metodich

sOBSTWENNYE ^ISLA { \TO KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO MNOGO^LENA. zNA^IT, OPERATOR A IMEET TRI SOBSTWENNYH ^ISLA: 1 = 4; 2 = 7 I

pO OPREDELENI@, SOBSTWENNYE WEKTORA { \TO NENULEWYE \LEMENTY SOBSTWENNOGO PODPROSTRANSTWA, PO\TOMU W OTWETE U^ITYWAEM, ^TO 6= 0.

wY^ISLENIQ DLQ OPERATORA B POLNOSTX@ ANALOGI^NY, PO\TOMU ONI OPU]ENY.

oTWET: SOBSTWENNYE ^ISLA OPERATORA A: 1 = 4; 2 = 7; 3 = 7. sOBSTWENNYE WEKTORA OPERATORA A: u1 = (1; 1; 2)T ; u2 = (1; 1; 3)T ; u3 = (0; 1; 5)T ; GDE 2 R n f0g.

sOBSTWENNYE ^ISLA OPERATORA B: 1 = 0; 2 = 2; 3 = 5. sOBSTWENNYE WEKTORA OPERATORA B: v1 = (2; 5; 6)T ; v2 = (0; 1; 1)T ;

v3 = (1; 1; 1)T ; GDE 2 R n f0g.

zAME^ANIE 4. tAK KAK OPREDELITELX OPERATORA B RAWEN 0, A OPREDELITELX L@BOGO OPERATORA RAWEN PROIZWEDENI@ SOBSTWENNYH ^ISEL (S U^ETOM KRATNOSTI), TO OPERATOR B GARANTIROWANNO IMEET SOBSTWENNOE ^ISLO 0. pO\TOMU WY^ISLENIQ EGO SOBSTWENNYH ^ISEL ZAWEDOMO PRO]E, ^EM DLQ A.

8. pOSKOLXKU SOBSTWENNYE WEKTORA, PRINADLEVA]IE POPARNO RAZLI^- NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, LINEJNO NEZAWISIMY, TO NABORY WEKTOROW u = (u1; u2; u3) I v = (v1; v2; v3) QWLQ@TSQ BAZISAMI W PROSTRANSTWE R3. w BAZISE IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW MATRICA OPERATORA DIAGONALXNA, PRI^EM PO DIAGONALI STOQT SOBSTWENNYE ^ISLA, A IH PORQDOK SOOTWETSTWUET PORQDKU SOBSTWENNYH WEKTOROW (W \TOM LEGKO UBEDITXSQ, WOSPOLXZOWAW[ISX

30

RASSUVDENIQMI, PRIWEDENNYMI W ZADA^E 7, I OPREDELENIEM SOBSTWENNOGO

zADA^A 10. kWADRATNOE MATRI^NOE URAWNENIE

nAJTI MATRICU X S NAIBOLX[IMI SOBSTWENNYMI ^ISLAMI, UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@

rE[ENIE. oBOZNA^IM MATRICU W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ ^EREZ B. zAMETIM, ^TO BX = XB (MATRICA X PERESTANOWO^NA S X2 4X). eSLI BY MATRICA B BYLA DIAGONALXNOJ S RAZLI^NYMI ^ISLAMI NA DIAGONALI, TO IZ USLOWIQ PERESTANOWO^NOSTI MATRICA X TOVE DOLVNA BYLA BY BYTX DIAGONALXNOJ ( (BX)ij = (XB)ij () biixij = xijbjj, OTKUDA PRI i 6= j IMEEM xij = 0, TAK KAK bii 6= bjj). dLQ DIAGONALXNYH VE MATRIC URAWNENIE LEGKO RE[AETSQ. sLEDOWATELXNO, DLQ RE[ENIQ ZADA^I DOSTATO^NO NAJTI BAZIS, W KOTOROM MATRICA B DIAGONALXNA. tAKOJ BAZIS (ESLI ON ESTX) QWLQETSQ BAZISOM IZ SOBSTWENNYH WEKTOROW. pO\TOMU SNA^ALA MY I]EM SOBSTWENNYE ^ISLA I SOBSTWENNYE WEKTORA MATRICY B (SM. PP. 7 I 8 ZADA^I 9).

