Matrices

разностей вида (xi − xj), где i > j:

14. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы

Рассмотрим еще раз формулу 12.1 для вычисления определителя матрицы

с помощью разложения по элементам i-й строки. Из этой формулы следует, что определитель является линейной функцией от элементов i-й строки матрицы, причем коэффициентами этой линейной зависимости служат алгебраические дополнения соответствующих элементов. Это означает, что если мы в сумме

n

X

det A = aijAij

j=1

заменим aij на bj, где bj – набор произвольных чисел, то получим определитель матрицы, которая отличается от A только i-й строкой: эта строка

вней заменена на строку b1 b2 . . . bn :

В частности, это означает, что если мы в качестве чисел bj подставим элементы какой-то другой, например k-й, строки той же самой матрицы A, то получим определитель матрицы, у которой совпадают i-я и k-я строки (они обе равны k-й строке матрицы A). Таким образом, сум-

n

P

ма det A = akjAij при k 6= i равна 0, а если k = i, эта сумма равна

j=1

определителю матрицы A.

38

Определение 14.1. Матрица Ae, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы A, причем в i-м столбце Ae стоят алгебраические дополнения элементов i-й строки матрицы A, называется взаимной или присоединенной матрицей для A.

Теорема 14.1. Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Обратная матрица получается из взаимной делением каждого ее элемента на определитель матрицы A:

A−1 = det1 AAe.

Доказательство.

Пусть матрица A обратима, и A−1 – матрица, обратная к A тогда, AA−1 = I, и из леммы 10.3 следует, что det A det A−1 = det I = 1, но это возможно, только если определитель матрицы A не равен 0.

Предположим, что определитель матрицы A не равен 0. Рассмотрим произведение AAe. Как следует из определения произведения матриц, элемент этого произведения, стоящий в k-й строке и i-м столбце, получается в результате умножения k-й строки матрицы A на i-й столбец матрицы Ae, то есть на столбец, состоящий из алгебраических дополнений i-й строки

мы только что выяснили, эта сумма равна 0, если k 6= i, и равна определителю матрицы A, если k = i.

Итак, мы доказали, что в произведении AAe все элементы главной диагонали равны det A (у этих элементов k = i), а все остальные элементы равны 0 (у них k 6= i).

Аналогично проверяется, что точно так же выглядит и произведение AAe . Для завершения доказательства теоремы остается заметить, что det A 6= 0, и после деления произведений AAe и AAe на det A мы получаем единичную матрицу.

Пример 14.1. Пусть

вычислим матрицу A−1, используя полученные формулы.

39

Если определитель матрицы A не равен 0, то ее строки линейно независимы. Аналогичное утверждение верно и для столбцов матрицы.

Доказательство.

Докажем сначала первое утверждение. Как следует из теоремы 14.1, если определитель матрицы A равен 0, то она не имеет обратной. Если при этом матрица A содержит нулевую строку, то утверждение очевидно (например, эта строка равна сумме остальных, взятых с нулевыми коэффициентами). Предположим, что в матрице A все строки отличны от 0. Приведем ее к стандартному виду с помощью элементарных преобразований строк. Поскольку матрица A не имеет обратной, в результате этих преобразований должна получиться матрица с нулевой строкой (мы доказали, что в противном случае матрица A обратима, и обратную матрицу можно найти с помощью цепочки элементарных преобразований над строками).

Для завершения доказательства заметим, что каждая строка преобразованной матрицы (в том числе и нулевая) является линейной комбинацией строк исходной матрицы. При этом не все коэффициенты нулевой линейной комбинации равны 0 (иначе окажется, что нулевая строка была в исходной матрице A). Если A1, A2, . . . , An – строки матрицы A, такие что α1A1 + α2A2 + · · · + αnAn = 0 и αi 6= 0, то можно поделить последнее равенство на αi и выразить строку с номером i как линейную комбинацию остальных строк. Из леммы 10.4 сразу же следует, что аналогичное утверждение справедливо и для столбцов матрицы A.

Предположим, что определитель матрицы A не равен 0, но одна из его строк, например, Ai является линейной комбинацией остальных:

Тогда, вычитая из i-й строки остальные с коэффициентами αj, мы получим матрицу с нулевой строкой и, следовательно, нулевым определителем. Но выполненные преобразования не должны менять определителя. Полученное противоречие доказывает, что строки матрицы с ненулевым определителем линейно независимы.

