Matrices

перестановке местами двух столбцов матрицы определитель меняет знак,

апри добавлении к одному столбцу другого определитель не меняется.

Взавершение этого раздела рассмотрим еще одно простое, но важное свойство определителя. Назовем матрицу блочно-треугольной, если она имеет следующий вид:

где A11, A22, . . . Akk – квадратные матрицы, расположенные вдоль диагонали матрицы A, Aij при i 6= j – прямоугольные матрицы соответствующих размеров, и все элементы, расположенные ниже матриц Aii, равны 0.

Лемма 10.5. Определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей матриц, расположенных на ее диагонали:

Доказательство.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай k = 2. Будем считать, что матрица A11 имеет порядок m, а матрица A22 имеет порядок n. Воспользуемся явной формулой для вычисления определителя.

Прежде всего заметим, что если в произведение (−1)σa1σ(1)a2σ(2) . . .

. . . am+n σ(m+n) входит хоть один элемент матрицы A12, то в это произведение входит хотя бы один нулевой множитель. Действительно, допустим, что это произведение содержит элемент aiσ(i), где i 6 m, а σ(i) > m. Это значит, что среди n сомножителей, у которых i > m, нет представителей столбца с номером σ(i), следовательно, хоть один из этих сомножителей должен быть взят из первых m столбцов. Но все элементы, у которых первый индекс больше m, а второй – меньше m, равны 0. Таким образом, в формуле для вычисления определителя матрицы A отличны от нуля только те произведения, у которых все сомножители являются элементами матриц A11 и A22. В частности, это значит, что суммирование в этой формуле производится не по всем перестановкам, а только по тем, у которых первые m элементов берутся из чисел 1, 2, . . . , m, а последние n элементов берутся из чисел m + 1, m + 2, . . . , m + n.

28

Ясно, что каждую перестановку такого вида можно построить следующим образом: выберем перестановку α, образованную числами 1, 2, . . . , m, и припишем к ней β – перестановку, образованную числами m + 1, m + 2, . . . , m + n. В полученной перестановке σ ни один из первых m элементов не образует инверсии с последними n элементами, поэтому (−1)σ = (−1)α(−1)β. Заметим теперь, что приписывая к одной и той же перестановке α всевозможные перестановки β, мы каждый раз будем получать новую перестановку σ с указанным свойством, и любая перестановка σ требуемого вида может быть получена таким образом.

Итак, мы можем переписать формулу для вычисления определителя матрицы A:

X

det A = (−1)σa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) =

σ

X

=(−1)α(−1)βa1α(1)a2α(2) . . . amα(m)am+1 β(m+1)am+2 β(m+2) . . .

α,β

X

. . . am+n β(m+n) = (−1)αa1α(1)a2α(2) . . .

α

X

. . . amα(m) (−1)βam+1 β(m+1)am+2 β(m+2) . . . am+n β(m+n),

β

где суммирование ведется по всем перестановкам α и β. Для завершения доказательства остается заметить, что первая из полученных сумм равна определителю матрицы A11, а вторая – определителю A22.

Эта лемма позволяет заменить вычисление определителя блочнотреугольной матрицы вычислением нескольких определителей меньшего порядка. Например

29

Следствие 10.3. Определитель треугольной или, в частности, диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Выберем на плоскости декартову систему координат и каждой упорядоченной паре векторов (a, b) сопоставим матрицу

ax ay , bx by

где ax, ay – координаты вектора a, а bx, by – координаты вектора b. Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах a и b. Назо-

вем ориентированной площадью S(a, b) этого параллелограмма его площадь в обычном смысле, если кратчайший поворот от a к b выполняется против часовой стрелки, и его площадь, взятую со знаком минус, если этот поворот выполняется по часовой стрелке.

Ясно, что таким образом мы определили некоторую функцию на квадратных матрицах второго порядка: каждой матрице

A =

мы сопоставили ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах a(a11, a12) и b(a21, a22). Обозначим эту функцию S(A) и проверим, что она удовлетворяет всем условиям из определения определителя.

Во-первых, заметим, что единичной матрице соответствует ориентированная площадь квадрата, построенного на векторах a(1, 0) и b(0, 1), модуль этой площади, очевидно, равен 1, а поскольку кратчайший поворот от a к b выполняется против часовой стрелки, то эта площадь положительна, следовательно, S(I) = 1. Итак, первое условие определения определителя выполнено.

30

Как следует из определения ориентированной площади, S(a, b) = = −S(b, a), но если вектора a и b меняются ролями, то в соответствующей им матрице меняются местами первая и вторая строки, и, следовательно, второе условие определения определителя также выполнено.

