metodich

fEDERALXNOE AGENTSTWO PO OBRAZOWANI@

sANKT-pETERBURGSKIJ GOSUDARSTWENNYJ \LEKTROTEHNI^ESKIJ UNIWERSITET \l|ti"

metody re{eniq zada~ po algebre i geometrii

mETODI^ESKIE UKAZANIQ

sANKT-pETERBURG iZDATELXSTWO spBg|tu \l|ti" 2007

fEDERALXNOE AGENTSTWO PO OBRAZOWANI@

sANKT-pETERBURGSKIJ GOSUDARSTWENNYJ \LEKTROTEHNI^ESKIJ UNIWERSITET \l|ti"

metody re{eniq zada~ po algebre i geometrii

sANKT-pETERBURG

2007

udk 512

mETODY RE[ENIQ ZADA^ PO ALGEBRE I GEOMETRII: mETODI^ESKIE UKAZANIQ / sOST.: `. w. kRA[ENINNIKOWA, a. w. sTEPANOW. spB.: iZD-WO spBg|tu \l|ti", 2007. 44 S.

sODERVAT OPREDELENIQ, FORMULIROWKI OSNOWNYH TEOREM I PRIMERY RE[ENIQ TIPOWYH ZADA^ PO TEMAM: \lINEJNYE PROSTRANSTWA", \eWKLIDOWY PROSTRANSTWA", \lINEJNYE OPERATORY", \sOBSTWENNYE ^ISLA I WEKTORA", \vORDANOWA FORMA" I \kWADRATI^NYE FORMY", KOTORYE SOSTAWLQ@T OSNOWU II SEMESTRA KURSA \aLGEBRA I GEOMETRIQ".

pREDNAZNA^ENY STUDENTAM I I II KURSOW fkti. bOLX[AQ ^ASTX TEKSTA MOVET BYTX POLEZNA I STUDENTAM DRUGIH FAKULXTETOW.

uTWERVDENO REDAKCIONNO-IZDATELXSKIM SOWETOM UNIWERSITETA

W KA^ESTWE METODI^ESKIH UKAZANIJ

c spBg|tu \l|ti", 2007

predislowie

w METODI^ESKIH UKAZANIQH RASSMOTRENY BAZOWYE PONQTIQ TEORII KONE^NOMERNYH LINEJNYH PROSTRANSTW I OPERATOROW W \TIH PROSTRANSTWAH. nA[A OSNOWNAQ CELX { SFORMULIROWATX I PROILL@STRIROWATX NA PRIMERAH ALGORITMY RE[ENIQ ZADA^, TRADICIONNO PREDLAGAEMYH STUDENTAM fkti WO WTOROM SEMESTRE KURSA \aLGEBRA I GEOMETRIQ". kROME TOGO, AWTORY STREMILISX KAK MOVNO BOLEE TESNO SWQZATX TEORI@ I PRAKTIKU. pO\TOMU PERWAQ ^ASTX METODI^ESKIH UKAZANIJ SODERVIT OSNOWNYE OPREDELENIQ I FORMULIROWKI OSNOWNYH TEOREM KURSA, A PRI RE[ENII ZADA^ DA@TSQ SSYLKI NA SOOTWETSTWU@]IE UTWERVDENIQ PERWOJ ^ASTI. iZ SOOBRAVENIJ POLNOTY, W PERWOJ ^ASTI METODI^ESKIH UKAZANIJ PRIWODQTSQ NE TOLXKO TE FORMULIROWKI, KOTORYE NEOBHODIMY DLQ RE[ENIQ ZADA^. tAKIM OBRAZOM, PERWAQ ^ASTX MOVET BYTX ISPOLXZOWANA DLQ POWTORENIQ OSNOWNYH FORMULIROWOK KURSA PERED \KZAMENOM.

pERE^ISLIM OSNOWNYE PONQTIQ, KOTORYE OBSUVDA@TSQ W METODI^ESKIH UKAZANIQH.

1.lINEJNYE PROSTRANSTWA: LINEJNAQ NEZAWISIMOSTX, SISTEMA OBRAZU- @]IH, BAZIS I RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA, SUMMA I PERESE^ENIE PODPROSTRANSTW.

