Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matrices

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

344.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

имеем	0	1	−1 −1 , X = x2		, B =	5 .
A =	0	1	−1 −1 , X = x2		, B =	5 .
	3		1 −2	x1		2
	3	4	1 −2	x3		2
			x4

18. Теорема Крамера

Ограничимся сначала рассмотрением систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Произвольная система n уравне-

ний с n неизвестными имеет следующий вид:
	a21x1	+ a22x2	+ . . . + a2nxn		= b2
(3)	a11x1	+ a12x2	+ . . . + a1nxn		= b1
(3)	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


	an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn.

Определитель	квадратной матрицы системы (3)
Определитель			a21		a2n
	= det A =		a21	a22 . . .	a2n
			a11	a12 . . .	a1n
			. . . . . . . . . . . .

			an1 an2 . . . ann



называется определителем системы.

Теорема 18.1. (Теорема Крамера) Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет

единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам

(4)

x1 =

, x2 =

, . . . , xn =

где

k (k = 1, 2, . . . , n) – это определитель, полученный из определителя

заменой k-го столбца на столбец из чисел b1, b2, . . . , bn.

Доказательство.

Предположим сначала, что система (3) имеет некоторое решение

h1, h2, . . . , hn, то есть справедливы следующие равенства:

a21h1

+ a22h2

+ . . . + a2nhn

= b2

(5)

a11h1

+ a12h2

+ . . . + a1nhn

= b1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1h1 + an2h2 + . . . + annhn = bn

Умножим

первое из этих равенств на алгебраическое дополнение A

элемента a11 в матрице (aij), далее умножим второе равенство на A21, 48

третье – на A31 и т. д., пока не дойдем до последнего равенства, а затем сложим все полученные произведения. В результате получим следующее соотношение:

n !

(6)ak1Ak1 h1 +

k=1

n	ak2Ak1!h2 + . . .
=1
Xk	n	!	n
	X		X
	. . . +	aknAk1 hn = bkAk1.
	k=1		k=1

Коэффициент при h1 равен определителю системы , коэффициенты при всех остальных hk обращаются в нуль. Сумма произведений в правой части является разложением определителя

b1 a12 . . . a1n

1 = .b2. . a.22. . .. .... .a2.n.

bn an2 . . . ann

по первому столбцу. В силу этого равенство (6) коротко переписывается в


виде	· h1 = 1, откуда немедленно следует:
		h1 =		1	.

Аналогично вычисляются значения остальных hk, следовательно,
(7)	hk =	k	(1 6 k 6 n).

Таким образом, если решение системы (3) существует, то оно единственно и вычисляется по формулам (7).

Чтобы доказать существование решения, подставим величины hk, определяемые равенствами (7), в систему (3) на место неизвестных xk. Для 1-го уравнения получаем:

n	a1khk =	n	a1k		k = 1		n	a1k(b1A1k + b2A2k + . . . + bnAnk) =
X		Xk					X
X		Xk					X
k=1		=1					k=1
			1		n			1
				Xj
		=			=1	bj(a11Aj1		+ a12Aj2 + . . . + a1nAjn) =	b1 = b1
					=1

(во второй строке от нуля отлична только сумма в первой скобке). Точно так же превращаются в тождества и результаты подстановок в остальные уравнения системы.

Замечание 18.1. Рассмотрим матричную форму записи (2) системы (3): AX = B. В нашем случае матрица A квадратная и неособенная

(т. е. det A = 0). Но тогда существует обратная матрица A−1 и уравнение

(2) решается умножением слева на A−1:

A−1(AX) = (A−1A)X = IX = X = A−1B.

Таким образом, для столбца решений системы (3) имеем

(8)

X = A−1B.

Упражнение 18.1. Выведите формулы Крамера (4), используя вы-

ражение обратной матрицы A−1 через взаимную A.

Пример 18.1. Решим систему уравнений

1+−2x2

3x3

= −1

+ 4x3

−

11.

2x1

−

3x2

−

Вычисляем

определитель системы:

7 13 = 7 1 13 = 56.

= 1 2

7 2

−1 4

−1 0

−

1 5

−

−1

−

− −

теорему

Крамера.

Вычисление

Он отличен

от нуля

и можно

использовать

вспомогательных определителей дает следующий результат:

= −1

= 112,

112,

−1

−4

−

−11

−1

−11

−1

−

−1

−4

3 =

−1

−

56.

−3

−11

Следовательно,

x1 =

= −2, x2 =

= 2, x3 =

= 1.

