metodich

VIT LINEJNOJ OBOLO^KE STOLBCOW MATRICY A TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SISTEMA Ax = b IMEET RE[ENIE. tAK KAK PREOBRAZOWANIQ gAUSSA SOOTWETSTWU@T UMNOVENI@ SLEWA NA OBRATIMU@ MATRICU, TO SISTEMY URAWNENIJ

RE[ENIE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA D2b = 0 (SISTEMA Cx = D1b IMEET RE[ENIE PRI L@BOM b). oTS@DA MOVNO SDELATX SLEDU@]IE WYWODY:

1.dim V1 = rank A = 2;

2.a1, a3 { BAZIS PROSTRANSTWA V1 (SM. ZADA^U 1, 2-J SPOSOB RE[ENIQ);

3.b 2 V1 () D2b = 0.

rASSUVDAQ ANALOGI^NYM OBRAZOM, DLQ PODPROSTRANSTWA V2 IMEEM:

sLEDOWATELXNO:

1.dim V2 = rank B = 2;

2.b1, b3 { BAZIS PROSTRANSTWA V2;

w KA^ESTWE BAZISA SUMMY PODPROSTRANSTW MOVNO WYBRATX L@BU@ MAKSIMALXNU@ LINEJNO NEZAWISIMU@ PODSISTEMU SISTEMY WEKTOROW a1, a3, b1, b3, NAPRIMER: a1, a3, b1. rAZMERNOSTX PODPROSTRANSTWA V1 + V2 RAWNA 3. nAJDEM BAZIS I RAZMERNOSTX PERESE^ENIQ PODPROSTRANSTW. eSLI v 2 V1 \ V2, TO ON QWLQETSQ RE[ENIEM OBEIH SISTEM. pO\TOMU V1 \ V2 SOWPADAET S PROSTRANSTWOM RE[ENIJ SISTEMY

20

zADA^A 4. oRTOGONALIZACIQ DWUH WEKTOROW

dANY STOLBCY a = ( 4; 5; 2; 1)T I b = (5; 3; 4; 3)T. nAJTI STOLBEC c 2 R4, ORTOGONALXNYJ a TAK, ^TOBY LINEJNYE OBOLO^KI ha; ci I ha; bi SOWPADALI.

rE[ENIE. kAK RAZ DLQ \TOJ ZADA^I PREDNAZNA^EN PROCESS ORTOGONALIZACII (SM. 2.5):

tAK KAK c = b a ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ a I b, TO c 2 ha; bi. aNALOGI^NO, b 2 ha; ci, OTKUDA ha; ci = ha; bi. lEGKO ZAMETITX, ^TO L@- BOJ WEKTOR, PROPORCIONALXNYJ NAJDENNOMU, TAKVE UDOWLETWORQET USLOWI@ ZADA^I. s DRUGOJ STORONY, ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE K WEKTORU a W 2-MERNOM PROSTRANSTWE ha; bi ODNOMERNO, PO\TOMU NIKAKOJ WEKTOR, NE PROPORCIONALXNYJ NAJDENNOMU, NE GODITSQ.

oTWET: c = (1; 2; 2; 2)T , GDE 2 R.

rASSMOTRIM DRUGU@ FORMULIROWKU TOJ VE ZADA^I.

rAZLOVENIE W SUMMU ORTOGONALXNYH WEKTOROW. dANY STOLBCY a = ( 4; 5; 2; 1)T I b = (5; 3; 4; 3)T. rAZLOVITX b W SUMMU DWUH ORTOGONALXNYH STOLBCOW TAK, ^TOBY ODIN IZ NIH BYL PARALLELEN a.

rE[ENIE. pUSTX b = c+ a, PRI^EM c ? a. tOGDA (c; a) = (b a; a) = 0, OTKUDA = ((a;aa;b)) , I MY POLU^AEM TU VE FORMULU DLQ WEKTORA c, ^TO I W PREDYDU]EJ ZADA^E: c = b ((a;aa;b)) a.

oTWET: c = (1; 2; 2; 2)T.