2.eWKLIDOWY PROSTRANSTWA: PONQTIE ABSTRAKTNOGO (POLOVITELXNO OPREDELENNOGO) SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ, PROEKCIQ WEKTORA NA WEKTOR, PROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA{{MIDTA, RE[ENIE PEREOPREDELENNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ (ALGEBRAI^ESKAQ WERSIQ METODA NAIMENX[IH KWADRATOW).

3.lINEJNYE OPERATORY: QDRO, OBRAZ, MATRICA OPERATORA.

4.sOBSTWENNYE ^ISLA I SOBSTWENNYE WEKTORA OPERATORA.

5.vORDANOWA FORMA.

6.kWADRATI^NYE FORMY, URAWNENIQ KRIWYH I POWERHNOSTEJ WTOROGO PORQDKA, PRIWEDENIE KWADRATI^NOJ FORMY K KANONI^ESKOMU WIDU.

nAHOVDENI@ VORDANOWOJ FORMY MATRICY OTWEDENO DOWOLXNO MNOGO MESTA, NEPROPORCIONALXNO MNOGO PO SRAWNENI@ SO ZNA^IMOSTX@ \TOJ TEMY. |TO OBUSLOWLENO DWUMQ PRI^INAMI: WO-PERWYH, \TA ZADA^A E]E RAZ ILL@STRIRUET WAVNU@ FORMULU POSTROENIQ MATRICY OPERATORA W DANNOM BAZISE; A WO-WTORYH, PRI WYBORE ALGORITMA NAHOVDENIQ VORDANOWOJ FORMY AWTORY PYTALISX MINIMIZIROWATX WY^ISLITELXNU@ SLOVNOSTX \TOGO ALGORITMA, ZA S^ET ^EGO NEMNOGO USLOVNILASX EGO LOGIKA.

pREDPOLAGAETSQ, ^TO STUDENTY UVE OSWOILI OSNOWY MATRI^NOJ ALGEBRY: UMNOVENIE MATRIC, METOD gAUSSA, WY^ISLENIE OPREDELITELQ I RANGA

3

MATRICY. w BOLX[INSTWE RE[ENIJ ZADA^ MATRI^NYE WY^ISLENIQ OPU]E- NY. kROME TOGO, PROPU]ENY NEBOLX[IE FRAGMENTY RE[ENIJ, ESLI ANALOGI^NYJ FRAGMENT UVE BYL RASSMOTREN W ODNOJ IZ PREDYDU]IH ZADA^. eSTESTWENNO, W SOOTWETSTWU@]EM MESTE DAETSQ NEOBHODIMAQ SSYLKA.

w TEKSTE ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ I SOGLA[ENIQ:

{R { POLE WE]ESTWENNYH ^ISEL.

{V { LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD R.

{Rn { LINEJNOE PROSTRANSTWO STOLBCOW WYSOTY n NAD R.

{dOPUSKAQ WOLXNOSTX RE^I, \LEMENTY LINEJNOGO PROSTRANSTWA OBY^NO NAZYWA@T WEKTORAMI.

{pO UMOL^ANI@, GRE^ESKIE BUKWY OBOZNA^A@T ^ISLA, STRO^NYE LATINSKIE { \LEMENTY LINEJNOGO PROSTRANSTWA I STOLBCY, A PROPISNYE LATINSKIE { MNOVESTWA (NAPRIMER LINEJNYE PROSTRANSTWA), LINEJNYE OPERATORY I MATRICY.

{iZ ^ISTO \STETI^ESKIH SOOBRAVENIJ DLQ OBOZNA^ENIQ STOLBCA ^ASTO PI[ETSQ STROKA SO ZNAKOM TRANSPONIROWANIQ, NAPRIMER,

(a1; : : : ; an)T.

{eDINI^NAQ MATRICA OBOZNA^AETSQ BUKWOJ E, A TOVESTWENNYJ OPE-

RATOR { BUKWOJ I (T. E. I { \TO OPERATOR, ZADANNYJ FORMULOJ I(x) = x). o^EWIDNO, ^TO MATRICA OPERATORA I W L@BOM BAZISE RAWNA E, ODNAKO PRI PERWOM ZNAKOMSTWE S PREDMETOM SLEDUET RAZLI^ATX OPERATOR I EGO MATRICU.