Замечание 18.2. Если определитель

системы (3) равен нулю, а

хотя бы один из вспомогательных определителей

k отличен от нуля, то

из доказательства теоремы Крамера следует, что система уравнений (3) решений не имеет (такие системы называются несовместными). Если же

=k = 0 при всех k, то, как будет показано при исследовании произ-

вольных систем линейных уравнений, система может или не иметь решений, или иметь бесконечное множество решений (такие системы называются неопределенными). То, что могут реализоваться обе эти возможности,

показывают следующие две простые системы:
(0x1	+ 0x2	= 0	и	(0x1	+ 0x2	= 0.
0x1	+ 0x2	= 1		0x1	+ 0x2	= 0
Пример 18.2. Рассмотрим следующую систему уравнений с пара-
метром	(px1 − 3px2			= 2p + 3.
	(px1 − 3px2			= 2p + 3.
	x1	+ px2		= 1

Вычисляем определители системы:

== −p(p + 3),

p −3p


1	=	1	p	= −2p(p + 3),
1	=	2p + 3 −3p		= −2p(p + 3),

	2	=			1	1	= p + 3.
	2	=		p 2p + 3			= p + 3.

Если = 0, то есть p =			3		и p = 0,		то можно использовать теорему
6	6 −					6
Крамера:
		1						1
	x1 =	1		= 2, x2 =				2	= −		.
	x1 =			= 2, x2 =					= −	p	.
Если p = 0, то поскольку				2	в этой точке равен 3, система уравнений

решений не имеет – действительно, при p = 0 получаем явно несовместную

систему	(0		= 3.
	(0	1	= 3.
	x		= 1
При p = −3 система принимает вид:
(	3x1 + 9x2			= 3,
x1 − 3x2				= 1
−					−

состоящую из двух равносильных уравнений. Решениями этой системы будут все пары чисел (3x2 + 1, x2), где x2 – произвольное число.

Ответ. Если p 6= −3 и p 6= 0, то x1 = 2, x2 = −p1; если p = −3, то x1 = 3x2 + 1, где x2 – любое число; если p = 0, то решений нет.

Замечание 18.3. Системы линейных уравнений, у которых все правые части равны нулю, называются однородными. В связи с особой ролью, которую играют такие системы в линейной алгебре, рассмотрим их несколько подробнее.

Во-первых, любая однородная система всегда совместна – она заведомо имеет решение, состоящее из одних нулей (тривиальное решение). Во-вторых, если определитель одородной системы n линейных уравнений с n неизвестными равен нулю, то строки матрицы этой системы линейно зависимы, что, в свою очередь, означает равносильность рассматриваемой системы системе с меньшим числом уравнений, а такие (однородные!) системы всегда имеют бесконечно много решений.

Упражнение 18.2. Решите по правилу Крамера систему уравнений

3x1		− 4x2		+ 5x3	+ x4	= 0
	2x1	−	5x2	+ 3x3	− 4x4	= 8
4x1			6x2 + 3x3 + x4			= 1

		−				= 0.
5x1 − 9x2 + 4x3 − x4						= 0.

Упражнение 18.3. Решите и исследуйте систему уравнений

(

(a + 5)x1 + (2a + 3)x2 = 3a + 2 (3a + 10)x1 + (5a + 6)x2 = 2a + 4.

19. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Ниже описывается способ решения произвольных систем линейных уравнений, который носит название метода последовательного исключения неизвестных или метода Гаусса.

Теорема 19.1. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы линейных уравнений соответствуют преобразования этой системы уравнений в равносильную систему.

Упражнение 19.1. Докажите теорему 19.1.

Теорема 19.2. При помощи элементарных преобразований строк любую матрицу A размера m × n можно привести к следующему (упрощенному) виду: некоторые r столбцов совпадают с первыми r столбцами единичной матрицы порядка m. Если r < m, то последние m−r строк состоят из нулей.

Доказательство.

Если A – нулевая матрица, то она уже имеет упрощенный вид (r = 0). В противном случае найдем первый ненулевой столбец (a1j1, a2j1, ..., amj1)T, причем можно считать, что a1j1 6= 0 (если это не так, то сначала переставляем первую строку с той, в которой находится ненулевой элемент). Далее делим первую строку на a1j1 и с помощью полученной единицы элементарными преобразованиями строк обращаем в нуль все остальные элементы j1-го столбца. После этого наша матрица примет вид


A1 =	0 . . . 0 1	B1 ,
A1 =	0. . ..... . 0. . 0.	B1 ,

	0 . . . 0 0



где B1 – матрица размера m × (n − j1).