mATRICA B IMEET TRI RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISLA: 1 = 4,2 = 3 I 3 = 5. iM SOOTWETSTWU@T SOBSTWENNYE WEKTORA u1 = (1; 1; 0)T, u1 = (1; 1; 1)T I u1 = (0; 1; 1)T. iTAK, MATRICA B W BAZISE u = (u1; u2; u3)

\TOMU Xu2 4Xu = Bu I, KAK BYLO OTME^ENO WY[E, MATRICA Xu DIAGONALX-

00 3

SOOTNO[ENIE 2i 4 i = i. nAHODIM 1 = 2, 2 = 1 ILI 3, A 3 = 1 ILI 5. o^EWIDNO, ^TO i QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI ^ISLAMI MATRICY Xu, A ZNA^IT I MATRICY X (SOBSTWENNYE ^ISLA NE ZAWISQT OT WYBORA BAZISA). pO USLOWI@ NEOBHODIMO WYBRATX NAIBOLX[IE WOZMOVNYE i, T. E. 1 = 2,

2 = 3, A 3 = 5.

31

tEPERX, KOGDA MY NA[LI MATRICU Xu, DLQ NAHOVDENIQ X = Xe NADO NAJTI MATRICY PEREHODA Ce!u I Cu!e. kAK OBY^NO (SM. P. 1 ZADA^I 9), MATRICA PEREHODA OT STANDARTNOGO BAZISA K BAZISU u SOSTOIT IZ STOLBCOW BAZISA u, A Cu!e = Ce!1u. pOSLE NAHOVDENIQ OBRATNOJ MATRICY METODOM gAUSSA POLU^AEM:

oSTALOSX WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ 3.5, SWQZYWA@]EJ MATRICY W RAZLI^- NYH BAZISAH. pOLU^AEM

zAME^ANIE 1. w SLU^AE, KOGDA MATRICA B NE DIAGONALIZUEMA, ZADA^U MOVNO RE[ITX PRI POMO]I VORDANOWOJ FORMY MATRICY (SM. ZADA^I 11 I 12). eSLI VE B IMEET KRATNYE SOBSTWENNYE ^ISLA, NO PO-PREVNEMU DIAGONALIZUEMA, TO KWADRATNOE URAWNENIE IMEET BESKONE^NO MNOGO RE[E- NIJ (NAPRIMER, URAWNENI@ X2 = E UDOWLETWORQET L@BAQ MATRICA X S SOBSTWENNYMI ^ISLAMI 1). nESMOTRQ NA \TO, RE[ENIE S NAIBOLX[IMI SOBSTWENNYMI ^ISLAMI PO-PREVNEMU EDINSTWENNO, A ALGORITM EGO NAHOVDENIQ ANALOGI^EN WY[EIZLOVENNOMU.

zADA^A 11. vORDANOWA FORMA MATRICY 3 3

nAJTI VORDANOWU FORMU I VORDANOW BAZIS MATRIC:

aLGORITM. nA^INAEM RE[ENIE ZADA^I S NAHOVDENIQ SOBSTWENNYH ^ISEL ZADANNOJ MATRICY D I WY^ISLENIQ RANGA MATRICY D E DLQ KAVDOGO SOBSTWENNOGO ^ISLA . tAK KAK SOBSTWENNOE ^ISLO UDOWLETWORQET USLOWI@ det(D E) = 0, A MATRICA D IMEET RAZMER 3 3, TO RANG MOVET

32

BYTX RAWEN 1 ILI 2 (RANG RAWEN 0 TOLXKO DLQ NULEWOJ MATRICY, W \TOM SLU^AE D = E, ^TO BYLO BY WIDNO SRAZU). rANG MATRICY RAWEN 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WSE EE STROKI PROPORCIONALXNY DRUG DRUGU. |TO TAKVE PROWERQETSQ LEGKO.

oBOZNA^IM ^EREZ u VORDANOW BAZIS MATRICY D TAK, ^TO Du { EE VORDANOWA FORMA. rANG MATRICY OPERATORA NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA, A EDINI^NAQ MATRICA NE MENQETSQ PRI ZAMENE BAZISA. pO\TOMU rank(D E) = rank(Du E). w TREHMERNOM PROSTRANSTWE KOLI^E- STWO RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISEL I RANGI MATRIC D E ODNOZNA^NO OPREDELQ@T RAZMERY VORDANOWYH KLETOK.

sU]ESTWUET WSEGO TRI RAZLI^NYE VORDANOWY FORMY NEDIAGONALIZUEMOJ MATRICY TRETXEGO PORQDKA, S TO^NOSTX@ DO PORQDKA RASPOLOVENIQ

