Matrices

порядке, например,

Отметим некоторые свойства транспонированной матрицы.

1.(AT)T = A.

2.(AB)T = BTAT.

Прежде всего заметим, что в левой и правой частях этого равенства стоят матрицы одного строения, причем элемент, стоящий в матрице (AB)T в позиции (i, j), равен элементу матрицы AB, стоящему в позиции (j, i), следовательно, он равен произведению j-й строки матрицы A на i-й столбец матрицы B. В то же время элемент матрицы BTAT, стоящий в позиции (i, j), получается в результате умножения i-й строки матрицы BT (то есть i-го столбца матрицы B) на j-й столбец матрицы AT (то есть на j-ю строку матрицы A). Очевидно, что эти величины совпадают.

3. Если матрица A обратима, то обратима и матрица AT, причем

(AT)−1 = (A−1)T.

Это свойство легко следует из предыдущего.

Часть II. Определители

9. Определитель матрицы

Рассмотрим важную характеристику квадратной матрицы, называемую определителем, или детерминантом.

Определение 9.1. Определителем квадратной матрицы A порядка n со строками A1, A2, . . . , An назовем величину det A со следующими свойствами:

1.если I – единичная матрица, то det I = 1;

2.если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк, то det B = − det A;

3.если матрица B получена из матрицы A заменой i-й строки на строку Bi, а матрица C получена из матрицы A заменой i-й строки на строку Ci, причем Ai = βBi + γCi, то det A = β det B + γ det C.

19

Замечание 9.1. Если нужно выписать элементы матрицы, то ее определитель обозначается прямыми чертами по бокам матрицы:

Кроме того, часто говорят не „определитель матрицы A“, а просто „определитель A“.

Замечание 9.2. Пункт 2 определения, в частности, означает, что если каждый элемент какой-то строки матрицы умножить на число α, то определитель новой матрицы получается из определителя A умножением на α. Если же мы представим некоторую строку A как сумму двух строк, то определитель A равен сумме двух определителей, каждый из которых отличается от исходного только i-й строкой: у одного на месте этой строки стоит первое слагаемое, а у другой – второе. Это свойство определителя называют полилинейностью определителя по строкам матрицы. В то же время, свойство, которое описывается пунктом 2 определения называется антисимметричностью. Таким образом, определитель – это полилинейная антисимметричная функция строк матрицы.

Перечислим простейшие свойства определителей.

1. Если матрица имеет нулевую строку, то ее определитель равен 0. Умножим каждый элемент строки, состоящей из нулей, на отлич-

ное от 1 число α. Ясно, что при этом ни сама матрица, ни ее определитель не изменятся, с другой стороны, из пункта 3 определения следует, что det A = α det A. Последнее равенство возможно только при det A = 0.

2.Если матрица имеет две одинаковых строки, то ее определитель равен 0.

Поменяем местами одинаковые строки матрицы. Согласно пункту 2 определения определитель при этом изменит знак, однако ясно, что преобразованная матрица равна исходной, следовательно, det A = − det A, то есть 2 det A = 0.

3.Если матрица имеет две пропорциональные строки, то ее определитель равен 0.

Допустим, Ai = αAj, где Ai и Aj – пропорциональные строки матрицы A, тогда из пункта 3 определения следует, что det A = α det B, где B – матрица, полученная из A заменой i-й строки на строку Aj.

20

Но у матрицы B имеются две одинаковые строки, следовательно, ее определитель равен 0.

4.Если к одной строке матрицы A прибавить другую строку умноженную на некоторое число, то определитель новой матрицы равен определителю A.

Допустим, в новой матрице i-я строка равна Ai + αAj, тогда из пункта 3 определения следует, что определитель новой матрицы равен det A + det B, где B – матрица, которая отличается от A только тем, что у нее вместо i-й строки стоит строка αAj. Это значит, что у матрицы B имеются две пропорциональные строки и, как следует из свойства 3, ее определитель равен 0.

Вдальнейшем мы рассмотрим еще ряд свойств определителей, доказательство которых требует более серьезного анализа.

Рассмотрим теперь вычисление определителя матрицы второго порядка. Пусть

Представим первую строку матрицы как сумму двух строк: a11 0 +

+ 0 a12 , тогда из пункта 3 определения следует, что

Аналогично, представив в виде суммы двух строк вторые строки новых матриц, получим

Заметим, что у первой и четвертой из полученных матриц строки пропорциональны, следовательно, по свойству 3, их определители равны 0. Используя пункт 3 определения, можем вынести из строк оставшихся двух матриц множители, равные элементам матрицы:

Теперь остается вспомнить, что определитель единичной матрицы равен 1, а вторая из оставшихся матриц отличается от единичной перестановкой двух строк, следовательно, ее определитель равен −1, итак,

21

Упражнение 9.1. Используя аналогичные рассуждения, проверьте равенство

a11 a12 a13

Замечание 9.3. Можно заметить, что в полученную формулу входят всевозможные произведения элементов матрицы, выбранных в точности по одному из каждого столбца и из каждой строки. Для запоминания знаков этих произведений удобно воспользоваться наглядным „правилом треугольника“:

Произведения элементов, отмеченных одинаковыми символами на левой схеме, входят в формулу определителя со знаком „+“, а произведения, отмеченные на правой схеме – со знаком „–“.

