Matrices

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ”

2008

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Санкт-Петербург 2008

УДК 512 Матрицы, определители, системы линейных уравнений: Учебное

пособие / Составители: Н. А. Жарковская, И. Г. Зельвенский. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2008. 62 с.

Содержит весь необходимый теоретический материал по темам "‘Матрицы"’, "‘Определители"’, "‘Системы линейных уравнений"’, а также примеры и упражнения для самоподготовки.

Предназначено для студентов I курса ФКТИ как основа курса линейной алгебры, изучаемого во II семестре. Большая часть пособия полезна студентам других факультетов.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

c СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2008

Часть I. Матрицы

1. Определения и обозначения

Матрицы и вычисления с ними являются важным инструментом многих разделов математики. Мы будем представлять матрицу как прямоугольную таблицу, в клетках которой стоят числа или какие-то другие математические объекты, над которыми можно выполнять операции сложения и умножения. При записи матрицы клетки таблицы явно не указываются:

Множество матриц, имеющих m строчек и n столбцов с элементами из множества U будем обозначать Mm×n(U). Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, матрица называется квадратной, а число n называют ее порядком. Множество квадратных матриц размера n×n обозначают

Mn(U).

Расположение элементов матрицы указывают парой индексов: первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых располагается данный элемент, например, a26 – элемент, расположенный на пересечении 2-й строки и 6-го столбца. Тот факт, что матрица A образована элементами aij, записывается так: A = (aij).

Элементы, квадратной матрицы, у которых оба индекса одинаковы, образуют главную диагональ этой матрицы. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны 0, матрица называется верхней треугольной. Если равны 0 все элементы выше главной диагонали, матрица называется нижней треугольной. Если же все ненулевые элементы матрицы размещаются только на главной диагонали, матрица называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей. Например,

– верхняя треугольная матрица четвертого порядка,

1

– диагональная матрица пятого порядка.

2. Линейные операции над матрицами

Линейные операции над матрицами – это сложение и умножение на скаляр.

Складывать можно только матрицы одинакового строения, т. е. у этих матриц должны совпадать как число строк, так и число столбцов. Сло-

Легко убедиться, что если для сложения и умножения элементов матрицы справедливы стандартные правила арифметики (то есть, коммутативность: a + b = b + a, ab = ba, ассоциативность: a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c и дистрибутивность: a(b + c) = ab + ac), то и для действий над матрицами аналогичные правила также справедливы. Таким образом, в этой ситуации для любых матриц A и B одинакового строения и для любых скаляров α и β справедливы равенства

A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), αA = Aα, α(βA) = (αβ)A, α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA.

2

Вычитание для матриц так же, как и для чисел, определяется как действие, обратное сложению. Легко видеть, что при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц, например,

Матрица O, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Очевидно, что всегда A + O = A и A − A = O.

3. Умножение матриц

Операция умножения матриц определена только в том случае, когда количество элементов в строке первого сомножителя равно количеству элементов в столбце второго сомножителя. При этом элемент произведения, стоящий в позиции (i, j), определяется как сумма попарных произведений соответствующих элементов i-й строки первого сомножителя и j-го столбца второго сомножителя. Таким образом, если A = (aij) Mm×n,

стоящего во второй строке на третьем месте, надо вычислить следующую сумму: 0 · 1 + (−1) · 0 + 3 · 2 + 0 · 3 = 6.

Упражнение 3.1. Проверьте, что если все указанные произведения матриц A, B, C существуют, то справедливо равенство A(B + C) = = AB + AC.

Замечание 3.1. При умножении произвольной матрицы A на единичную результат равен матрице A, таким образом, единичная матрица при умножении ведет себя аналогично числу 1, чем и объясняется ее название.

Упражнение 3.2. Перемножив матрицы

убедитесь, что умножение матриц не обладает коммутативностью: произведения AB и BA не обязаны совпадать.

3

Замечание 3.2. В то же время, для матриц

оба произведения равны между собой. Такие матрицы называют перестановочными.

Пример 3.1. Вот несколько образцов умножения матриц.

в этом случае получили матрицу, у которой ровно один элемент.

заметим, что при умножении произвольной матрицы на матрицу-столбец справа всегда получается столбец.

получили матрицу, все строки которой пропорциональны второму сомножителю, а столбцы – первому.