Если последние m − 1 строк матрицы A1 нулевые, то эта матрица имеет упрощенный вид и все преобразования завершены. Если же нет – пусть j2 – номер самого левого столбца, содержащего ненулевой элемент в какой-нибудь из последних m −1 строк. Соответствующую строку переставим так, чтобы она стала второй и разделим ее на этот элемент. Далее элементарными преобразованиями строк обращаем в нуль все остальные элементы j2-го столбца (при этом первые j1 столбцов матрицы A1 не изменятся) и получаем матрицу A2.

Подобные преобразования продолжают до тех пор, пока не окажется, что последние m − r строк очередной матрицы Ar состоят из нулей, или не будут исчерпаны все строки.

Следствие 19.1. Любая квадратная матрица с ненулевым определителем при помощи элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу.

Замечание 19.1. Пусть A – матрица размера m × n и ранга r. Для произвольного базисного минора его столбцы могут быть при помощи элементарных преобразований строк матрицы A превращены в столбцы единичной матрицы и, если r < m, то последние m−r строк будут нулевыми.

Это утверждение доказывается незначительной модификацией доказательства теоремы 19.2.

Замечание 19.2. Метод Гаусса можно использовать и для вычисления ранга матрицы – ясно, что ранг упрощенной матрицы из теоремы

19.2 или замечания 19.1 равен r. При нахождении ранга можно применять и элементарные преобразования столбцов, нередко это значительно упрощает вычисления.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы ее матрица приняла упрощенный вид. После этого уже не составляет труда решить вопрос о совместности системы, определить количество решений и их найти.

Пример 19.1. Решим систему

x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = −1

x1 + 4x2 + 3x3 − 2x4 = 2

x1 − 4x2 − x3 − 2x4 = 2

x1 + 8x2 + 5x3 − 2x4 = 2.

Вместо преобразований уравнений системы будем осуществлять элементарные преобразования строк расширенной матрицы, т. е. матрицы, полученной добавлением столбца свободных членов к матрице коэффициентов системы:

1 4			3		−2	2			0	3		1	1		3
	1	1	2		3		−1		1	1		2	−3	−1
	1	4		1	−2		2		0		5	3 1			3
		−	−		−		2	→	0	−		−	1		3	→
	1 8		5		2		2		0	7		3	1		3
					−

(вторую строку умножили на 2 и прибавили к ней третью, „заработав“ таким образом 1 во второй строке, не прибегая к дробным числам)

	0		1	1 3		9			0	1	1 3			9
		1	1	2	−3		−1		1	1	2	−3		−1
		0	5	−3 1			3		0	0	−8 16			48
→		0	−	−	1		3	→	0	0	−		20	60	→
		0	7	3	1		3		0	0	10	−	20	60
												−		−

	0		1	−1 3		9		0	1	−1 3		9		.
		1	1	2	−3	−1		1	1	2	−3	−1
		0	0	1	2	6		0	0	1	2		6
→		0	0	1	−2		→	0	0	0	−	−
		0	0	1	−2	−6		0	0	0	0	0
					−	−

Таким образом, рассматриваемая система равносильна следующей:

x2		x3	+ 3x4		= 9
x1 + x2 + 2x3			− 3x4		=	−1
	−	x3		2x4	=	6
		x3	−	2x4	=	6
			−			−

(уравнение 0 = 0 отбросили).

Чтобы удовлетворить последнему уравнению, можно для x4 выбрать произвольное значение x4 = α, тогда значение для x3 определится однозначно: x3 = 2α − 6. Из второго уравнения получаем: x2 = x3 − 3x4 + 9 = −α + 3. И наконец, первое уравнение дает нам значение x1 = −x2 − 2x3 + 3x4 − 1 = 8.

Формулы x1 = 8, x2 = −α+3, x3 = 2α−6, x4 = α при произвольном α дают все решения заданной системы.

Упражнение 19.2. Решите методом Гаусса системы уравнений:

2x1 + 3x2−+ x3

2x4

= 5

а)

x1 + 2x2

4x3

+ x4

= 2

−

5x1 + 9x2

11x3 + x4 = 11

−

3x1 + 5x2 − 3x3 − x4 = 7,

3x1

2x1

+ x2

+ 2x3 + 4x4

= 1

+ x2− 2x3

= 1

2x1

+ 3x2 + 4x3

+ 5x4

= −2

x1 + x2

3x3

= 1

б)

в)

−

= 3

4x1 + 6x2 + 3x3 + 7x4 = 1

x1 + x2 + x3

5x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 4,

x1 + 2x2 − 3x3 = 1.

20. Условие совместности

Рассмотрим произвольную систему m линейных уравнений с n неизвестными

	a21x1	+ a22x2	+ . . . + a2nxn	=	b2
(9)	a11x1	+ a12x2	+ . . . + a1nxn	=	b1
(9)	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm.