{pUSTX D { MATRICA RAZMERA n n, A MD OBOZNA^AET OPERATOR UMNOVENIQ NA \TU MATRICU, T. E. OPERATOR IZ Rn W Rn (ILI IZ Cn W Cn),

ZADANNYJ FORMULOJ MD(x) = Dx. w NEKOTORYH ZADA^AH, DOPUSKAQ WOLXNOSTX ZAPISI, BUDEM OBOZNA^ATX \TOT OPERATOR TOJ VE BUKWOJ, ^TO I MATRICU, DLQ TOGO ^TOBY IZBEVATX GROMOZDKOGO OBOZNA^ENIQ

(MD)u. tAKIM OBRAZOM, MATRICA OPERATORA MD W BAZISE u BUDET

OBOZNA^ATXSQ ^EREZ Du. w ^ASTNOSTI, ESLI e { STANDARTNYJ BAZIS Rn, TO DLQ L@BOJ MATRICY D IMEEM D = De.

4

~ASTX I. oPREDELENIQ I FORMULIROWKI TEOREM

1.lINEJNYE PROSTRANSTWA

1.1.oPREDELENIE LINEJNOGO PROSTRANSTWA. mNOVESTWO V NAZYWA-

ETSQ LINEJNYM PROSTRANSTWOM NAD POLEM R, A EGO \LEMENTY WEKTORAMI, ESLI:

{ZADANA OPERACIQ SLOVENIQ, KOTORAQ L@BYM DWUM \LEMENTAM x I y IZ V SOPOSTAWLQET \LEMENT x + y IZ V , NAZYWAEMYJ IH SUMMOJ;

{ZADANA OPERACIQ UMNOVENIQ NA ^ISLO, KOTORAQ \LEMENTU x 2 V I ^ISLU 2 R SOPOSTAWLQET \LEMENT x 2 V , NAZYWAEMYJ PROIZWEDENIEM x NA ;

{DLQ L@BYH \LEMENTOW x; y; z 2 V I L@BYH ^ISEL I WYPOLNENY SLEDU@]IE SWOJSTWA:

1.(x + y) + z = x + (y + z);

2.SU]ESTWUET \LEMENT 0 2 V TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO x 2 V WYPOLNENO x + 0 = x;

3.DLQ L@BOGO x 2 V SU]ESTWUET \LEMENT x 2 V TAKOJ, ^TO x + ( x) = 0;

4.x + y = y + x;

5.( )x = ( )x;

6.(x + y) = x + y;

7.( + )x = x + x;

8.1x = x.

1.2.oPREDELENIE PODPROSTRANSTWA. pODMNOVESTWO U NAZYWAETSQ PODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA V , ESLI ONO SAMO QWLQETSQ LINEJNYM PROSTRANSTWOM OTNOSITELXNO OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA ^ISLO, ZADANNYH W V .

1.3.kRITERIJ PODPROSTRANSTWA. pODMNOVESTWO U QWLQETSQ PODPROSTRANSTWOM V , ESLI DLQ L@BYH a; b 2 U I 2 F WYPOLNQETSQ:

1.a + b 2 U;

2.a 2 U.

oBOZNA^ENIE: U 6 V (W OTLI^IE OT OBOZNA^ENIQ U V DLQ PODMNOVESTWA).

1.4. lINEJNAQ NEZAWISIMOSTX. nABOR \LEMENTOW a(1); : : : ; a(n) PRO-

STRANSTWA V NAZYWAETSQ LINEJNO NEZAWISIMYM ESLI URAWNENIE

1a(1) + + na(n) = 0

IMEET TOLXKO NULEWOE RE[ENIE.

5

1.5. lINEJNAQ OBOLO^KA. lINEJNOJ OBOLO^KOJ \LEMENTOW a(1); : : : ; a(n) PROSTRANSTWA V NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH LINEJNYH KOMBINACIJ \TIH \LEMENTOW, T. E. MNOVESTWO \LEMENTOW WIDA 1a(1) + + na(n), GDE i 2 F .

|KWIWALENTNOE OPREDELENIE: LINEJNAQ OBOLO^KA { \TO NAIMENX[EE LI-

NEJNOE PODPROSTRANSTWO W V , SODERVA]EE \LEMENTY a(1); : : : ; a(n).

lINEJNAQ OBOLO^KA OBOZNA^AETSQ ^EREZ ha(1); : : : ; a(n)i.