(ESLI MATRICA DIAGONALIZUEMA, TO ZADA^A SWODITSQ K NAHOVDENI@ SOBSTWENNYH ^ISEL I SOBSTWENNYH WEKTOROW).

eSLI MATRICA TRETXEGO PORQDKA IMEET TRI RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISLA 1, 2, 3, TO ONA DIAGONALIZUEMA (SM. 4.11).

eSLI U MATRICY D DWA RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISLA 1, 2, TO WOZMOVNY 2 WARIANTA. eSLI rank(D 2E) = 1, T. E. GEOMETRI^ESKAQ KRATNOSTX ^ISLA 2 RAWNA DWUM (RANG { \TO RAZMERNOSTX OBRAZA, A GEOMETRI- ^ESKAQ KRATNOSTX { RAZMERNOSTX QDRA OPERATORA D 2E, PO TEOREME 3.9 IH SUMMA RAWNA 3), TO MATRICA DIAGONALIZUEMA PO TEOREME 4.12. eSLI VE rank(D 2E) = 2, TO VORDANOWA FORMA IMEET WID 1. pO FORMULE DLQ STOLBCOW MATRICY OPERATORA (SM. 3.4) DLQ WEKTOROW u1; u2; u3 VORDANOWA BAZISA WYPOLNENY RAWENSTWA

(D 1E)u1 = 0; (D 2E)u2 = 0 I (D 2E)u3 = u2:

wEKTORA u1; u2; u3 W \TOM SLU^AE PRO]E WSEGO ISKATX IZ WYPISANNYH WY[E SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ.

nAKONEC, PUSTX MATRICA IMEET ODNO SOBSTWENNOE ^ISLO KRATNOSTI 3. eSLI rank(D E) = 1, TO VORDANOWA FORMA IMEET WID 2, A DLQ WEKTOROW VORDANOWA BAZISA WYPOLNENY RAWENSTWA

(D E)u1 = 0; (D E)u2 = 0 I (D E)u3 = u2: kROME TOGO, LEGKO PROWERITX, ^TO (Du E)2 = 0, OTKUDA SLEDUET, ^TO (D E)2 = 0. w \TOM SLU^AE WY^ISLENIE WEKTOROW u1; u2; u3 PRO]E WSEGO

33

PROWESTI SLEDU@]IM OBRAZOM: BEREM PROIZWOLXNYJ WEKTOR u3 TAK, ^TOBY (D E)u3 6= 0 (NAPRIMER, ESLI PERWYJ STOLBEC MATRICY D E NE RAWEN NUL@, TO DOSTATO^NO WZQTX u3 = e1). pOLOVIM u2 = (D E)u3 I

ZAMETIM, ^TO (D E)u2 = (D E)2u3 = 0. w KA^ESTWE u1 MOVNO WZQTX L@BOJ SOBSTWENNYJ WEKTOR MATRICY D NE PROPORCIONALXNYJ u2.

oSTALOSX RASSMOTRETX SITUACI@, KOGDA D IMEET EDINSTWENNOE SOBSTWENNOE ^ISLO ALGEBRAI^ESKOJ KRATNOSTI 3 I GEOMETRI^ESKOJ KRATNOSTI 1, T. E. rank(D E) = 2. w \TOM SLU^AE VORDANOWA FORMA IMEET WID (2), A DLQ WEKTOROW VORDANOWA BAZISA WYPOLNENY RAWENSTWA

NAHOVDENIQ WEKTOROW u1; u2; u3 SOSTOIT W SLEDU@]EM. wYBIRAEM PROIZ-

WOLXNYJ WEKTOR u3. wY^ISLQEM u2 = (D E)u3 I u1 = (D E)u2. zAMETIM, ^TO (D E)u1 = (D E)3u3 = 0. tAKIM OBRAZOM, ESLI

u1 6= 0, TO ZADA^A RE[ENA. w PROTIWNOM SLU^AE, PROSTO ZAMENIM u3 NA LINEJNO NEZAWISIMYJ I POWTORIM WY^ISLENIQ WEKTOROW u2 I u1. dAVE ESLI MY DWA RAZA POLU^IM u1 = 0, TO W TRETIJ RAZ NAM OBQZATELXNO POWEZET: MATRICA (D E)2 NENULEWAQ, PO\TOMU QDRO OPERATORA UMNOVENIQ NA \TU MATRICU NE SOWPADAET SO WSEM PROSTRANSTWOM I, SLEDOWATELXNO, NE MOVET SODERVATX 3 LINEJNO NEZAWISIMYH WEKTORA.

pEREJDEM K RE[ENI@ KONKRETNYH ZADA^.

rE[ENIE.