Обозначим через A и A матрицу и, соответственно, расширенную матрицу

системы (9):

a21

b2 .

A = a21

a22

. . . a2n ,

A =

a22

. . . a2n

a11

a12

. . . a1n

a11

a12

. . . a1n

. . . . . . . . . . . . .

. .

am1 am2

. . . amn

am1 am2 . . . amn

Теорема 20.1. (Теорема Кронекера–Капелли) Система (9)

имеет ре-

шение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расши-

ренной матрицы A.

Доказательство.

Перепишем систему уравнений (9) в «векторном» виде:

(10)

x1a1 + x2a2 + . . . + xnan = b,

где a1, a2,. . . , an, b – столбцы матрицы Ab. Если система (9) имеет хотя бы одно решение xo1, xo2, . . . , xon, то запись (10) означает, что столбец b свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы A с коэффициентами xo1, xo2, . . . , xon. Следовательно, количество линейно неза-

висимых столбцов в расширенной матрице Abне увеличилось по сравнению с матрицей A и их ранги совпадают.

Предположим теперь что ранги матриц A и Ab совпадают. В этом случае базисный минор матрицы A является базисным и для матрицы Ab, а это в силу теоремы 16.1 означает, что столбец b свободных членов является линейной комбинацией тех столбцов матрицы A, в которых расположен базисный минор. Добавив, если необходимо, остальные столбцы матрицы A с нулевыми коэффициентами, получим представление столбца b в виде линейной комбинации всех столбцов матрицы A. Полученные коэффициенты линейной комбинации и образуют решение системы (9).

21. Однородные системы линейных уравнений

Прежде, чем описать все решения системы (9), рассмотрим подробнее решения однородной системы линейных уравнений

	a21x1	+ a22x2	+ . . . + a2nxn	=	0
(11)	a11x1	+ a12x2	+ . . . + a1nxn	=	0
(11)	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0.

Все решения систем линейных уравнений будем далее записывать в виде векторов-столбцов высоты n.

Лемма 21.1. Если xo и zo – решения однородной системы (11), то любая их линейная комбинация αxo + βzo также является решением этой системы.

Следствие 21.1. Нулевой вектор 0 всегда является решением однородной системы.

Упражнение 21.1. Докажите лемму 21.1. При доказательстве удобно записывать систему уравнений в виде (10).

Лемма 21.2. Если ранг матрицы A однородной системы линейных уравнений равен r, то система имеет n −r линейно независимых решений.

Доказательство.

Для большей наглядности будем считать, что базисный минор расположен в первых r столбцах матрицы A (общий случай доказывается аналогично). После приведения матрицы A к упрощенному виду получим:

0 1 . . . 0	b2,r+1	. . . b2n
1 0 . . . 0	b1,r+1	. . . b1n
0. . 0. . ..... . 1.	.b. . . . .... .. .b. . .
0 0 . . . 0	0	. . . 0

	r,r+1	rn
. . . . . . . .	. . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0	0	. . . 0

Решение системы в таком случае имеет вид:

				n
				i=n
		= −		P
	x1	= −		r+1
	x2	=
			−
			−


	. . . . . . P. .

(12)		=		i=r+1
	xr	=	−	n
			−


				P
				P

b1ixi

b2ixi

. . .

brixi.

i=r+1

Здесь x1, x2,. . . ,xr – базисные неизвестные, а все остальные свободные. Если свободные переменные выбрать так: xr+1 = 1, xr+2 = 0,

xr+3 = 0,. . . , xn = 0, – то по формулам (12) получается решение −b1,r+1, −b2,r+1, . . . , −bn,r+1, 1, 0, . . . , 0. Затем придадим свободным переменным значения: xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+3 = 0,. . . , xn = 0, – получим решение −b1,r+2, −b2,r+2, . . . , −bn,r+2, 0, 1, . . . , 0 и т. д. Запишем все полученные

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2016305.66 Кб30MATER_2.doc
#
22.03.20161.06 Mб224MATER_3.doc
#
18.11.2019295.42 Кб0MATLAB-1.doc
#
19.11.2019203.78 Кб0MATLAB-2.doc
#
09.02.20153.49 Mб22MATLAB-3.doc
#
09.02.2015344.3 Кб10Matrices.pdf
#
22.03.20162.18 Mб14MatrixCUDAFranDissertation.pdf
#
21.09.2019139.22 Кб2matved.docx
#
24.04.201933.9 Mб2maximum.docx
#
09.02.2015360.31 Кб63MA_1_пособие.pdf
#
09.02.201534.57 Mб8MA_Kudriav1.pdf