rE[ENIE. wYPOLNIM PERWU@ ^ASTX ZADANIQ, ISPOLXZUQ METOD ORTOGONALIZACII gRAMA{{MIDTA (SM. 2.5). oBOZNA^IM STOLBCY MATRICY A: a1 = ( 1; 1; 1; 1)T; a2 = ( 4; 4; 1; 1)T; a3 = ( 1; 5; 1; 4)T. pOLO-

VIM e1 = a1. wTOROJ WEKTOR I]EM W WIDE e02 = a2 (a2;e1) e1. tOGDA I

(e1;e1)

21

e02 = ( 3=2; 3=2; 3=2; 3=2)T. dLQ UDOBSTWA DALXNEJ[IH WY^ISLENIJ POLO-

VIM e2 = 23 e02 = (1; 1; 1; 1)T. |TO MOVNO SDELATX, TAK KAK UMNOVENIE NA KONSTANTU NE WLIQET NA ORTOGONALXNOSTX WEKTOROW. pOSLEDNIJ WEKTOR

I]EM W WIDE e03 = a3 (a3;e1) e1 (a3;e2) e2. pOLU^AEM e03 = (2; 2; 3=2; 3=2)T.

(e1;e1) (e2;e2)

pOLOVIM e3 = 2e03 = (4; 4; 3; 3)T.

pEREJDEM KO WTOROJ ^ASTI ZADA^I. mOVNO UBEDITXSQ, ^TO SISTEMA Ax = b NESOWMESTNA, HOTQ \TO NE WLIQET NA HOD RE[ENIQ. |TO OZNA^AET, ^TO STOLBEC b NE PRINADLEVIT LINEJNOJ OBOLO^KE STOLBCOW MATRICY A. w \TOM SLU^AE SISTEMA NAZYWAETSQ PEREOPREDELENNOJ. pSEWDORE[ENIEM PEREOPREDELENNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ NAZYWAETSQ TAKOJ STOLBEC x , ^TO DLINA WEKTORA Ax b MINIMALXNA. dLINA WEKTORA Ax b MINIMALXNA, ESLI ON ORTOGONALEN LINEJNOJ OBOLO^KE STOLBCOW MATRICY A, TO ESTX WEKTOR Ax QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ PROEKCIEJ WEKTORA b NA LINEJNU@ OBOLO^KU STOLBCOW MATRICY A (SM. UTWERVDENIE 2.10). wWEDEM OBOZNA^ENIQ: PUSTX V { LINEJNAQ OBOLO^KA STOLBCOW MATRICY A, b { ORTOGONALXNAQ PROEKCIQ WEKTORA b NA PODPROSTRANSTWO V . tAK KAK ORTOGONALXNYJ BAZIS e1; e2; e3 PROSTRANSTWA V UVE IZWESTEN, TO MOVNO NAJTI b , KAK SUMMU PROEKCIJ WEKTORA b NA BAZISNYE WEKTORA ei (SM. 2.6), T. E.

b = (b; e1) e1 + (b; e2) e2 + (b; e3) e3 (e1; e1) (e2; e2) (e3; e3)

(FORMULA WERNA TOLXKO DLQ ORTOGONALXNOGO BAZISA!).

pOLU^IM b = (2; 14; 7; 16)T. oSTALOSX RE[ITX SISTEMU Ax = b .

oTWET: ORTOGONALIZOWANNYE STOLBCY MATRICY A:

e1 = ( 1; 1; 1; 1)T; e2 = (1; 1; 1; 1)T; e3 = (4; 4; 3; 3)T:

pSEWDORE[ENIE SISTEMY: x = (5; 1; 3)T.

zAME^ANIE 1. wY^ISLENIQ WO WTOROJ ^ASTI ZADA^I MOVNO NESKOLXKO UPROSTITX. w PROCESSE WY^ISLENIJ MY NAHODIM STOLBEC KOORDINAT WEK-

TORA b W BAZISE e, ON SOSTOIT IZ ^ISEL (b;ei) . iZ PROCESSA ORTOGONALI-

(ei;ei)

ZACII LEGKO IZWLE^X WYRAVENIQ WEKTOROW ai ^EREZ ei, T. E. MATRICU PEREHODA Ce!a, I UBEDITXSQ W TOM, ^TO ONA TREUGOLXNAQ. rE[AEM SISTEMU Ce!aba = be I IZ RAWENSTWA Ax = b ZAME^AEM, ^TO x KAK RAZ I QWLQETSQ STOLBCOM KOORDINAT WEKTORA b W BAZISE, SOSTAWLENNOM IZ STOLBCOW MATRICY A. uPRO]ENIE WY^ISLENIJ SOSTOIT W TOM, ^TO DOSTATO^NO RE- [ITX SISTEMU S TREUGOLXNOJ MATRICEJ, ^TO NA PORQDOK PRO]E RE[ENIQ PROIZWOLXNOJ SISTEMY.