1. mATRICA A IMEET ODNO SOBSTWENNOE ^ISLO = 1. mATRICA

01

34

2. mATRICA B TAKVE IMEET ODNO SOBSTWENNOE ^ISLO = 1. wSE STROKI

RAWEN 1. pOLOVIM u3 = (1; 0; 0)T I WY^ISLIM u2 = (B E)u3 = (1; 3; 4)T. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO (B E)u2 = 0, ^TO I OBE]ALA NAM TEORIQ. w KA- ^ESTWE u1 MOVNO WZQTX L@BOE RE[ENIE URAWNENIQ (B E)u1 = 0, NE PROPORCIONALXNOE u2. |TO URAWNENIE RAWNOSILXNO URAWNENI@ (1; 5; 4)u1 = 0, PO\TOMU MOVNO WZQTX NAPRIMER u1 = (5; 1; 0)T.

KRATNOSTI KOTORYH RAWNY 1 I 2 SOOTWETSTWENNO. rE[IW SOOTWETSTWU@- ]IE ODNORODNYE SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ, NAJDEM SOBSTWENNYE WEKTORA: u1 = (0; 1; 1)T I u2 = ( 2; 0; 1)T . pRI \TOM DOSTATO^NO WZQTX= = 1. gEOMETRI^ESKAQ KRATNOSTX 2 RAWNA 1, PO\TOMU MATRICA NE DIAGONALIZUEMA. sLEDOWATELXNO, ONA IMEET VORDANOWU FORMU 1. dLQ TRETXEGO WEKTORA VORDANOWA BAZISA WYPOLNENO RAWENSTWO (C + 3E)u3 = u2. rE[AEM \TU SISTEMU:

u3 = (3; 2; 0)T.

VORDANOW BAZIS: u1 = (0; 1; 1)T; u2 = ( 2; 0; 1)T; u3 = (3; 2; 0)T:

35

zADA^A 12. vORDANOWA FORMA NILXPOTENTNOJ MATRICY 5 5

nAJTI VORDANOWU FORMU I VORDANOW BAZIS NILXPOTENTNOJ MATRICY

aLGORITM. mATRICA A NAZYWAETSQ NILXPOTENTNOJ, ESLI Ak = 0 DLQ NEKOTOROGO NATURALXNOGO k. pO\TOMU WSE PROSTRANSTWO C5 QWLQETSQ KORNEWYM PODPROSTRANSTWOM Ker A5, SOOTWETSTWU@]IM EDINSTWENNOMU SOBSTWENNOMU ^ISLU = 0. pRIWEDEM ODIN IZ WOZMOVNYH ALGORITMOW NAHOVDENIQ VORDANOWOJ FORMY I VORDANOWA BAZISA MATRICY n n. kOLI^ESTWO WY^ISLENIJ PO \TOMU ALGORITMU W SREDNEM IMEET PORQDOK n3. tEORETI^E- SKU@ OSNOWU ALGORITMA SOSTAWLQET UTWERVDENIE O TOM, ^TO OB_EDINENIE VORDANOWYH CEPO^EK, WYTQNUTYH OT LINEJNO NEZAWISIMYH SOBSTWENNYH WEKTOROW, LINEJNO NEZAWISIMO.

1.wOZXMEM PROIZWOLXNYJ WEKTOR e01 2 Cn I BUDEM DEJSTWOWATX NA NEGO OPERATOROM A, POKA NE POLU^IM 0, T. E. POSTROIM CEPO^KU WEKTOROW e11 = Ae01, e21 = Ae11; : : : ; ek11 = Aek11 1, Aek11 = 0.

2.pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO UVE POSTROENO (m 1) TAKAQ CEPO^KA, PRI-

^EM SOBSTWENNYE WEKTORA ek11; : : : ; ekmm 11 LINEJNO NEZAWISIMY. eSLI KOLI^ESTWO POSTROENNYH WEKTOROW RAWNO RAZMERNOSTI PROSTRANSTWA, TO ZADA^A RE[ENA (SM. 5.5). eSLI NET, PEREHODIM K SLEDU@]EMU [A- GU.