Замечание 3.3. Обратите внимание, произведение верхних треугольных матриц – всегда верхняя треугольная матрица. Это прямо следует из определения умножения матриц. Действительно, элемент произведения, стоящий в i-й строке и j-ом столбце получается в результате умножения i-й строки первого сомножителя на j-й столбец второго сомножителя. Но в i-й строке первые i − 1 элементов равны 0, а в j-ом столбце последние j − 1 элементов равны 0, и если i > j, то все слагаемые, которые возникают при умножении этой строки на соответствующий столбец,

4

равны 0. В частности, в нашем примере элемент произведения, стоящий на втором месте в третьей строке, равен 0 · 2 + 0 · (−1) + 5 · 0 + 0 · 0 = 0.

Ясно, что аналогичное утверждение верно и для нижних треугольных матриц: произведение нижних треугольных матриц – нижняя треугольная матрица.

А поскольку диагональная матрица одновременно является и верхней треугольной и нижней треугольной, то и произведение таких матриц является одновременно и верхней треугольной и нижней треугольной, то есть, диагональной матрицей.

Лемма 3.1. Умножение матриц обладает свойством ассоциативности, то есть, если все указанные произведения существуют, то справедливо равенство A(BC) = (AB)C.

Доказательство.

Пусть A = (aij) Mm×n, B = (bjk) Mn×s, C = (ckl) Ms×t,

тогда оба произведения A(BC) и (AB)C существуют. Рассмотрим элемент первого произведения, стоящий в позиции (i, l):

PP

Если в этом выражении раскрыть скобки и сгруппировать члены, содержащие одинаковые элементы матрицы C, то получится

!

sn

PP

а это, как легко проверить, – в точности элемент произведения (AB)C, стоящий в позиции (i, l).

Определение 3.1. Линейной комбинацией элементов A1, A2, . . . , Ak с коэффициентами α1, α2, . . . , αk называется выражение α1A1 +α2A2 +. . .

. . . + αkAk.

Лемма 3.2. В произведении двух матриц i-я строка является линейной комбинацией строк второго сомножителя, причем коэффициентами этой линейной комбинации являются элементы i-й строки первого сомножителя.

Аналогично: i-й столбец произведения является линейной комбинацией столбцов первого сомножителя, причем коэффициентами этой линейной комбинации являются элементы i-го столбца второго сомножителя.

5

Доказательство.

Пусть C = c1 c2 . . . cm M1×m – матрица-строка. Рассмотрим произведение матрицы C на матрицу A Mm×n. Обозначим строки матрицы A через A1, A2, . . . , Am. Из определения произведения матриц следует, что произведение CA – это матрица-строка, которая является линейной комбинацией строк A1, A2, . . . , Am с коэффициентами c1, c2, . . . , cm.

Аналогично можно проверить, что произведение AB, где B – матри- ца-столбец из n элементов b1, b2, . . . , bn, – это столбец из m элементов, который является линейной комбинацией столбцов матрицы A с коэффициентами b1, b2, . . . , bn.

Поскольку каждая строка произведения формируется в результате умножения соответствующей строки первого множителя на второй, а каждый столбец – в результате умножения соответствующего столбца второго множителя на первый, лемма доказана.

Например, умножим слева на матрицу

= −3a1 − 2a2 + 0a3 −4a1 − 2a2 + 1a3 2a1 + 2a2 + 3a3 .

Мы получили линейную комбинацию строк данной матрицы с коэффициентами a1, a2, a3.

Упражнение 3.3. Вычислите произведение матриц

Упражнение 3.4. Вычислите степень квадратной матрицы

6

Если f(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an – произвольный многочлен, а A – квадратная матрица, то значение f(A) – это матрица a0An + a1An−1 + . . . + an−1A + anI.

Упражнение 3.5. Для данных f(x) и A найдите f(A):

Упражнение 3.6. Докажите, что матрица

является корнем многочлена f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6.

4. Элементарные преобразования матриц и их связь с умножением матриц

Определение 4.1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца); 3) перестановка двух строк или столбцов.

Прежде всего заметим, что все элементарные преобразования обратимы, то есть, если мы изменили матрицу с помощью элементарного преобразования, то мы можем и восстановить ее с помощью элементарного преобразования того же типа. Например, поменяв местами два столбца, мы получаем новую матрицу, но поменяв в этой новой матрице местами столбцы с теми же номерами, мы вернемся к исходной матрице. Введем следующие обозначения: через Mij(α) обозначим квадратную матрицу, у которой элемент, стоящий в i-й строчке и j-м столбце, равен α, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами единичной матрицы (как будет видно дальше, порядок такой матрицы обычно ясен из контекста). Например, матрица третьего порядка

Аналогично, через Mi(α) обозначим матрицу, которая отличается от единичной только одним элементом, а именно: i-й элемент диагонали у

7