Gurtov_TE

o

λc,A

NA = 1015 см-3

200

VSS = -0,38 0

0,3

150

1

100

4

9

50

16

Рис. 12.2. Величины среднего расстояния локализации λc электронов в ОПЗ в области слабой инверсии в зависимости от температуры T при различных величинах напряжения смещения канал-подложка. Сплошные линии – классический расчет по соотношению (3.42), пунктирная линия – квантовый расчет для многих уровней, штрихпунктирная линия – расчет по (12.23) в случае квантового предела

Квантовый предел

Квантовым пределом называется такое состояние электронного или дырочного газа в ОПЗ, когда заполнена только одна, имеющая номер i = 0, подзона поперечного квантования. В этом случае, используя вариационные методы, Стерн и Ховард получили аналитические выражения для вида волновой функции ξ0(z) и энергии уровня E0. Очевидно, что квантовый предел реализуется в области низких температур T и высоких значений электрических полей Es, когда расщепление по энергии у дна подзон поперечного квантования превышает тепловую энергию kT.

Для квантового предела Стерном и Ховардом [1, 29, 30] было получено, что энергия уровня E0

421

где величина b определяется выражением

Величина среднего расстояния λc, на котором локализованы электроны, в потенциальной яме в случае квантового предела

Из соотношения (12.23) следует, что локализация центроида электронной плотности в этом случае не зависит от температуры. На рисунке 12.2 показано соотношение величины λc, рассчитанное в квантовом пределе по соотношению (3.42) в классическом случае и для случая треугольной ямы с многими уровнями.

Самосогласованное решение

Для области сильной инверсии и повышенных температур выражения для энергии Eij и волновых функций ξi j (z) в аналитическом виде получить

невозможно. Это связано с тем, что в зависимости от конкретного вид потенциала ψ(z) мы получаем вполне определенные значения Ei(z) и ξi(z). Согласно (12.14), эти значения определяют закон распределения свободных носителей n(z) по глубине ОПЗ. Для области сильной инверсии нельзя пренебречь, как это было можно сделать для области слабой инверсии, вкладом заряда свободных носителей в общую плотность ρ(z) объемного заряда. А закон изменения ρ(z) определяет, согласно уравнению Пуассона, форму потенциального барьера, т.е. величину ψ(z). Таким образом, для нахождения спектра энергий Ei и вида волновых функций ξi в общем случае требуется решать самосогласованно уравнение Шредингера (12.3) с уравнением Пуассона. Такое решение выполняется итерационным методом и позволяет точно учесть квантовые поправки на величину n(z) и Γn.

Рассмотрим процедуру самосогласованного расчета, выполняющегося численными методами с применением ЭВМ.

Прежде всего уравнение Шредингера (12.2) подвергнем линеаризации. Разобьем инверсионный слой на n малых отрезков длиной ∆l. Учтем, что:

При этом уравнение Шредингера разбивается на n линейных однородных уравнений:

422

Соотношение (12.25) есть система линейных однородных уравнений, решение которой при известном потенциале для данного квантового числа i дает значение Ei и значения волновых функций ξi n в каждой из n точек инверсионного канала, т.е. ξi(z). В стандартной самосогласованной процедуре выбирается начальное значение ψвход(z), необходимое для решения системы (12.25) и нахождения n(z). Обычно для инверсионных слоев выбирается в качестве начального значения входного потенциала ψвход(z) величина потенциала, обусловленного обедненным слоем в виде (3.50). Можно выбирать для начального значения и классическую величину ψ(z). Система уравнений (12.25) реша-

ется с этим потенциалом ψвход(z), находятся величины Ei, ξi(z), затем по соотношениям (12.14) и (12.15) величина n(z). Найденное значение n(z) подстав-

ляют в уравнение Пуассона (3.6), решают его численными методами (обычно используют метод Рунге-Кутта) и находится новое значение выходного по-

тенциала ψвых(z). Если величины ψвход(z) и ψвых(z) соответствуют друг другу с приемлемой разницей, самосогласованное решение найдено. Если же нет, то

ψвых(z) заменяет входной потенциал ψвход(z) в системе (12.25) и совершается новый круг итерационного процесса. Метод самосогласованного поля позволяет находить значение энергии и вид волновых функций для любого числа подзон поперечного квантования.