10. Явная формула для вычисления определителя

Начнем с некоторых вспомогательных сведений.

Определение 10.1. Перестановкой n чисел 1, 2, 3, . . . , n называют расположение этих чисел в фиксированном порядке следования.

Для записи перестановки будем использовать строку из n элементов, перечисляя все указанные числа в заданном порядке, например, (5, 4, 3, 1, 2). Перестановку (1, 2, 3, . . . , n) называют естественной или

тривиальной.

Определение 10.2. Преобразование перестановки, которое состоит в том, что два ее элемента меняются местами, называется транспозицией.

Определение 10.3. Два элемента в перестановке образуют инверсию, если меньший из них стоит правее большего.

Определение 10.4. Если количество инверсий в перестановке четно, она называется четной, а если число инверсий нечетно, перестановка называется нечетной.

Например, в указанной выше перестановке пара чисел 5 и 1 образует инверсию, а пара 1 и 2 инверсии не образует. Общее число инверсий в этой перестановке равно 4 + 3 + 2 = 9, то есть, перестановка нечетная.

22

Лемма 10.1. Любая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство.

Сначала рассмотрим транспозицию соседних элементов. Очевидно, что если переставляемые элементы в исходной перестановке образовывали инверсию, то в новой они не будут образовывать инверсию. И наоборот: если инверсии здесь не было, то она возникнет. В то же время, взаимное расположение этих двух элементов со всеми остальными элементами перестановки не меняется. Следовательно, общее число инверсий при такой транспозиции меняется ровно на 1, то есть четность перестановки меняется.

Покажем теперь, что любую транспозицию можно заменить последовательностью нечетного числа транспозиций соседних элементов. Пусть элемент a стоит на месте номер i, а элемент b стоит на месте номер j. Для определенности будем считать, что i < j, тогда между a и b стоит ровно j −i−1 элементов. Поменяем местами элемент a с элементом, стоящим на месте номер i + 1, затем с элементом, стоящим на месте номер i + 2, и так далее, пока a не окажется на месте с номером j −1 (то есть по соседству с b, слева от него). Очевидно, для этого понадобится ровно j − i − 1 транспозиций соседних элементов. Теперь поменяем местами a и b (b при этом окажется слева от a на месте номер j −1, для этого мы выполнили еще одну транспозицию), затем поменяем местами b и элемент, стоящий на месте номер j − 2, и так далее до тех пор, пока b не окажется на месте номер i. Заметим, что это перемещение потребовало еще j − i − 1 транспозиций соседних элементов. Всего мы выполнили 2(j − i − 1) + 1 транспозиций, а так как число это всегда нечетно, то четность перестановки в результате таких преобразований обязательно изменится.

Следствие 10.1. Четную перестановку можно преобразовать в тривиальную с помощью четного числа транспозиций, а нечетную – с помощью нечетного числа транспозиций.

Доказательство.

Сама возможность преобразовать перестановку в тривиальную с помощью транспозиций очевидна: если 1 стоит не на первом месте, поменяем его местами с числом, стоящим на первом месте, если после этого оказалось, что 2 стоит не на месте, – переставим его с числом, стоящим на втором месте. . . Ясно, что не более, чем за n − 1 шаг, мы получим тривиальную перестановку. Остается заметить, что тривиальная перестановка не содержит инверсий и, следовательно, четна. Поскольку каждая

23

транспозиция меняет четность, то придти от четной перестановки к тривиальной можно только за четное число транспозиций, а от нечетной – за нечетное.

Обозначим через Ij1j2...jn матрицу, у которой в каждой строке ровно один элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0, причем ненулевой элемент i-й строки стоит на месте номер ji. Представим теперь первую строку квадратной матрицы

в виде суммы n строк, у каждой из которых все элементы, кроме одного, равны нулю:

Как следует из определения 9.1, определитель матрицы A равен сумме определителей n матриц, у которых все строки, кроме первой совпадают со строками матрицы A, а первая строка равна одной из рассмотренных выше. Затем выполним точно такую же операцию со второй строкой, затем с третьей и так далее (мы действуем точно так же, как при выводе формулы для определителя второго порядка). В результате мы получим сумму nn определителей матриц, у которых в каждой строке все элементы, кроме одного, равны 0 (а этот единственный элемент равен соответствующему элементу исходной матрицы).