Предположим, что мы умножили вектор a на положительное число α. Ясно, что при этом взаимное расположение векторов a и b не меняется, а площадь параллелограмма умножается на число α. Если же α – число отрицательное, то взаимное расположение векторов a и b меняется, следовательно, в любом из этих случаев ориентированная площадь параллелограмма умножается на число α. Ясно, что такое же рассуждение справедливо и для вектора b. Поскольку этим операциям с векторами соответствует умножение строки матрицы A на число α, мы доказали, что при умножении строки этой матрицы на некоторое число, значение S(A) также умножается на это число.

Для завершения доказательства нам остается выяснить, что происходит со значениями S(A), если одну из строк матрицы A заменить суммой двух строк. Ясно, что такой операции с матрицами соответствует замена одного из векторов суммой двух векторов. Допустим, a = a1 + a2, нам надо убедиться, S(a, b) = S(a1, b) + S(a2, b).

Заметим, что у всех трех параллелограммов, которые надо рассмотреть, одно и то же основание – вектор b, а высоты – проекции векторов a, a1 и a2 на направление, ортогональное вектору b. Но сумма проекций векторов a1 и a2 равна проекции их суммы, то есть вектора a, следовательно, S(A) удовлетворяет всем условиям из определения определителя.

Как следует из замечания 10.2, определенная нами функция S(A) совпадает с определителем матрицы A. Итак, мы доказали, что значение определителя

a11 a12

a21 a22

совпадает с ориентированной площадью параллелограмма, построенного на векторах a(a11, a12) и b(a21, a22).

Все эти рассуждения практически дословно можно перенести на трехмерные вектора. Точнее, если мы рассмотрим квадратную матрицу

третьего порядка, то ее определитель равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a(a11, a12, a13), b(a21, a22, a23) и c(a31, a32, a33), если эти вектора, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку,

31

и равен этому объему, взятому со знаком „минус“, если эти вектора образуют левую тройку. Таким образом, определитель квадратной матрицы третьего порядка можно рассматривать как обобщенный объем (от объема в обычном смысле этого слова он может отличаться знаком).

Напомним, что упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если его наблюдать из конца третьего вектора. Тройка называется левой, если этот поворот виден по часовой стрелке. Стандартная декартова система координат в трехмерном пространстве обычно выбирается так, что направления осей Ox, Oy и Oz (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Эти примеры показывают, что определитель квадратной матрицы произвольного порядка n может служить естественным обобщением понятия объема в пространстве n-мерных векторов. С этим обобщением вы встретитесь в других разделах курса математики.

12. Вычисление определителя с помощью понижения порядка матрицы

Как мы уже видели, определитель матрицы можно вычислять либо исходя из определения, либо используя явную формулу для вычисления определителя. Однако, оба эти способа приводят к очень большому объему вычислений, а в тех случаях, когда элементы матрицы заданы неточно, порождают очень большие относительные погрешности. На практике для вычисления определителей используют следующую схему: сначала с помощью элементарных преобразований матрицу упрощают, добиваясь того, чтобы среди ее элементов было побольше нулей (при этом определитель матрицы либо сохраняется, либо меняется контролируемым образом), а затем заменяют вычисление определителей порядка n вычислением определителей меньшего порядка. В основе этого подхода лежит следующая важная теорема.

Обозначим через Mij(A) определитель матрицы, которая получается из матрицы

32

вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент aij (ясно, что эта подматрица имеет порядок на 1 меньший, чем A). Эта величина называется минором элемента aij. А алгебраическим дополнением элемента aij

называют величину Aij = (−1)i+jMij(A).

Теорема 12.1. (Разложение определителя по элементам строки) Определитель матрицы

. . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann

равен сумме произведений элементов любой ее строки на их алгебраические дополнения:

ai1 ai2 . . . ain = ai1 0 . . . 0 + 0 ai2 . . . 0 +. . .+ 0 0 . . . ain ,

как мы это делали выше. Тогда из пункта 3 определения 9.1 следует, что

n

P

det A = det Bij, где Bij – матрица полученная из матрицы A заменой

j=1

i-й строки на строку, в которой все элементы, кроме j-го равны 0, а j-й элемент равен aij.

Рассмотрим сначала случай, когда i = j = 1. Как следует из формулы

10.2, det B11 = P(−1)σa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n), где суммирование произво-

σ

дится по всем перестановкам чисел 1, 2, . . . , n. Но в первой строке матрицы B11 отличен от 0 только первый элемент, следовательно, в этой сумме могут быть отличны от 0 только слагаемые, отвечающие перестановкам, у которых на первом месте стоит 1 (это значит, что в каждом произведении, входящем в данную сумму, из первой строки берется обязательно первый элемент). Таким образом, этот элемент является общим множителем всех слагаемых, если его вынести за скобки, получится равенство:

33

Заметим теперь, что сумма в скобках равна определителю матрицы, которая получается из B11 вычеркиванием первой строки и первого столбца (поскольку 1, стоящая на первом месте, не может образовывать ни одной инверсии, то четность перестановки σ такая же, как у перестановки чисел (2, 3, . . . , n), полученной из σ удалением 1). Итак, det B11 = a11A11.

