Matrices
.pdfрешения в виде столбцов: |
|
|
−b·1·,r·+2 |
|
|
|
−·b·1·,n |
|||||||||||
|
x |
|
= |
−b·1·,r·+1 |
, x |
= |
, . . . , x |
|
= |
|||||||||
(13) |
1 |
− |
1 |
|
− |
0 |
|
n−r |
− |
0n,n . |
||||||||
|
|
|
bn,r+1 |
|
2 |
|
|
bn,r+2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы x1, x2,. . . , xn−r линейно независимы, так как в матрице, составленной из этих векторов, есть единичная подматрица порядка n−r. Лемма доказана.
Следствие 21.2. Если определитель однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений.
Определение 21.1. Любой набор из n − r линейно независимых решений однородной системы (11) называется фундаментальной системой решений.
В лемме 21.2 мы доказали, что фундаментальная система решений всегда существует.
Теорема 21.1. Пусть x1, x2,. . . , xn−r – произвольная фундаментальная система решений однородной системы (11). Тогда любое решение x0 этой системы представляет собой линейную комбинацию векторов x1, x2,. . . , xn−r.
Доказательство.
Рассмотрим матрицу X = (x0, x1, . . . , xn−r) размера n×(n−r+1), составленную из столбцов x0, x1,. . . , xn−r. Так как последние n−r столбцов линейно независимы, то ее ранг не меньше, чем n − r. С другой стороны, этот ранг не может быть больше, чем n − r, так как каждая из первых r строк матрицы X в силу уравнений (12) является линейной комбинацией последних n − r строк.
Таким образом, ранг матрицы X равен n − r и по теореме 16.1 о базисном миноре столбец x0 является линейной комбинацией столбцов x1, x2,. . . , xn−r.
Пусть по прежнему x1, x2,. . . , xn−r – произвольная фундаментальная система решений однородной системы (11). Из доказанной теоремы и
58
леммы 21.1 следует, что, с одной стороны, любой вектор
|
n−r |
(14) |
Xi |
xo = Cixi |
|
|
=1 |
является решением однородной системы (11) при любых значениях произвольных постоянных C1, C2,. . . , Cn−r, а с другой стороны, любое решение системы (11) имеет вид (14). Подобное решение системы линейных уравнений называется общим решением.
Упражнение 21.2. Найдите фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:
x11 −x22 −x33 |
|
2x44 |
= 0 |
||||||
|
2x |
|
x |
|
x |
+ x |
= 0 |
||
|
− |
x2 |
− |
− |
|
2x4 = 0, |
|||
5x1 |
− |
− |
3x3 |
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. Системы линейных уравнений общего вида
Теорема 21.1 описала общее решение однородной системы линейных уравнений. Нам осталось описать общее решение неоднородной системы линейных уравнений (9).
По отношению к системе (9) однородную систему (11) с той же матрицей коэффициентов называют приведенной. Связь между решениями этих двух систем задается следующей леммой.
Лемма 22.1. Пусть x – какое-либо решение системы (9). Произвольный вектор z будет являться решением той же системы в том и только том случае, когда найдется такое решение xo приведенной системы (11), которое удовлетворяет равенству z = x + xo.
Упражнение 22.1. Докажите лемму 22.1.
Теорема 22.1. Пусть x1, x2,. . . , xn−r – произвольная фундаментальная система решений приведенной системы (11). Тогда любое решение x системы (9) может быть представлено в виде
|
n−r |
(15) |
Xi |
x = z + Cixi, |
|
|
=1 |
где z – какое-нибудь (частное) решение этой системы, а C1, C2,. . . , Cn−r – некоторые числа. С другой стороны, при любых числах C1, C2,. . . , Cn−r вектор (15) является решением системы (9).
59
Утверждения теоремы вытекают непосредственно из леммы 22.1 и теоремы 21.1.
Следствие 22.1. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо вовсе не имеет решений.
Доказательство.
Если определитель системы уравнений равен нулю, то ранг матрицы системы меньше n, а это означает, что приведенная система имеет бесконечно много решений. Совместность системы зависит только от наличия частного решения.
Пример 22.1. Найти общее решение системы
(
x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = 1 x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = −1.
После упрощения расширенная матрица системы принимает вид:
|
0 |
1 |
−10 |
17 |
|
2 |
|
|
1 |
3 |
−13 |
22 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение можно получить, придав |
свободным переменным, |
||||||
например, нулевые значения: x3 = x4 = 0. Тогда x2 = 2 и x1 = 1 − 3x2 =
= −5, откуда z = −5 2 0 |
0 T. |
|
|
|
|
||
фундаментальную систему решений приведенной систе- |
|||||||
Теперь ищем |
|
|
|
|
|
|
|
мы, матрица которой имеет вид: |
−10 |
|
|
0 |
|||
|
0 |
|
1 |
17 |
|||
|
1 |
|
3 |
−13 |
22 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в приведенной системе свободным |
переменным (обозначения пе- |
||||||
ременных не будем менять, чтобы не утяжелять изложение) дать значения x3 = 1, x4 = 0, то x2 = 10 и x1 = 13 − 3x2 = −17. Если же x3 = 0, x4 = 1, то x2 = −17 и x1 = −22 − 3x2 = 29. Получили два линейно независимых решения приведенной системы, которые и составляют фундаментальную
систему решений: x1 = |
−17 |
10 1 |
0 T и x2 = 29 |
−17 0 1 T. |
||||||
Общее решение |
заданной системы: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = 2 |
+ C1 10 |
+ C2 |
−17 . |
|||||||
|
|
−5 |
|
−17 |
|
|
29 |
|
||
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
|
Содержание |
|
Часть I. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
|
1. |
Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
2. |
Линейные операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
3. |
Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
4.Элементарные преобразования матриц и их связь с умножением матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.Приведение матрицы к стандартному виду с помощью элементарных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.Линейная зависимость и линейная независимость . . . . . . . 12
7.Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.Транспонирование матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Часть II. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9.Определитель матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10. Явная формула для вычисления определителя . . . . . . . . 22
11.Определитель как обобщенный объем . . . . . . . . . . . . . . 30
12.Вычисление определителя с помощью понижения порядка матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
13.Вычисление определителей произвольного порядка . . . . . . 36
14.Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
15.Ранг матрицы и элементарные преобразования . . . . . . . . 42
16.Теорема о ранге матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Часть III. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . 46
17.Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
18.Теорема Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
19.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений . . . . . . 52
20.Условие совместности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
21.Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . 56
22.Системы линейных уравнений общего вида . . . . . . . . . . . 59
61
Редактор
Подписано в печать . . . . . . 08. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура “Computer modern cyrilic”. Печ. л. .
Тираж экз. Заказ . . . . . .
Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5