На рисунке 12.3 приведены в качестве примера величины энергии первых трех уровней, рассчитанных подобным образом. На рисунке 12.4 приведены плотности распределения n(z), полученные с учетом квантовой и классической статистики. Обращает на себя внимание тот факт, что распределения n(z) для классического и квантового случая различаются очень сильно, особенно вблизи поверхности. Из рисунка видно, что квантовый предел качественно дает во многом подобную картину по распределению n(z), что и самосогласованный расчет.

423

100 E, МэВ E1

E0'

80

60 E0

EF

40

20

o

z,A

0 10 20 30 40 50 60 70

Рис. 12.3. Энергия уровней поперечного квантования Ez i (i = 0, 1, 2…), рассчитанная самосогласованным методом [1, 29]

1,0

n, 1019 см-3

0,8

0,6

1

0,4

0,2

2

o

z, A

i = 0

Рис. 12.4. Зависимость концентрации электронов n(z) в ОПЗ, рассчитанная по классической статистике с учетом заполнения многих уровней (1) и в случае квантового предела (2) [1, 29]

424

12.1.5. Диаграмма состояния электронного газа в инверсионном канале

Рассмотрим диаграмму величин избытков свободных носителей Γn и температур T, обычно варьируемых в эксперименте (Γp,n = 107÷1013 см-2; T = 0÷400 К), и выделим области Γn, T, соответствующие различным состояниям электронного (или дырочного) газа в канале. За критерий отсутствия квантования примем малость дебройлевской длины волны, определяемой соотношением (12.1), по сравнению со средней толщиной инверсионного канала. В реальных ситуациях в инверсионных каналах квантование наступает раньше вырождения. За критерий вырождения возьмем условие пересечения уровнем Ферми на поверхности дна нулевой квантовой подзоны. Это приведет для

На рисунке 12.5 приведена диаграмма Γn, T, рассчитанная таким образом для ОПЗ кремния с NA = 1015 см-3.

Анализ диаграммы позволяет определить области температур и избытков Γn, где можно пользоваться анализом для треугольной ямы и в квантовом пределе. Поскольку для Γn > 1012 см-2 весь газ двумерен и вырожден, для этой области необходимо использовать самосогласованный расчет.

Таким образом, учет поперечного квантования в инверсионном канале приводит к двум основным следствиям.

1.Плотность состояний в пределах одной квантовой подзоны не зависит от энергии и меняется при изменении толщины канала.

2.Происходит уширение, по сравнению с классическим расчетом, толщины инверсионного канала.

425

Рис. 12.5. Диаграмма, показывающая состояние электронного газа в инверсионном канале в зависимости от избытка электронов Γn и температуры T [38]

12.2. Квантовый эффект Холла

Рассмотрим гальваномагнитные эффекты, возникающие в сильных магнитных полях в двумерном (2D) электронном газе в инверсиооных каналах МДП-приборов. Перераспределение носителей по энергии вследствие сильного электрического E и магнитного B поля проявляется в ряде экспериментально наблюдаемых особенностей поведения электронов в этом случае. [7]

12.2.1. Зависимость ЭДС Холла от параметров инверсионного канала

Аппроксимируем распределение электронов по инверсионному каналу в виде плоскости с плотностью электронов на единицу площади Γn. Длину и ширину канала обозначим соответственно через L и W. Тянущее электриче-

ское поле E будем считать слабым. Магнитное поле с индукцией B направлено перпендикулярно инверсионному каналу. Схема измерения реализуется на МДП-транзисторах с холловской геометрией.

Величина тока I, протекающего во внешней цепи при напряжении Vds между истоком и стоком будет определяться зарядом Q, прошедшим через сток за единицу времени

426

где Q(L=1) – заряд электронов в инверсионном канале на единицу длины L канала. Величина тока I после преобразования соотношения (12.26) будет

Соотношение (12.27) – хорошо известное выражение для тока канала в МДП-транзисторах в области плавного канала.

Сила Лоренца, действующая на электроны в канале, с учетом направления B , E будет

В стационарном случае сила FH со стороны добавочного холловского поля EH будет уравновешивать силу Лоренца, а между холловскими контактами возникает разность потенциалов VH. Получаем

Выражая из уравнения (12.28) значение скорости υd и подставляя в

(12.29), получаем

Из соотношения (12.30) следует, что для двумерного случая холловское напряжение VH, как и в трехмерном случае, определяется произведением тока I на индукцию магнитного поля B. Однако в двумерном случае постоянная Холла RH определяется концентрацией электронов на единицу площади Γn.