1.6. sISTEMA OBRAZU@]IH. nABOR \LEMENTOW a(1); : : : ; a(n) NAZYWAETSQ SISTEMOJ OBRAZU@]IH PROSTRANSTWA V , ESLI L@BOJ WEKTOR IZ V PREDSTAWLQETSQ KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH \LEMENTOW.

|KWIWALENTNOE OPREDELENIE: ha(1); : : : ; a(n)i = V .

1.7. bAZIS. uPORQDO^ENNYJ NABOR (e(1); : : : ; e(n)) NAZYWAETSQ BAZISOM PROSTRANSTWA V , ESLI NABOR e(1); : : : ; e(n) QWLQETSQ LINEJNO NEZAWISIMYM I SISTEMOJ OBRAZU@]IH.

|KWIWALENTNOE OPREDELENIE: DLQ L@BOGO x 2 V SU]ESTWU@T EDINSTWENNYE 1; : : : ; n 2 F TAKIE, ^TO x = 1e(1) + + ne(n).

1.8. kOORDINATY WEKTORA. pUSTX e = (e(1); : : : ; e(n)) { BAZIS PROSTRANSTWA V , A x = 1e(1) + : : : ne(n) 2 V . tOGDA STOLBEC ( 1; : : : ; n)T NAZYWAETSQ STOLBCOM KOORDINAT x W BAZISE e I OBOZNA^AETSQ ^EREZ xe.

1.9. kOLI^ESTWO WEKTOROW W BAZISE.

tEOREMA. l@BOJ BAZIS KONE^NOMERNOGO PROSTRANSTWA SOSTOIT IZ ODNOGO I TOGO VE KOLI^ESTWA \LEMENTOW.

1.10.rAZMERNOSTX LINEJNOGO PROSTRANSTWA. lINEJNOE PROSTRAN-

STWO V NAZYWAETSQ n-MERNYM, ESLI W NEM SU]ESTWUET BAZIS IZ n WEKTOROW. pRI \TOM ^ISLO n NAZYWAETSQ RAZMERNOSTX@ PROSTRANSTWA V .

1.11.rAZMERNOSTX LINEJNOJ OBOLO^KI STOLBCOW (STROK) MATRICY RAWNA RANGU MATRICY.

1.12.tEOREMA OB IZOMORFIZME KONE^NOMERNYH PROSTRANSTW. l@-

BOE KONE^NOMERNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO IZOMORFNO PROSTRANSTWU Rn DLQ NEKOTOROGO n (OPREDELENIE IZOMORFIZMA SM. W 3.2).

sLEDSTWIE. wSE LINEJNYE PROSTRANSTWA ODNOJ I TOJ VE RAZMERNOSTI IZOMORFNY MEVDU SOBOJ.

1.13.CUMMA PODPROSTRANSTW. sUMMOJ U + W PODPROSTRANSTW U I W

NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX WSEWOZMOVNYH WEKTOROW WIDA v = u + w, GDE u 2 U, w 2 W . sUMMA PODPROSTRANSTW ESTX PODPROSTRANSTWO.

6

1.14.pERESE^ENIE PODPROSTRANSTW QWLQETSQ PODPROSTRANSTWOM.

1.15.pRQMAQ SUMMA PODPROSTRANSTW. pROSTRANSTWO V NAZYWAETSQ PRQMOJ SUMMOJ PODPROSTRANSTW U I W , ESLI KAVDYJ \LEMENT v 2 V MOVET BYTX EDINSTWENNYM SPOSOBOM PREDSTAWLEN W WIDE SUMMY v = u + w, GDE u 2 U, A w 2 W . oBOZNA^ENIE: V = U W . |KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA: V = U W , ESLI V = U + W I U \ V = ?. eSLI V = U W , TO OB_EDINENIE BAZISOW PODPROSTRANSTW U I W ESTX BAZIS PROSTRANSTWA V .

