Примеры решения задач

1. В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью . Определить скорость течения воды в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях равна

Решение:

Запишем уравнение Бернулли

Формула Пуазейля

Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен.

Для установления зависимости выделим мысленно цилиндрический объем жидкости радиусаrи длиныl. На торцах этого цилиндра поддерживаются давленияP₁иP_2, что обуславливает результирующую силу.

(1)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная

(2)

Где - площадь боковой поверхности цилиндра.

F=F_тр(3)

Знак (-), так как (4)

Проинтегрируем это уравнение:

(5)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r=0):

Определим объемную скорость кровотока Q. Для этого выделим цилиндрический слой радиусомrи толщинойdr. Площадь сечения этого слоя. За 1с слой переносит объем жидкости(6)

(5)(6) получим(7)

(7) - Формула Пуазейля

Через трубу протекает тем больше жидкости , чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Формула Пуазейля аналогична закону Ома для участка цепи. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока - объемной скорости, электрическое сопротивление - гидравлическому сопротивлению

(8)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость , длинаlтрубы и меньше сечение.

Примеры решения задач

1. При чуме артерия сужается в 2 раза . Во сколько раз изменится объемная скорость кровотока?

Решение

По формуле Пуазейля

2. Каково гидравлическое сопротивление кровеносного сосуда длиной 0,12м и радиусом 0,1мм?

Решение: Из формулы (8) для гидравлического сопротивления

3.Модель кровообращения Франка

Модель позволяет установить связь между ударным объемом крови (объем крови, выбрасываемый желудочком за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения х₀и изменением давления в артериях. Артериальная часть системы кровообращения моделируется упругим (эластичным) резервуаром (УР).

В УР (артерия) поступает кровь из сердца Q. От УР кровь оттекает с о.с.к.Q₀в периферическую систему (артериолы, капилляры). Объем крови в УР зависит отP:

V=V₀+kP(1)

Где k- упругость резервуара;V₀-объем УР приP=0, из (1)

(2)

(3),

т.е. объемная скорость кровотока из сердца равна скорости возрастания объема УР скорости оттока крови из упругого резервуара.

На основании формулы Пуазейля и формулы (8) можно записать для периферии:

(4),

где P- давление в УР;P_в - венозное давление. ПриP_в=0

(5)

Подставляя (2) и (5) в (3), получим

(6)

Во время систолы (сокращение сердца) происходит расширение УР, во время диастолы - отток крови к периферии, Q=0. Тогда (6) перепишется:

(7)

Проинтегрировав (9), получаем зависимость давления в УР после систолы от времени:

(8)

На основе механической модели по аналогии можно построить электрическую модель.

Здесь источник Uпеременного эл.напряжения служит аналогом сердца, выпрямитель В - сердечного клапана.

Конденсатор С в течение полупериода накапливает заряд, а затем разряжается на резистор R, так сглаживается сила тока через резистор. Действия конденсатора аналогично действию упругого резервуара, который сглаживает колебание давления крови в артериях и капиллярах. Резистор является электрическим аналогом периферической сосудистой системы.

Пульсовая волна-это распространяющаяся по аорте и артериям волна повышенного давления, вызванная выбросом крови из левого желудочка в период систолы.

Скорость пульсовой волны в крупных сосудах определяется выражением:

, где Е-модуль упругости,- плотность вещества сосуда,h-толщина стенки сосуда,d-диаметр сосуда.