- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рис 11.1
- •Рис 11.2
- •11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Упражнения
- •Упражнения
- •11.4 Линейные ду первого порядка.
- •11.5 Уравнение Бернулли
- •Упражнения
- •11.6 Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •11.7. Ду второго порядка, допускающее понижение порядка
- •Упражнения
- •11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
- •Упражнения
- •11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
- •Упражнения
11.5 Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется ДУ вида
+ P(x) y = Q(x);m0; m1 (11.25)
ДУ (11.25)- нелинейное Однако его можно преобразовать в линейное заменой:
; (11.26)
Подставляя (11.26) в (11.25), получаем
+ P(x) Z = Q(x); (11.27)
Уравнение Бернулли можно интегрировать аналогично линейным, не приводя к виду (11.27)
Примеры
Проинтегрировать ДУ
11.13 ; (1.28)
Решение Имеем ДУ Бернулли вида (11.25), при m = 2. Интегрируем его двумя способами.
1способ Лагранжа. Интегрируем соответствующее (11.28) однородное уравнение
; (11.29)
Имеем ДУ с разделяющимися переменными:
; ;;;
откуда
у = С(х-1); (11.30)
Варьируя произвольную постоянную, полагаем С=С(х) и общее решение исходного уравнения находим в виде:
у = С(х) (х-1); (11.31)
Производная:
= (х-1)+ C; (11.32)
Выражения (11.31) и (11.32) подставляем в исходное уравнение (11.28)
; или
+ С – С = С²(х-1);
= C²; ;;
Интегрируем:
; ;
С(х) = х + ; (11.33)
=const. Подставляем (11.33) в (11.31), получаем общее решение данного ДУ
; (11.34)
2способ Бернулли. Общее решение ДУ (11.26) находим в виде произведения двух неизвестных функций
y= u(x)v(x); (11.35)
Дифференцируем:
= v+u (11.36)
Выражения (11.35) и (11.36) подставляем в (11.26):
v+u - ;
группируем члены, вынося общий множитель u(x) за скобку,
v+u; (11.37)
выражения в скобке приравниваем к нулю, получаем ДУ с разделяющимися переменными
, или ,
интегрируем
; ,
откуда
v= (x-1); C=1 (11.38)
Одну из неизвестных в (11.35) функций нашли. Подставляем (11.36) в (11.37), получаем
(x-1) =, или= u².
Вновь получили ДУ с разделяющимися переменными:
; ;;
u = ,=const. (11.39)
Подставляем (11.36) и (11.39) в (11.35), получаем общее решение
у = (11.40)
Сравниваем (11.34) и (11.40)- общие решения получились одинаковые.