Допустим, что в i-й строке такой матрицы отличен от 0 элемент aij. Из пункта 3 определения 9.1 следует, что этот элемент мы можем вынести множителем за знак определителя. Если мы поступим таким образом с каждой строкой, то все ненулевые элементы образовавшихся матриц окажутся равными 1. Таким образом, мы получим nn матриц вида Ij1j2...jn , а это значит, что нам достаточно научиться вычислять определители матриц Ij1j2...jn при всевозможных наборах индексов.

Лемма 10.2. Если у матрицы Ij1j2...jn совпадают хотя бы два индекса из j1, j2, . . . , jn, ее определитель равен 0. Если все индексы j1, j2, . . . , jn различны, они образуют перестановку, и если эта перестановка четна, то det Ij1j2...jn = 1, если же перестановка нечетна, то det Ij1j2...jn = −1.

24

Доказательство.

Допустим, что jk = jl. Это значит, что в k-й и в l-й строках единицы стоят в одном и том же столбце, а поскольку других ненулевых элементов в этих строчках нет, эти строчки одинаковы, и, по свойству 3,

det Ij1j2...jn = 0.

Если все индексы j1, j2, . . . , jn различны, они образуют некоторую перестановку чисел от 1 до n. При этом матрица Ij1j2...jn имеет в каждой строке и каждом столбце ровно по одной единице. Выберем строку, у которой единица стоит в первом столбце, пусть ее номер равен k (это значит, что jk = 1). Если k 6= 1, поменяем местами первую и k-ю строки (определитель при этом поменяет знак, то есть умножится на −1). Ясно, что продолжая этот процесс, мы получим единичную матрицу, определитель которой равен 1. Поскольку мы выполняли только перестановки строк, то определитель матрицы Ij1j2...jn может отличаться от 1 лишь знаком.

Итак, если для преобразования матрицы Ij1j2...jn в единичную понадобилось четное число перестановок строк, то ее определитель равен 1, если число перестановок нечетно, определитель равен −1. Заметим теперь, что каждой перестановке двух строк матрицы Ij1j2...jn соответствует некоторая транспозиция индексов j1, j2, . . . , jn. Выполнив серию таких траспозиций, мы получили числа 1, 2, . . . , n в естественном порядке (у единичной матрицы единица k-й строки стоит в k-м столбце). Для завершения доказательства достаточно воспользоваться следствием 10.1.

Следствие 10.2. (Явная формула для вычисления определителя) Определитель квадратной матрицы

равен

X

det A = (−1)σa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n),

σ

где сумма берется по всем перестановкам σ вторых индексов, а символ (−1)σ равен 1, если перестановка σ четная и −1 – если она нечетная.

Доказательство.

Эта формула следует из представления определителя матрицы A в виде линейной комбинации определителей матриц Ij1j2...jn и леммы 10.2.

25

строкой произведения CA (остальные строки всех произведений совпадают). Следовательно, из пункта 3 определения 9.1, получаем:

Итак функция f(X) обладает всеми свойствами из определения 9.1, следовательно, f(X) = det X, но это значит, что

1

f(X) = det X = det A det XA,

то есть, det X det A = det XA.

Формула 10.2 позволяет также легко установить связь между определителями матриц A и AT.

Лемма 10.4. Операция транспонирования не меняет определитель матрицы: det A = det AT.

Доказательство.

Обозначим через bij элемент матрицы AT, стоящий в i-й строке и j-м столбце (напомним, что bij = aji). Применяя формулу 10.2, можем запи-

Упорядочим в каждом слагаемом последней суммы сомножители по первому индексу (сейчас они образуют перестановку σ). Для этого нам понадобится от перестановки σ перейти к тривиальной перестановке 1, 2, . . . , n. Если перестановка σ четная, то она получается из тривиальной за четное число транспозиций. Но тогда и восстановить из нее тривиальную перестановку можно за четное число транспозиций (для этого достаточно выполнить те же транспозиции, которые приводят от тривиальной перестановки к σ, только в обратном порядке).

После того, как мы упорядочили первые индексы, вторые стали образовывать некоторую перестановку, обозначим ее δ. Из последнего рассуждения следует, что перестановки σ и δ имеют одинаковую четность, то есть (−1)σ = (−1)δ. Таким образом, мы показали, что выражение для определителя матрицы AT состоит из тех же слагаемых, что и определитель матрицы A, взятых с теми же знаками, то есть, эти определители равны.

Замечание 10.3. Из леммы 10.4 следует, что если верно какое-то утверждение об определителях, связанное со строками матрицы, то верно и аналогичное утверждение, связанное со столбцами. В частности, при

27