Теперь нам остается заметить, что вычисление определителя матрицы Bij можно свести к рассмотренному случаю. Поменяем местами сначала строки с номерами i и i − 1 , затем поменяем местами строки с номерами i − 1 и i − 2. . . После (i − 1)-й такой перестановки i-я строка окажется на первом месте, а все остальные строки сохранят порядок следования. Затем выполним аналогичные действия со столбцами: переставим сначала столбцы с номерами j и j − 1, затем столбцы с номерами j − 1 и j, и так далее. После (j − 1)-й такой перестановки j-й столбец окажется на первом месте, а взаимное расположение остальных столбцов сохранится. Таким образом, после всех перестановок мы получили матрицу, у которой в первой строке отличен от 0 только один элемент, и этот элемент стоит на первом месте. Поскольку мы выполнили при этих преобразованиях i + j − 2 перестановок строк и столбцов матрицы, определитель полученной матрицы отличается от определителя исходной множителем (−1)i+j−2, кроме того, определитель матрицы, которая получается из нее вычеркиванием первой строки и первого столбца, равен Mij(A). Итак, мы получили равенство

det Bij = aij(−1)i+j−2Mij(A) = aij(−1)i+jMij(A) = aijAij,

которое и завершает доказательство теоремы.

Замечание 12.1. Из утверждения 10.2 сразу же следует, что аналогичная формула справедлива и для столбцов матрицы:

n

X

det A = aijAij.

i=1

Рассмотрим пример вычисления определителя с помощью этой теоремы:

34

(мы разложили определитель по элементам второй строки и получили вместо одного определителя четвертого порядка сумму четырех определителей третьего порядка, каждый из которых легко вычислить, например, по правилу треугольника, что и сделано в нашем примере).

Заметим, что поскольку один из элементов выбранной строки равен 0, то фактически нам надо вычислить только три определителя, так как второе слагаемое в полученной сумме равно 0. На этом простом наблюдении основан самый распространенный способ вычисления определителей: сначала с помощью элементарных преобразований переходят от данной матрицы к другой, у которой в выбранной строке или выбранном столбце многие элементы равны 0, затем к этой, преобразованной матрице, применяют теорему о разложении определителя. Эту процедуру применяют до тех пор, пока не получатся матрицы, определители которых легко вычисляются (то есть матрицы второго-третьего порядка или матрицы специального вида, для которых определители вычисляются по простым известным формулам). Поскольку элементарные преобразования либо не меняют определитель матрицы, либо меняют его по очень простым правилам, определитель исходной матрицы легко выражается через полученные величины.

Например, уже рассмотренный нами определитель можно вычислить по-другому:

Сначала мы вычли первую строку из второй с коэффициентом −2 и первую же строку из третьей с коэффициентом 1. Затем применили теорему о разложении определителя к первому столбцу преобразованной матрицы. Следующим шагом мы вынесли из первого столбца получившейся матрицы третьего порядка множитель 2. В полученной после этих преобразований матрице мы вычли вторую строку из первой и из

35

третьей, и еще раз воспользовались разложением по элементам первого столбца. Полученный определитель второго порядка мы вычислили по ранее выведенной формуле.

Упражнение 12.1. Вычислить определители:

13. Вычисление определителей произвольного порядка

Рассмотренные выше методы позволяют вычислять конкретные определители произвольного порядка. Но иногда требуется получить общую формулу для вычисления определителей заданного вида без ограничения порядка матрицы. В этих случаях приходится пользоваться либо методом математической индукции, либо рекуррентными соотношениями, то есть формулами, выражающими данный определитель порядка n через подобные ему определители меньшего порядка.

Например, рассмотрим определитель

Вычтем первую строку из последней :

Если мы разложим новый определитель по элементам последней строки, то получим определитель, полностью аналогичный исходному, но меньшего порядка:

36

Применим аналогичные рассуждения для вычисления определителя,

(этот определитель называется определителем Вандермонда).

Вычтем из n-го столбца (n−1)-й, умноженный на x1, затем вычтем из (n −1)-го столбца (n −2)-й, умноженный на x1, и так далее: на последнем шаге вычтем из второго стобца первый, умноженный на x1. В результате этих преобразований определитель не изменится, и мы получим соотношение

Разложив последний определитель по элементам первой строки, получаем равенство

порядка n −1 от переменных x2, x2, . . . xn. Продолжая такие преобразования, мы придем к выводу, что определитель n равен произведению всех

37