3.bEREM SLEDU@]IJ PROIZWOLXNYJ WEKTOR e0m (HORO[O, ESLI ON NE BUDET LEVATX W LINEJNOJ OBOLO^KE RANEE NAJDENNYH, ODNAKO PROWERKA TOGO, ^TO \TO TAK, TREBUET NEKOTOROGO KOLI^ESTWA WY^ISLENIJ, KOTOROGO HOTELOSX BY IZBEVATX; DLQ SLU^AJNOGO WEKTORA WEROQTNOSTX POPASTX W DANNOE PODPROSTRANSTWO BLIZKA K NUL@).

4.pOSTROIM CEPO^KU, ISHODQ IZ WEKTORA e0m:

5.eSLI ekmm LINEJNO NEZAWISIM S RANEE NAJDENNYMI SOBSTWENNYMI WEKTORAMI, PEREHODIM W NA^ALO [AGA 2. pREDPOLOVIM, ^TO NABOR

CEPO^KI TAK, ^TOBY DLINA POSLEDNEJ CEPO^KI BYLA NAIMENX[EJ

36

SREDI WSEH, KOTORYE REALXNO U^ASTWU@T W LINEJNOJ ZAWISIMOSTI,

T. E. km 6 ki DLQ WSEH TEH i = 1; : : : ; m 1, DLQ KOTORYH i 6= 0.

m 1

wYRAVAEM ekmm W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII: ekmm = P ieki i. pOLU-

i=1

^AEM Akm(e0m) = Akm(v) DLQ NEKOTOROGO v, KOTOROE NETRUDNO NAJTI IZ PREDYDU]EGO RAWENSTWA, PREDSTAWLQQ eki i W WIDE Aki(e0i ).

6.pEREOBOZNA^AEM: e0m := e0m v. eSLI NOWYJ e0m OKAZALSQ RAWNYM NUL@, PEREHODIM K [AGU 2. w PROTIWNOM SLU^AE PEREHODIM K [AGU 4.

oPISANNYJ PROCESS S GARANTIEJ OBORWETSQ, ESLI PEREBRATX WSE WEKTORA IZ KAKOGO-NIBUDX BAZISA PROSTRANSTWA Cn, NAPRIMER STANDARTNOGO. aLGORITM WYGLQDIT ZAPUTANNYM I TREBU@]IM BOLX[OGO KOLI^ESTWA WY- ^ISLENIJ, NO NA SAMOM DELE S BOLX[OJ WEROQTNOSTX@ WY^ISLENIJ O^ENX NEMNOGO. w PRIMERE, KOTORYJ RAZBIRAETSQ NIVE, SLU^AJNYE WEKTORA NAMERENNO WYBRANY TAK, ^TOBY PROILL@STRIROWATX, KAK RABOTAET WESX ALGORITM, DAVE PRI NEUDA^NOM WYBORE WEKTOROW.

rE[ENIE. pO WIDU ZADANNOJ MATRICY A LEGKO ZAMETITX, ^TO SUMMA WTOROGO I ^ETWERTOGO EE STOLBCOW IMEET 3 NULEWYE KOORDINATY, ^TO NEMNOGO UPROSTIT WY^ISLENIQ. pO\TOMU NA PERWOM [AGE UDOBNO WYBRATX WEKTOR e01 = (0; 1; 0; 1; 0)T. tOGDA

tAK KAK POSTROENO WSEGO 3 WEKTORA W 5-MERNOM PROSTRANSTWE, PEREHODIM K [AGU 3. pUSTX e02 = (1; 1; 0; 0; 0)T. nA ^ETWERTOM [AGE WY^ISLQEM:

37

pEREJDQ K [AGU 5, POLU^AEM e22 = 2e21, OTKUDA A2(e02) = A2( 2e01). sLEDOWATELXNO, NA [ESTOM [AGE PEREOBOZNA^AEM:

I DALEE, PEREJDQ K [AGU 4,

sNOWA PEREJDQ K [AGU 5 POLU^AEM e12 = 53 e21, OTKUDA A(e02) = A(53 e11). nA [ESTOM [AGE E]E RAZ PEREOBOZNA^AEM e02 := e02 53 e11 = (1; 3; 5=3; 1=3; 0)