Упражнение 14.1. Найдите обратные матрицы с помощью присоединенной матрицы:

41

Упражнение 14.2. Решите матричные уравнения: а) AX = C, б) XB = C, в) AXB = C, где:

Упражнение 14.3. Решите матричные уравнения: а) AX = C, б) XB = C, в) AXB = C, где:

15. Ранг матрицы и элементарные преобразования

Пусть A – матрица размера m × n. Если в этой матрице выбрать k строк и k столбцов (k 6 m, k 6 n), то из элементов, лежащих на пересечении выбранных строк и столбцов, можно образовать определитель. Он называется минором k-го порядка матрицы A.

Пример 15.1. Матрица

содержит 6 миноров порядка 1, совпадающих с элементами матрицы, и 3 минора порядка 2:

Упражнение 15.1. Найдите количество миноров k-го порядка матрицы размера m × n.

Лемма 15.1. Если в матрице A все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высокого порядка (если таковые существуют).

Доказательство.

Возьмем произвольный минор порядка k + 1 и разложим его, например, по первой строке. Миноры всех элементов этой строки являются минорами порядка k матрицы A и, в силу этого, равны 0. Таким образом, любой минор (k + 1)-го порядка равен нулю, по индукции равны нулю и миноры более высоких порядков, если только размеры матрицы A позволяют их построить.

42

Определение 15.1. Рангом матрицы A называется такое целое число r, что среди миноров r-го порядка матрицы A имеется хоть один, не равный нулю, а все миноры (r + 1)-го порядка (если только их можно составить) сплошь равны нулю. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Определение 15.2. В матрице ранга r любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным.

Замечание 15.1. Минор стандартной матрицы, составленный из всех ее ненулевых строк и столбцов, содержащих ведущие элементы, является базисным. Следовательно, ранг стандартной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что выбранные таким способом элементы образуют треугольную матрицу с ненулевой диагональю, а как следует из замечания 10.3, ее определитель равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали и, следовательно, не может равняться 0. Поскольку в выбранном миноре участвуют все ненулевые строки, то ненулевых миноров большего порядка у этой матрицы нет.

Пример 15.2. Например, стандартная матрица A

имеет 3 ненулевые строки. Ведущий элемент ее первой строки стоит в первом столбце, ведущий элемент второй строки – во втором столбце и ведущий элемент третьей строки стоит в четвертом столбце. Если мы выберем элементы этой матрицы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, то получим верхнюю треугольную матрицу

определитель которой равен произведению ведущих элементов всех строк матрицы A.

Из свойства 10.4 определителей немедленно вытекает следующее утверждение.

Лемма 15.2. Ранги матриц A и AT совпадают.

43

Теорема 15.1. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Доказательство.

В силу леммы 15.2 достаточно рассмотреть элементарные преобразования строк.

1)При умножении строки на число, отличное от нуля, любой базисный минор или не меняется, или умножается на это число, а все миноры, равные нулю, не изменят свои значения.

2)При сложении строк матрицы ранга r все миноры (r+1)-го порядка остаются равными нулю. Действительно, если к одной строке, входящей в минор, прибавили другую строку, входящую в этот же минор, то по свойству 4 определителя, значение этого минора не изменится, и он останется равным 0.

Если же к строке, входящей в минор, прибавили строку, не входящую

вэтот минор, то, как следует из пункта 3 определения определителя, он равен сумме двух миноров (r + 1)-го порядка исходной матрицы, и опятьтаки равен 0. Таким образом, при таком элементарном преобразовании ранг матрицы не может повыситься.

Заметим теперь, что и понизиться он также не может. Предположим, что в результате прибавления к одной строк матрицы A ранга r другой ее строки мы получили матрицу B меньшего ранга. Заметим, что выполненные преобразования обратимы, и матрица A получается из матрицы B в результате двух элементарных преобразований: умножения одной из строк на −1 и прибавления этой строки к другой строке . А как мы только что доказали, ранг матрицы B при таком преобразовании не может увеличиться, следовательно, ранг B не может быть меньше ранга A.

3)При перестановке строк любой минор может отличаться от минора исходной матрицы только знаком. Понятно, что порядок базисного минора при этом не меняется.

16. Теорема о ранге матрицы

Теорема 16.1. В произвольной матрице любая строка является линейной комбинацией строк, в которых расположен базисный минор.

Доказательство.

Для строк базисного минора утверждение очевидно (каждая базисная строка – это линейная комбинация всех базисных строк, у которой один коэффициент равен 1, а остальные коэффициенты равны 0).

44

Также очевидно это утверждение для нулевых строк (каждая такая строка равна линейной комбинации базисных с нулевыми коэффициентами).