12.2.2. Циклотронная частота

В случае сильного магнитного поля B такого, что время релаксации между актами рассеяния τ существенно больше, чем период обращения электрона в магнитном поле, движение электронов существенно отличается от прямолинейного. Приравнивая силу Лоренца FЛ к произведению эффективной массы электрона mn* на центростремительное ускорение

an = υR2 = ω 2 R , получаем

Частота вращения электрона в магнитном поле получила название циклотронной частоты ωc и, как видно из равенства (12.31), будет равна

427

Величина кванта энергии ћωc, соответствующего движению в магнитном

поле B , равном 1 Тл, при эффективной массе, равной массе свободного электрона mn* = m0, будет ħωc ≈ 2·10-23 Дж = 10-4 эВ.

Следовательно, для произвольных значений индукции поля B и эффек-

Полезно отметить, что значения тепловой энергии kT при различных температурах T равны

Из соотношения (12.33) и приведенной таблицы следует, что для наблюдения процессов, связанных с квантованием энергии в магнитном поле, необходимы, как правило, сверхнизкие температуры, ниже температуры жидкого гелия (T = 4,2 K).

12.2.3. Спектр энергии двумерных электронов в поперечном магнитном поле

Для двумерного электронного газа спектр энергий имеет вид

где Ei – энергия дна поверхностных подзон, соответствующая номеру i. Движение электронов вдоль инверсионного канала остается свободным. При приложении магнитного поля B, перпендикулярного плоскости (x, y), происходит квантование по магнитному полю. Непрерывный спектр энергии E(k) для каждой i-той подзоны переходит в дискретный, возникают уровни Ландау

На рисунке 12.6 приведена зависимость E(k) при наличии и отсутствии магнитного поля. Из рисунка 12.6 видно, что при наличии сильного электрического поля в предельном случае низких температур двумерный электронный газ превращается в нульмерный электронный газ.

428

E E

Рис. 12.6. Зависимость энергии E от волнового вектора k для двумерных электронов

а) при отсутствии магнитного поля; б) в сильном магнитном поле

12.2.4. Число состояний для электронов на уровне Ландау

Найдем радиус орбиты Ландау в постранстве квазиимпульсов для электронов. Поскольку

где p ,n — квазиимпульс электрона на орбите с номером n.

Из соотношения (12.37) следует, что орбита электрона в магнитном поле квантована по квазиимпульсу. Используя соотношение (12.31), для радиуса орбиты в координатном пространстве

казана схема изменения разрешенных значений квазиимпульса для 2D элек-

429

тронного газа при приложении магнитного поля. Оценим площадь кольца в p- пространстве между орбитами Ландау. Она равна

Из уравнения (12.40) следует, что площадь ∆S не зависит от номера орбиты n. Ранее эту площадь в p-пространстве занимали 2D электроны, причем каждый электрон занимал объем ∆px·∆py = (2πħ)2 (при координатном объеме V = 1). Теперь все электроны из области между уровнями Ландау «сели» на один квантовый уровень Ландау с номером n. Отсюда число электронов, которое находится на одном уровне Ландау, обозначаемое значком G, будет

Поскольку на уровне Ландау с одним и тем же значением энергии En может находиться несколько электронов, то этот уровень будет вырожденным. Величину G называют в связи с этим фактором (или степенью) вырождения уровня Ландау. По размерности и физическому смыслу фактор вырождения G определяется как число мест на единицу площади для электронов на уровне Ландау. Отметим, что степень вырождения уровня Ландау не зависит от его номера, а определяется только величиной индукции магнитного поля B.

12.2.5. Плотность электронов в 2D электронном газе в сильном магнитном поле

Макроскопическим параметром, возможным для измерения в 2D электронном газе в присутствии магнитного поля, является плотность электронов Γn, рассчитанная на единицу площади. Пусть заполнено i уровней Ландау, а у (i+1) уровня заполнена только часть, обозначенная через ε. Тогда, согласно соотношению (12.41), число электронов Γn будет

12.2.6. Эффект Холла для 2D электронов в сильном магнитном поле

При исследовании эффекта Холла измеряемыми величинами являются холловское напряжение VH и ток канала I. Если разделить холловское напряжение VH на ток канала I, то полученная величина имеет размерность сопротивления, обычно называемого холловским сопротивлением Rxy

Для слабых магнитных полей B без учета квантования по магнитному полю B зависимость холловского сопротивления Rxy от плотности электронов Γn гиперболическая и гладкая функция от величины Γn. Экспериментально

430