22

zAME^ANIE 2. dLQ NAHOVDENIQ PSEWDORE[ENIQ SISTEMY MOVNO WOS-

POLXZOWATXSQ FORMULOJ x = (ATA) 1ATb, T. E. DOSTATO^NO RE[ITX SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ (ATA)x = ATb (ESLI STOLBCY MATRICY A LINEJNO NEZAWISIMY, TO MATRICA ATA NEWYROVDENNAQ). oDNAKO KOLI^ESTWO WY^ISLENIJ PRI ISPOLXZOWANII \TOGO SPOSOBA RE[ENIQ PRIMERNO RAWNO KOLI^ESTWU WY^ISLENIJ PRI RE[ENII S ISPOLXZOWANIEM ORTOGONALIZACII I ZAME^ANIQ 1.

zADA^A 6. dOPOLNENIE DO ORTOGONALXNOGO BAZISA

pODPROSTRANSTWO V 6 R4 NATQNUTO NA WEKTORA: a1 = (1; 1; 2; 2)T I a2 = (10; 4; 1; 1)T. oRTOGONALIZOWATX BAZIS W V I DOPOLNITX EGO DO ORTOGONALXNOGO BAZISA W R4.

rE[ENIE. oRTOGONALIZUEM WEKTORA a1 I a2 IH S POMO]X@ PROCESSA gRAMA{{MIDTA (SM. 2.5):

dALEE BUDEM BRATX PROIZWOLXNYE WEKTORA IZ R4, DOBAWLQTX IH K POLU^ENNOMU RANEE NABORU b1; b2; : : : I PRIMENQTX K NIM PROCESS ORTOGONALIZACII. eSLI POLU^IW[IJSQ W REZULXTATE ORTOGONALIZACII WEKTOR BUDET NENULEWYM, TO PRISOEDINIM EGO K NA[EMU NABORU, W PROTIWNOM SLU^AE PROSTO WOZXMEM DRUGOJ PROIZWOLXNYJ WEKTOR. pREKRATIM PROCESS, KOGDA KOLI^ESTWO POLU^ENNYH NENULEWYH POPARNO ORTOGONALXNYH WEKTOROW STANET RAWNYM RAZMERNOSTI PROSTRANSTWA, T. E. ^ETYREM. dLQ TOGO ^TOBY GARANTIROWATX, ^TO PROCESS ZAKON^ITSQ (T. E., ^TO MY NE BUDEM WSE WREMQ WYBIRATX PROIZWOLXNYJ WEKTOR IZ LINEJNOJ OBOLO^KI RANEE POLU^ENNYH), DOSTATO^NO PEREBIRATX WEKTORA IZ KAKOGO-NIBUDX BAZISA PROSTRANSTWA R4. dLQ UPRO]ENIQ WY^ISLENIJ BUDEM PEREBIRATX WEKTORA STANDARTNOGO BAZISA. zAMETIM TAKVE, ^TO PROEKCIQ WEKTORA a NA WEKTOR b RAWNA EGO PROEKCII NA WEKTOR b PRI L@BOM > 0, ^TO TAKVE BUDET ISPOLXZOWATXSQ DLQ UPRO]ENIQ WY^ISLENIJ. iTAK:

23

tAK KAK OKAZALOSX, ^TO b4 = 0, TO OTBRASYWAEM e2 (KAK OKAZALOSX, ON LEVIT W LINEJNOJ OBOLO^KE hb1; b2; b3i) I PERES^ITYWAEM b4, ISHODQ IZ e3:

oN DOPOLNQETSQ DO ORTOGONALXNOGO BAZISA PROSTRANSTWA R4 WEKTORAMI b3 = 201 (3; 7; 1; 1)T, b4 = 12 (0; 0; 1; 1)T.