1.16.tEOREMA O RAZMERNOSTI SUMMY I PERESE^ENIQ LINEJNYH PODPROSTRANSTW (FORMULA gRASSMANA). eSLI U I V { PODPROSTRANSTWA LINEJNOGO PROSTRANSTWA W , TO

dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U \ V ):

1.17. sTOLBCY MATRICY PEREHODA OT ODNOGO BAZISA K DRUGOMU. k-J STOLBEC MATRICY Cf!g RAWEN STOLBCU KOORDINAT WEKTORA gk W BAZISE f.

oDNOJ FORMULOJ: Cf!g k = (gk)f .

1.18. pREOBRAZOWANIE KOORDINAT PRI ZAMENE BAZISA.

xf = Cf!gxg:

w KA^ESTWE OPREDELENIQ MATRICY PEREHODA MOVNO WZQTX L@BU@ IZ FOR-

MUL 1.17 ILI 1.18.

2.pROSTRANSTWA SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM

2.1.sKALQRNOE PROIZWEDENIE. sKALQRNYM PROIZWEDENIEM W WE]E- STWENNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE V NAZYWAETSQ (L@BAQ) FUNKCIQ , SOPOSTAWLQ@]AQ PARE WEKTOROW ^ISLO I UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IM USLOWIQM. dLQ L@BYH a; b; c 2 V I ; 2 R:

1.LINEJNOSTX: ( a + b; c) = (a; c) + (b; c);

2.SIMMETRI^NOSTX: (a; b) = (b; a);

3.POLOVITELXNAQ OPREDELENNOSTX: (a; a) > 0, PRI a 6= 0.

wE]ESTWENNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM NAZYWAETSQ EWKLIDOWYM PROSTRANSTWOM. nORMOJ \LEMENTA a 2 V NAZYWA-

p

ETSQ ^ISLO (a; a). oNA OBOZNA^AETSQ ^EREZ kak . oBY^NO PI[UT (a; b) WMESTO (a; b) I kak WMESTO kak , ESLI SKALQRNOE PROIZWEDENIE ZAFIKSIROWANO ILI NE WAVNO, O KAKOM SKALQRNOM PROIZWEDENII IDET RE^X.

2.2. nERAWENSTWO kO[I{bUNQKOWSKOGO. (x; y)2 6 (x; x)(y; y):

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL: j(x;y)j = j cos x yj 6 1.

kxk kyk c

2.3. nERAWENSTWO TREUGOLXNIKA. kx + yk 6 kxk + kyk.

7

2.4.pROEKCIQ ODNOGO WEKTORA NA DRUGOJ. prb a = ((a;bb;b)) b (IMEETSQ W WIDU WEKTOR PROEKCII, A NE EGO DLINA).

2.5.oRTOGONALIZACIQ gRAMA{{MIDTA. pUSTX (f1; : : : ; fn) { BAZIS EW-

KLIDOWA PROSTRANSTWA V . tOGDA \LEMENTY

e1 = f1

e2 = f2 (f2; e1)e1 (e1; e1)

n 1

en = fn X (fn; ek)ek

k=1 (ek; ek)

QWLQ@TSQ ORTOGONALXNYM BAZISOM V . bOLEE TOGO, ESLI f1; : : : ; fn { SISTEMA OBRAZU@]IH V , TO NENULEWYE \LEMENTY NABORA e1; : : : ; en OBRAZU@T BAZIS PROSTRANSTWA V .

2.6. kOORDINATY W ORTOGONALXNOM BAZISE. pUSTX f = (f1; : : : ; fn)

{ ORTOGONALXNYJ BAZIS EWKLIDOWA PROSTRANSTWA V , A v 2 V . tOGDA k-Q

PROEKCIJ NA WEKTORA ORTOGONALXNOGO BAZISA, SR. 2.4).

2.7. rAWENSTWO pARSEWALQ. pUSTX f = (f1; : : : ; fn) { ORTOGONALXNYJ

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL: RAWENSTWO pARSEWALQ { \TO MNOGOMERNAQ TEREMA pIFAGORA. tO^NEE, KWADRAT DLINY WEKTORA RAWEN SUMME KWADRATOW DLIN EGO PROEKCIJ NA WEKTORA ORTOGONALXNOGO BAZISA.