TAK, ^TO A(e02) = 0, I [AG 4, K KOTOROMU MY PEREHODIM, TAK KAK e02 6= 0,

OKAZYWAETSQ PUSTYM. tAK KAK e02 I e21 LINEJNO NEZAWISIMY, TO OT PERWOJ FRAZY [AGA 5 PEREHODIM K [AGU 2. tAK KAK POSTROENO E]E TOLXKO 4 WEKTORA, PEREHODIM K [AGU 3, NA KOTOROM WYBIRAEM e03 = (1; 0; 0; 0; 0)T. nA ^ETWERTOM [AGE WY^ISLQEM

REJDQ K [AGU 5, WYQSNQEM, ^TO SOBSTWENNYJ WEKTOR e13 NE MOVET BYTX LINEJNO NEZAWISIM S SOBSTWENNYMI WEKTORAMI e21 I e02, POLU^ENNYMI NA

38

PREDYDU]IH [AGAH, INA^E [ESTX POLU^ENNYH WEKTOROW BYLI BY LINEJNO NEZAWISIMY, ^TO NEWOZMOVNO W 5-MERNOM PROSTRANSTWE. s DRUGOJ STORONY, e13 I e21 LINEJNO NEZAWISIMY (NE PROPORCIONALXNY), PO\TOMU e02 OBQZAN PREDSTAWLQTXSQ W WIDE IH LINEJNOJ KOMBINACII: e02 = e21 + e13 (W DANNOM SLU^AE NAHODITX KONKRETNYE I NE OBQZATELXNO). pEREOBOZNA^AEM e02 := e02 e21 e13 = 0. pO\TOMU OT [AGA 6 WOZWRA]AEMSQ K [AGU 2.

k NASTOQ]EMU MOMENTU NAJDENY PQTX WEKTOROW: e01, e11, e21, e03 I e13. pO\TOMU NAHOVDENIE VORDANOWA BAZISA ZAKON^ENO. vORDANOWY KLETKI W VORDANOWOJ FORME SOOTWETSTWU@T VORDANOWYM CEPO^KAM, PO\TOMU VORDANOWA FORMA MATRICY A SOSTOIT IZ DWUH KLETOK RAZMEROW 3 I 2. oSTALOSX

VORDANOW BAZIS: u1 = (0; 0; 0; 3; 3)T; u2 = (0; 0; 1; 1; 0)T;

u3 = (0; 1; 0; 1; 0)T; u4 = (3; 9; 5; 2; 3)T; u5 = (3; 10; 0; 10; 0)T.

zAME^ANIE 1. oBRATITE WNIMANIE, ^TO NUMERACIQ KORNEWYH WEKTOROW W NA[EM RE[ENII NE SOWPADAET (TO^NEE, PRQMO PROTIWOPOLOVNO) NUMERACII WWEDENNOJ W OPREDELENII VORDANOWOJ CEPO^KI (SM. 5.5). |TO PROISHODIT POTOMU, ^TO MY STARTUEM NE S SOBSTWENNOGO WEKTORA, A S KORNEWOGO WEKTORA NAIBOLX[EJ WYSOTY I DO WY^ISLENIJ NE ZNAEM, KAKOWA EGO WYSOTA.

zAME^ANIE 2. w PRIWEDENNOM RE[ENII NAM SILXNO NE POWEZLO: ESLI BY MY SRAZU WZQLI e02 = (1; 0; 0; 0; 0)T, TO IZBEVALI BY WSEH WY^ISLENIJ,

SWQZANNYH S WEKTOROM e02 = (1; 1; 0; 0; 0)T, KOTORYE W ITOGE OKAZALISX LI[- NIMI. kAK UVE OTME^ALOSX, WEROQTNOSTX TAKOGO NEWEZENIQ PRI SLU^AJNOM WYBORE WEKTOROW e0i BLIZKA K NUL@.

zADA^A 13. pRIWEDENIE URAWNENIQ KRIWOJ WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU

pREOBRAZOWANIEM, NE MENQ@]IM RASSTOQNIJ, PRIWESTI K KANONI^ESKOMU WIDU URAWNENIE KRIWOJ WTOROGO PORQDKA 14x2 7y2+20xy+8x+34y = 35. nAJTI KOORDINATY EE FOKUSOW W ISHODNOJ SISTEME KOORDINAT.

rE[ENIE. zAPI[EM URAWNENIE DANNOJ KRIWOJ W MATRI^NOJ FORME:

vTBv + 2av = p ;

39