zAME^ANIE 1. qSNO, ^TO WEKTORA b3 I b4 OBRAZU@T ORTOGONALXNYJ BA-

ZIS PROSTRANSTWA V ?. pO\TOMU ALXTERNATIWNYJ SPOSOB NAHOVDENIQ \TIH WEKTOROW SOSTOIT W TOM, ^TOBY NAJTI BAZIS V ? KAK BAZIS PROSTRANSTWA

bT1 bT2

zADA^A 7. wYBOR BAZISA I NAHOVDENIE MATRICY OPERATORA

pUSTX V { LINEJNOE PROSTRANSTWO WSEH WE]ESTWENNYH MATRIC 2 2 SO SLEDOM 0. wYBERITE BAZIS W PROSTRANSTWE V I NAJDITE MATRICU OPERATORA

rE[ENIE. sLED RASSMATRIWAEMYH MATRIC RAWEN 0, A ZNA^IT \LEMENTY PROSTRANSTWA IME@T WID

24

pO\TOMU RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA V RAWNA 3 I W KA^ESTWE BAZISA e MOVNO WZQTX NABOR \LEMENTOW

wYBRANNYJ BAZIS HORO[ TEM, ^TO STOLBEC KOORDINAT L@BOGO \LEMENTA PROSTRANSTWA W \TOM BAZISE WIDEN SRAZU: DLQ PRIWEDENNOJ WY[E MATRICY A STOLBEC KOORDINAT Ae = (a; b; c)T.

sTOLBCAMI MATRICY LINEJNOGO OPERATORA QWLQ@TSQ STOLBCY KOORDINAT OBRAZOW BAZISNYH WEKTOROW, T. E. i-J STOLBEC MATRICY Le RAWEN L(ei)e

zADA^A 8. mATRICA OPERATORA PROEKTIROWANIQ

wY^ISLITX MATRICU LINEJNOGO OPERATORA A, PROEKTIRU@]EGO WEKTORA TREHMERNOGO GEOMETRI^ESKOGO PROSTRANSTWA V NA PLOSKOSTX P : 3x y = 0

(

PARALLELXNO PRQMOJ ` : x + y + 2z = 0, W STANDARTNOM BAZISE.

x+ z = 0

NIE. sUMMA RAZMERNOSTEJ PLOSKOSTI I PRQMOJ RAWNA 3, T. E. RAZMERNOSTI V . sLEDOWATELXNO, V RASKLADYWAETSQ W PRQMU@ SUMMU: V = P ` (SM. OPREDELENIE 1.15). zNA^IT, OB_EDINENIE BAZISOW PLOSKOSTI I PRQMOJ ESTX BAZIS W V . nAHODQ BAZIS PROSTRANSTWA RE[ENIJ ODNORODNOJ SISTEMY (SM. ZADA^U 2), WYBEREM BAZIS PLOSKOSTI: f1 = (0; 0; 1)T; f2 = (1; 3; 0)T I BAZIS PRQMOJ: f3 = (1; 1; 1)T. mATRICA OPERATORA A MOVET BYTX LEGKO SOSTAWLENA W BAZISE f = (f1; f2; f3). dEJSTWITELXNO, PO OPREDELENI@ PROEKTIROWANIQ, WEKTORA PLOSKOSTI P PEREHODQT W SEBQ, A WEKTORA S PRQMOJ

25

(PODROBNEE O NAHOVDENII MATRIC PEREHODA SM. P. 1 ZADA^I 9). dLQ TOGO ^TOBY NAJTI MATRICU OPERATORA PROEKTIROWANIQ W STANDARTNOM BAZISE OSTALOSX WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ 3.5, SWQZYWA@]EJ MATRICY OPERATORA W RAZLI^NYH BAZISAH:

zADA^A 9. wEKTORA I OPERATORY W R3

pUSTX e { STANDARTNYJ BAZIS W R3, f1 = (1; 1; 1)T, f2 = ( 1; 1; 2)T, f3 = ( 2; 1; 0)T. dANY LINEJNYE OPERATORY A I B, IME@]IE W BAZISE e

IWEKTOR x c KOORDINATAMI xe = (1; 7; 9)T.