2.8. nERAWENSTWO bESSELQ. pUSTX f1; : : : ; fn { ORTOGONALXNYJ NABOR

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL: DLINA WEKTORA NE MENX[E DLINY EGO ORTOGONALXNOJ PROEKCII NA PODPROSTRANSTWO (PROEKCIQ v NA hf1; : : : ; fni RAWNA

n

P (v;fk) fk, PO\TOMU W PRAWOJ ^ASTI NERAWENSTWA bESSELQ STOIT EE DLINA).

k=1 (fk;fk)

8

2.9. oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE PODPROSTRANSTWA. oRTOGONALXNYM DOPOLNENIEM PODPROSTRANSTWA U 6 V NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH WEKTOROW, ORTOGONALXNYH KAVDOMU WEKTORU IZ U. oNO OBOZNA^AETSQ ^EREZ U?. oRTOGONALXNOE DOPOLNENIE QWLQETSQ PODPROSTRANSTWOM. kROME TOGO, V = U U?, T. E. L@BOJ WEKTOR v 2 V ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W

WIDE SUMMY v = v + w, GDE v 2 U, A w 2 U?. |LEMENT v NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ PROEKCIEJ \LEMENTA v NA PODPROSTRANSTWO U.

2.10. rASSTOQNIE OT WEKTORA DO PODPROSTRANSTWA. pUSTX v { OR-

TOGONALXNAQ PROEKCIQ \LEMENTA v NA PODPROSTRANSTWO U 6 V . tOGDA DLQ L@BOGO \LEMENTA u 2 U, OTLI^NOGO OT v , WYPOLNENO NERAWENSTWO

kv v k < kv uk:

kAK OBY^NO, RASSTOQNIEM OT \LEMENTA v DO PODPROSTRANSTWA U NAZYWAETSQ MINIMALXNOE IZ RASSTOQNIJ OT v DO u PO WSEM u 2 U. tAKIM OBRAZOM, GEOMETRI^ESKIJ SMYSL NERAWENSTWA SOSTOIT W TOM, ^TO RASSTOQNIE OT WEKTORA DO PODPROSTRANSTWA IZMERQETSQ PO PERPENDIKULQRU.

2.11. mATRICEJ gRAMA SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ W BAZISE f1; : : : ; fn NAZYWAETSQ TAKAQ MATRICA f , ^TO (a; b) = aTf f bf DLQ L@BYH a; b 2 V . nETRUDNO DOKAZATX, ^TO TAKAQ MATRICA SU]ESTWUET, A EE \LEMENT W POZICII (i; j) RAWEN (fi; fj). sKALQRNOE PROIZWEDENIE QWLQETSQ, W ^ASTNOSTI, BILINEJNOJ FORMOJ (OPREDELENIE BILINEJNOJ FORMY SM. 6.5). s \TOJ TO^- KI ZRENIQ MATRICA gRAMA QWLQETSQ PROSTO MATRICEJ BILINEJNOJ FORMY

(SM. 6.6).

3.lINEJNYE OPERATORY

3.1.lINEJNYM OPERATOROM NAZYWAETSQ FUNKCIQ IZ U W V , UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IM USLOWIQM. dLQ L@BYH a; b 2 V I 2 F :

1.L(a + b) = L(a) + L(b);

2.L( a) = L(a).

3.2.iZOMORFIZMOM LINEJNYH PROSTRANSTW NAZYWAETSQ BIEKTIWNYJ LINEJNYJ OPERATOR. dWA LINEJNYH PROSTRANSTWA U I V NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET IZOMORFIZM IZ U W V .

3.3.mATRICA LINEJNOGO OPERATORA. pUSTX U I V { KONE^NOMERNYE PROSTRANSTWA, L : U ! V { LINEJNYJ OPERATOR, f { BAZIS U, A g { BAZIS V . mATRICEJ OPERATORA L W BAZISAH f; g NAZYWAETSQ TAKAQ MATRICA Lf;g, ^TO

DLQ L@BOGO x 2 U WYPOLNENA FORMULA L(x)g = Lf;gxf (NETRUDNO DOKAZATX, ^TO TAKAQ MATRICA SU]ESTWUET I EDINSTWENNA).

9