Добавим к строкам, образующим базисный минор матрицы A, еще одну, ненулевую, строку этой матрицы, и приведем матрицу B, состоящую из r + 1 выбранной строки, к стандартному виду C с помощью элементарных преобразований над строками. В матрице C должна быть нулевая строка, в противном случае, как следует из замечания 15.1, ранг этой матрицы будет равен r + 1, что невозможно, поскольку элементарные преобразования не могут изменить ранг матрицы B. Каждая строка матрицы C (в том числе и нулевая) является линейной комбинацией строк исходной матрицы A, следовательно, мы получили линейную комбинацию данных r + 1 строк, равную 0. Поскольку матрица B не имела нулевых строк, не все коэффициенты полученной линейной комбинации равны 0. Итак, если A1, A2, . . . , Ar, Ar+1 – строки матрицы B, то

α1A1 + α2A2 + . . .+ αrAr + αr+1Ar+1 = 0 и среди чисел α1, α2, . . . , αr, αr+1

есть отличные от 0. Поскольку первые r строк линейно независимы, их линейная комбинация может быть нулевой только в том случае, когда все коэффициенты равны 0, следовательно, в рассматриваемой линейной комбинации обязательно отличен от 0 коэффициент αr+1. Но это означает, что добавленная к базисным строкам матрицы A строка с номером r + 1, является линейной комбинацией базисных.

Следствие 16.1. В произвольной матрице любой столбец является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор.

Упражнение 16.1. Докажите следствие 16.1.

Теорема 16.2. Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Доказательство.

Если ранг матрицы A равен нулю, то A – нулевая матрица и линейно независимых столбцов нет вообще. Пусть теперь ранг A равен r > 0. Если бы столбцы, в которых расположен базисный минор, оказались линейно зависимыми, то этот минор должен был бы равняться нулю. Следовательно, в A существует r линейно независимых столбцов. Рассмотрим далее любую подматрицу матрицы A, образованную r + 1 столбцами. Ее ранг не больше ранга всей матрицы A, т. е. r. Из теоремы 16.1 следует, что эти столбцы линейно зависимы. А поскольку линейно зависимы любые r + 1 столбцов, то всегда линейно зависимы s столбцов, если только s > r + 1.

45

Следствие 16.2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Часть III. Системы линейных уравнений

17. Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm.

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n.

Числа aij (вещественные или комплексные) называются коэффициентами системы, bj – свободными членами, x1, x2, . . . , xn – неизвестными.

Определение 17.1. Совокупность n чисел h1, h2, . . . , hn называется решением системы (1), если после замены неизвестных x1, x2, . . . , xn соответственно числами h1, h2, . . . , hn все уравнения системы превращаются в верные равенства.

Пример 17.1.

2x − y = 5 x − y = 3.

Легко видеть, что данная система уравнений имеет единственное решение x = 2, y = −1. На координатной плоскости (x, y) уравнения этой системы задают две прямые y = 2x−5 и y = x−3, пересекающиеся в точке (2, −1).

Пример 17.2.

x − y = 1 2x − 2y = 3.

Эта система решений не имеет. Две соответствующие прямые y = x − 1 и y = x − 1, 5 параллельны.

Определение 17.2. Система уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением называется совместной.

Система примера 17.2 несовместна.

46

Пример 17.3.

x − y = 1 2x − 2y = 23x − 3y = 3.

Данная система уравнений имеет бесконечно много решений. При любом значении α каждая пара чисел (α, α − 1) удовлетворяет этой системе уравнений. На плоскости все три уравнения задают одну и ту же прямую y = x − 1.

Определение 17.3. Система уравнений, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной.

Последняя система – пример неопределенной системы линейных уравнений.

Определение 17.4. Система линейных уравнений, у которой все правые части равны нулю, называется однородной.

Упражнение 17.1. Докажите, что однородная система уравнений всегда совместна.

Определение 17.5. Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными, называются равносильными или эквивалентными, если множество всех решений первой системы и множество всех решений второй системы одинаковы.

Замечание 17.1. Несовместные системы всегда равносильны, так как множество их решений пусто: системы не имеют решений.

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения. Рассмотрим систему уравнений (1) и обозначим через A матрицу коэффициентов этой системы: A = (aij) (обычно A называют просто матрицей системы). Обозначим столбец из неизвестных (x1, x2, . . . , xn)T через X и столбец из свободных членов (b1, b2, . . . , bm)T – через B. При таких обозначениях система (1) примет следующую сжатую матричную форму:

(2)

x2 − x3 − x4 = 5 3x1 + 4x2 + x3 − 2x4 = 2,

47