1.pROWERXTE, ^TO f = (f1; f2; f3) { BAZIS W R3 I NAJDITE MATRICY PEREHODA Ce!f , Cf!e.

2.oPREDELITE KOORDINATY WEKTORA y = A B(x) W BAZISE f.

3.oBRATIMY LI OPERATORY A I B?

4.nAJDITE MATRICY OPERATORA A 1 W BAZISAH e I f.

5.nAJDITE RAZMERNOSTX QDRA I OBRAZA OPERATORA B.

6.pOSTROJTE ORTONORMIROWANNYJ BAZIS QDRA I OBRAZA OPERATORA B.

7.nAJDITE SOBSTWENNYE ^ISLA I SOBSTWENNYE WEKTORA OPERATOROW A I B.

8.wYPI[ITE MATRICY OPERATOROW A I B W BAZISE IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW.

26

TORA f1; f2; f3 OBRAZU@T BAZIS W R3 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MATRICA C OBRATIMA. tAK KAK NAM WSE RAWNO PRIDETSQ WY^ISLQTX OBRATNU@ K C MATRICU, TO DOKAZYWATX SEJ^AS, ^TO ONA SU]ESTWUET (NAPRIMER S^ITATX OPREDELITELX C), NE OBQZATELXNO. dLQ MATRICY PEREHODA WYPOLNENO SOOTNO[ENIE (e1; e2; e3)Ce!f = (f1; f2; f3); T. E. SOSTAWLENNAQ NAMI MATRICA C I ESTX Ce!f . mATRICA OBRATNOGO PEREHODA MOVET BYTX POLU^ENA ISHODQ

MO]X@ UVE IZWESTNOJ MATRICY PEREHODA Cf!e NAJDEM EGO KOORDINATY W BAZISE f. mATRICA KOMPOZICII OPERATOROW A B W BAZISE e RAWNA PROIZWEDENI@ MATRIC OPERATOROW Ae I Be. tOGDA

ye = AeBexe = (15; 15; 75)T = 15(1; 1; 5)T;

A yf = Cf!eye = 15( 3; 4; 0)T. oTWET: yf = ( 45; 60; 0)T.

zAME^ANIE 1. pRI WY^ISLENII PROIZWEDENIQ AeBexe WYGODNEE SNA^A- LA UMNOVITX Be NA xe, A POTOM Ae NA REZULXTAT PREDYDU]EJ OPERACII (POS^ITAJTE KOLI^ESTWO UMNOVENIJ!).

3. oPERATOR OBRATIM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA EGO MATRICA (W L@BOM BAZISE) OBRATIMA, T. E. EE OPREDELITELX NE RAWEN 0.

ODINAKOWY.

oTWET: A { OBRATIM, B { NET.

27

4. w PREDYDU]EM PUNKTE MY WYQSNILI, ^TO OPERATOR A OBRATIM. mATRICA OBRATNOGO OPERATORA A 1 W BAZISE e QWLQETSQ OBRATNOJ K Ae. w DANNOM SLU^AE CELESOOBRAZNO RAZYSKIWATX OBRATNU@ MATRICU S POMO]X@

dLQ TOGO ^TOBY NAJTI MATRICU OPERATORA A 1 W BAZISE f, WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ 3.5, SWQZYWA@]EJ MATRICY OPERATORA W RAZLI^NYH BAZISAH:

0 1

1104 120 33

mOVNO, KONE^NO, SNA^ALA NAJTI MATRICU OPERATORA A W BAZISE f, A ZATEM ISKATX OBRATNU@ K NEJ.

zAME^ANIE 2. dLQ WY^ISLENIQ OPREDELITELQ MY WOSPOLXZOWALISX FORMULOJ RAZLOVENIQ PO STOLBCU, A DLQ NAHOVDENII OBRATNOJ MATRICY { ALGEBRAI^ESKIMI DOPOLNENIQMI, POTOMU ^TO MATRICA Ae NEUDOBNA DLQ RU^- NOGO S^ETA METODOM gAUSSA (NET NI ODNOJ EDINICY, S POMO]X@ KOTOROJ MOVNO BYLO BY LEGKO POLU^ITX NULI). dLQ MATRIC 2 2 ILI 3 3 KOLI^ESTWO WY^ISLENIJ PRI TAKOM PODHODE NENAMNOGO BOLX[E, ^EM PRI ISPOLXZOWANII METODA gAUSSA. oDNAKO NIKOGDA NE POLXZUJTESX TAKOGO RODA WY^ISLENIQMI DLQ MATRIC BOLEE WYSOKOGO PORQDKA!

