metodich

Q(v) = 14x2 7y2 + 20xy W STANDARTNOM BAZISE e (SM. 6.8), a = (4; 17) { MATRICA LINEJNOGO FUNKCIONALA L(v) = 4x + 17y W BAZISE e, a p = 35.

sNA^ALA UNI^TOVIM, S POMO]X@ PODHODQ]EJ ZAMENY BAZISA, SLAGAEMOE, SODERVA]EE PROIZWEDENIE PEREMENNYH. dLQ \TOGO NEOBHODIMO PRIWESTI KWADRATI^NU@ FORMU Q K DIAGONALXNOMU WIDU. tAK KAK TREBUETSQ NE MENQTX RASSTOQNIJ MEVDU TO^KAMI, NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX ORTOGONALXNOE PREOBRAZOWANIE KOORDINAT. nAJDEM ORTONORMIROWANNYJ BAZIS IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW, W KOTOROM KWADRATI^NAQ FORMA IMEET DIAGONALXNYJ WID (SU]ESTWOWANIE TAKOGO BAZISA SLEDUET IZ TEOREMY 6.11).

mATRICA B IMEET DWA RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISLA: 1 = 18 I2 = 11. sTOLBEC u1 = (5; 2)T QWLQETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM, OTWE^A- @]IM SOBSTWENNOMU ^ISLU 18, A u2 = ( 2; 5)T { SOBSTWENNYM WEKTOROM,

CA KWADRATI^NOJ FORMY Q W ORTONORMIROWANNOM BAZISE u IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW QWLQETSQ DIAGONALXNOJ S SOBSTWENNYMI ^ISLAMI PO DIAGONALI:

TOGONALXNOJ.

oBOZNA^IM vu = (x0; y0)T I ZAPI[EM ISHODNOE URAWNENIE W NOWYH KOORDINATAH. pO FORMULE PREOBRAZOWANIQ KOORDINAT PRI ZAMENE BAZISA v = ve = Ce!uvu ILI, W KOORDINATAH,

:

pODSTAWIW \TO W ISHODNOE URAWNENIE, IMEEM

(Ce!uvu)TB(Ce!uvu) + aCe!uvu = p () vuTBuvu + aCe!uvu = p ;

ILI, W ^ISLOWOJ ZAPISI,

tEPERX IZBAWIMSQ OT LINEJNYH SLAGAEMYH S POMO]X@ SDWIGA NA^ALA KOORDINAT. dLQ \TOGO WYDELIM POLNYE KWADRATY:

40

F1(2=3; 5=3) I F2( 8=3; 1=3).

zAME^ANIE 1. pRIWEDENNYJ ALGORITM RE[ENIQ MOVET BYTX ISPOLXZOWAN TAKVE DLQ PRIWEDENIQ K KANONI^ESKOMU WIDU URAWNENIQ POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA.

zAME^ANIE 2. dLQ KWADRATI^NOJ FORMY W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE WSEGDA SU]ESTWUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS, W KOTOROM EE MATRICA DIAGONALXNA. eSLI WSE SOBSTWENNYE ^ISLA MATRICY KWADRATI^NOJ FORMY RAZLI^NY, TO SOBSTWENNYE WEKTORA, OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ^ISLAM, BUDUT POPARNO ORTOGONALXNY I wAM OSTANETSQ TOLXKO NORMIROWATX BAZISNYE WEKTORA. w PROTIWNOM SLU^AE, NUVNO PRIMENITX PROCESS ORTOGONALIZACII TOLXKO K BAZISNYM WEKTORAM, WZQTYM IZ ODNOGO I TOGO VE SOBSTWENNOGO PODPROSTRANSTWA, POSKOLXKU SOBSTWENNYE PODPROSTRANSTWA SIMMETRI^NOJ MATRICY POPARNO ORTOGONALXNY.

41

zADA^A 14. pRIWEDENIE URAWNENIQ POWERHNOSTI 2-GO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU

oPREDELITX TIP POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA

2x2 4y2 4z2 10xy 2xz 12yz + 2x 6y 2z = 1

I NAJTI KOORDINATY WER[INY POWERHNOSTI W ISHODNOJ SISTEME KOORDINAT.

rE[ENIE. zAPI[EM URAWNENIE POWERHNOSTI W WIDE Q(v) + L(v) = p,

GDE v = ve = (x; y; z)T, Q(v) = 2x2 4y2 4z2 10xy 2xz 12yz { KWAD-

RATI^NAQ FORMA, A L(v) = 2x 6y 2z { LINEJNYJ FUNKCIONAL. sNA^ALA UNI^TOVIM S POMO]X@ PODHODQ]EJ ZAMENY BAZISA SLAGAEMYE, SODERVA- ]IE PROIZWEDENIQ PEREMENNYH. dLQ \TOGO PRIWEDEM KWADRATI^NU@ FORMU Q K DIAGONALXNOMU WIDU METODOM WYDELENIQ POLNYH KWADRATOW. sOGLASNO TEOREME 6.10, WSQKAQ KWADRATI^NAQ FORMA PRI POMO]I NEWYROVDENNOGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ MOVET BYTX PRIWEDENA K DIAGONALXNOMU WIDU. zAMETIM, ^TO W DANNOM SLU^AE, PERED NAMI NE STOIT ZADA^A NAHOVDENIQ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT, W KOTOROJ URAWNENIE POWERHNOSTI IMELO BY KANONI^ESKIJ WID, A SLEDOWATELXNO, ISPOLXZUEMOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE NE OBQZANO BYTX ORTOGONALXNYM. wYDELIM W KWADRATI^NOJ FORME WSE SLAGAEMYE, SODERVA]IE PEREMENNU@ x, I PREOBRAZUEM WYDELENNU@ SUMMU TAK, ^TOBY WSE ^LENY S x WO[LI W KWADRAT LINEJNOGO WYRAVENIQ:

Q(v) = (2x2 10xy 2xz) 4y2 4z2 12yz =

dALEE, GRUPPIRUEM SLAGAEMYE, SODERVA]IE TOLXKO PEREMENNU@ y, I WYDELQEM W \TOJ GRUPPE POLNYJ KWADRAT:

42

pRI POMO]I NEWYROVDENNOGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ

vu = (x0; y0; z0)T { STOLBEC KOORDINAT W NOWOM BAZISE u. dLQ TOGO ^TOBY ZAPISATX URAWNENIE POWERHNOSTI W NOWOJ SISTEME KOORDINAT, NAM NUVNY

FORMULY OBRATNOGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ. wYRAZIM STARYE KOORDINATY (x; y; z) ^EREZ NOWYE (x0; y0; z0):

>

>

>

:

uRAWNENIE POWERHNOSTI W NOWOJ SISTEME KOORDINAT PRIMET WID

2x02 332 y02 334 z02 + 2x0 y0 1633z0 = 1:

tEPERX IZBAWIMSQ OT LINEJNYH SLAGAEMYH S POMO]X@ PERENOSA NA^ALA KOORDINAT. dLQ \TOGO WYDELIM POLNYE KWADRATY PO WSEM PEREMENNYM:

=332 y0 + 331 2 + 661 = 332 y002 + 661 ;

334 z02 1633z0 = 334 z02 + 4z0 + 4 + 1633 =

=334 z0 + 2 2 + 1633 = 334 z002 + 1633;

43

tAKIM OBRAZOM, URAWNENIE PREOBRAZUETSQ K WIDU

2x002 332 y002 334 z002 = 1 + 12 661 1633

ILI

2x002 332 y002 334 z002 = 1:

zNA^IT, POWERHNOSTX PREDSTAWLQET SOBOJ DWUPOLOSTNYJ GIPERBOLOID. nAJDEM FORMULY REZULXTIRU@]EGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ:

>

>

:

lEGKO WIDETX, ^TO WER[INA O NA[EJ POWERHNOSTI, QWLQETSQ NA^ALOM KOORDINAT W NOWOJ SISTEME KOORDINAT. pO\TOMU W ISHODNOJ SISTEME ONA IMEET KOORDINATY O(1; 1; 2).

oTWET: dWUPOLOSTNYJ GIPERBOLOID: 2x002 332 y002 334 z002 = 1. wER-

[INA POWERHNOSTI: O(1; 1; 2).

zAME^ANIE 1. uRAWNENIE POWERHNOSTI MOVET NE SODERVATX ^LENOW S KWADRATOM PEREMENNOJ, NAPRIMER: xy = z. s CELX@ POLU^ITX KWADRAT

zAME^ANIE 2. eSLI POWERHNOSTX IMEET EDINSTWENNYJ CENTR SIMMETRII (\LLIPSOID, KONUS, GIPERBOLOIDY) ILI PRQMU@ CENTROW (\LLIPTI^E- SKIJ I GIPERBOLI^ESKIJ CILINDRY), TO PREVDE, ^EM PRIWODITX KWADRATI^- NU@ FORMU Q(v) K DIAGONALXNOMU WIDU METODOM WYDELENIQ POLNYH KWADRATOW, MOVNO SNA^ALA UNI^TOVITX LINEJNYE ^LENY URAWNENIQ S POMO]X@ PERENOSA NA^ALA KOORDINAT W TO^KU, QWLQ@]U@SQ CENTROM SIMMETRII. eSLI URAWNENIE POWERHNOSTI ZADATX W MATRI^NOJ FORME

vTQv + 2av = p;

TO KOORDINATY CENTRA SIMMETRII OPREDELQ@TSQ IZ URAWNENIQ

Qv = aT;

44

GDE Q { MATRICA KWADRATI^NOJ FORMY Q(v), A a { MATRICA LINEJNOGO FUNKCIONALA L(v) W ISHODNOM BAZISE. w SLU^AE VE POWERHNOSTEJ, CENTRA NE IME@]IH (PARABOLOIDY), SISTEMA OKAVETSQ NESOWMESTNOJ I SLEDUET SRAZU WOSPOLXZOWATXSQ METODOM WYDELENIQ POLNYH KWADRATOW.

45

sODERVANIE

2.pROSTRANSTWA SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM . . . . . . . . . . . 7

3. lINEJNYE OPERATORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.sOBSTWENNYE ^ISLA I WEKTORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.vORDANOWA FORMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.sAMOSOPRQVENNYE OPERATORY I KWADRATI^NYE FORMY . . . . 13

46