy) =… ;

Вывод :

3. Подстановка: у = (а)

Производная: y’= (б)

4. (а) и (б) подставляем в (1.13) или (1.16).

5. Разделяем переменные. Интегрируем.

6. Возвращаемся к переменной у.

11.4 Линейные ду первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

+ P(x) y = Q(x) (11.7)

называется линейным.

Если Q(x) = 0, то уравнение

+ P(x) y = 0 (11.8)

называется линейным однородным (ЛОДУ), если Q(x) 0, то ДУ (1.7) называется линейнымнеоднородным. (ЛНДУ).

Интегрирование:

1. ЛОДУ (1.8) является уравнением с разделяющимися

переменными, тогда

Интегрируем

;

Применяем свойство логарифмов

;

Находим у:

(11.9)

- общее решение ЛОДУ (1.8)

2) Общее решение ЛНДУ можно находить двумя способами:

а)методом Лагранжа, варьируя произвольные постоянные, то есть решая сначала соответствующее ЛОДУ и полагая в (1.9) С= С(х),

, (11.10)

где С(х) – подлежащая определению неизвестная дифференцируемая функция;

б) методом Бернулли, находя решение в виде произведения двух неизвестных функций y= u(x)v(x), которые в процессе решения необходимо получить.

Примеры

Найти общее решение ЛНДУ

11.12 (11.11)

Решение. 1 способ (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной)

Интегрируем сначала соответствующие (1.9) ЛОДУ

(11.12)

ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем их:

;

Интегрируем:

, откуда

у=Сх (11.13)

- общее решение ЛОДУ (11.12). Общей интеграл ЛНДУ (11.11) находим в виде (11.13), но полагая С=С(х) – неизвестная функция от х, то есть:

у = С(х)х (11.14)

Найдем С(х).

Дифференцируем

= x + C;

= x + C; (11.15)

Подставляем (11.14) и (11.15) в (11.11).

x + C - = x, (11.16)

откуда x = x, или = 1, тогда

интегрируем, , получаем

С(х) = х + С1 , (11.17)

где С1 – произвольная постоянная.

Подставляем (11.17) в (11.14)

у = (х + С1) х - общее решение ЛНДУ (11.11)

2 способ (метод Бернулли: находим у в виде произведения двух функций).

Итак, пусть

y= u(x)v(x) (11.19)

В дальнейшем аргумент х опускаем.Находим производную:

= v+u (11.20)

Выражения (11.19) и (11.20) подставляем в (11.11)

v+u - = х,

группируем члены, выносим общий множитель за скобки:

v+u(- )= х(11.21)

Неизвестную функцию v(x) находим из условия

- =0 – ДУ с разделяющимися переменными; интегрируем его:

; ;;, полагаем С = 0,

тогда

v(x) = x (11.22)

Найденную функцию v(x) в виде (11.20) подставляем в (1.21), учитывая х 0

x = x = 1 u(x) = x + С1 (11.23)

Итак, функции u(x) и v(x) найдены, подставляем их выражения (11.22) и (11.23) в (11.19),

Получаем неизвестную функцию

y(x) = (x + С1)x (11.24)

- общее решение ЛНДУ (11.11). Сравниваем (11.24) и (11.16)