5. pOSKOLXKU OBRAZ OPERATORA UMNOVENIQ NA MATRICU ESTX LINEJNAQ OBOLO^KA STOLBCOW MATRICY, TO ZADA^A OTYSKANIQ RAZMERNOSTI Im B SWODITSQ K NAHOVDENI@ RANGA MATRICY Be. wY^ISLENIQ POKAZYWA@T, ^TO dim Im B = rank Be = 2. sUMMA RAZMERNOSTEJ QDRA I OBRAZA LINEJNOGO OPERATORA RAWNA RAZMERNOSTI PROSTRANSTWA, W KOTOROM ON DEJSTWUET. tAK KAK OPERATOR B DEJSTWUET W R3, TO dim Ker B = 1.

6. oSU]ESTWLQQ \LEMENTARNYE PREOBRAZOWANIQ NAD STOLBCAMI MATRICY Be, TAKVE KAK I W ZADA^E 1 NAJDEM BAZIS OBRAZA OPERATORA B:

28

OTKUDA g1 = (0; 1; 1)T, g2 = ( 5; 3; 3)T. oRTOGONALIZUQ STOLBCY g1; g2,

POLOVIM h1 = g1 I h2 = g2 (g2;h1) h1 = ( 5; 0; 0)T (MY NAMERENNO IZMENI-

(h1;h1)

LI ESTESTWENNYJ PORQDOK STOLBCOW g1 I g2, ^TOBY UPROSTITX WY^ISLENIQ).

WEKTOR (2; 5; 6)T, OBRAZU@]IJ BAZIS QDRA (SM. ZADA^U 2). tAK KAK ON ODIN, TO ORTOGONALIZOWYWATX NE^EGO. nORMIRUEM EGO. oKON^ATELXNO, ORTONORMIROWANNYJ BAZIS Ker B SOSTOIT IZ ODNOGO WEKTORA p165 (2; 5; 6)T.

7. sOSTAWIM HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN OPERATORA A:

pOPROBUEM NAJTI RACIONALXNYE KORNI \TOGO MNOGO^LENA. tAK KAK STAR- [IJ KO\FFICIENT MNOGO^LENA A RAWEN 1, TO RACIONALXNYE KORNI QWLQ- @TSQ CELYMI DELITELQMI SWOBODNOGO ^LENA 224 = 25 7 (DANNOE ZADANIE SOSTAWLENO TAK, ^TO HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN IMEET CELYE KORNI, INA^E PRI[LOSX BY ZADEJSTWOWATX PRIBLIVENNYE WY^ISLENIQ ILI MATERIAL, NE WHODQ]IJ W PROGRAMMU). nETRUDNO ZAMETITX, ^TO OTRICATELXNYE ^ISLA NE MOGUT BYTX KORNQMI MNOGO^LENA A. pROWERIW PO O^EREDI POLOVITELXNYE DELITELI ^ISLA 224, NAHODIM KORENX 1 = 4. rAZDELIW A( ) NA 4 POLU^AEM A( ) = ( 4)( 2 + 15 56), OTKUDA NAHODIM OSTALXNYE KORNI: 2 = 7 I 3 = 8.

zAME^ANIE 3. nA SAMOM DELE PODSTANOWKU ^ISLA W MNOGO^LEN LU^[E PROIZWODITX PO SHEME gORNERA, POLXZUQSX TEM FAKTOM, ^TO p( ) RAWNO OSTATKU OT DELENIQ p(t) NA (t ). pRI TAKOM PODHODE RAZLOVENIE MNOGO- ^LENA NA MNOVITELI POLU^AETSQ AWTOMATI^ESKI, KAK TOLXKO NAJDEN EGO KORENX. kROME SU]ESTWENNOGO SOKRA]ENIQ WY^ISLENIJ, SHEMA gORNERA IMEET E]E ODNO PREIMU]ESTWO { EE O^ENX LEGKO PROGRAMMIROWATX.

29