metodich

w NAIBOLEE WAVNOM SLU^AE, KOGDA U = V I f = g MATRICA OPERATORA OBOZNA^AETSQ ^EREZ Lf , A FORMULA PRIOBRETAET WID L(x)f = Lf xf .

3.4.sTOLBCY MATRICY LINEJNOGO OPERATORA. (Lf )k = L(fk)f . |TU FORMULU MOVNO WYRAZITX SLOWAMI: k-J STOLBEC MATRICY OPERATORA L W BAZISE f RAWEN STOLBCU KOORDINAT \LEMENTA L(fk) W BAZISE f.

3.5.pREOBRAZOWANIE MATRICY OPERATORA PRI ZAMENE BAZISA.

Lf = Cf!eLeCe!f ;

GDE e I f { BAZISY PROSTRANSTWA V , A L : V ! V { LINEJNYJ OPERATOR.

3.6.qDROM LINEJNOGO OPERATORA L : U ! V NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TEH \LEMENTOW x PROSTRANSTWA U, DLQ KOTORYH L(x) = 0 (T. E. QDRO LINEJNOGO OPERATORA { \TO PROSTRANSTWO RE[ENIJ URAWNENIQ L(x) = 0). oBOZNA^ENIE: Ker L.

3.7.tEOREMA O STRUKTURE OB]EGO RE[ENIQ NEODNORODNOGO LINEJ-

NOGO URAWNENIQ. pUSTX L : U ! V { LINEJNYJ OPERATOR, f 2 V , A y { RE[ENIE URAWNENIQ L(y) = f. tOGDA MNOVESTWO WSEH RE[ENIJ \TOGO

URAWNENIQ RAWNO y + Ker L = fy + y0 j y0 2 U; L(y0) = 0g.

PREDSTAWIMYH W WIDE y = L(x). oBRAZ OBOZNA^AETSQ ^EREZ Im L. dRUGIMI SLOWAMI, Im L = fL(x) j x 2 V g.

3.9.tEOREMA O RAZMERNOSTI QDRA I OBRAZA. pUSTX ZADAN OPERATOR

L : U ! V , GDE U { KONE^NOMERNO. tOGDA dim Ker L + dim Im L = dim U.

3.10.iNWARIANTNOE PODPROSTRANSTWO. pUSTX L { LINEJNYJ OPERA-

TOR NA PROSTRANSTWE V . pODPROSTRANSTWO U 6 V NAZYWAETSQ INWARIANTNYM OTNOSITELXNO L, ESLI L(u) 2 U DLQ L@BOGO u 2 U.

4.sOBSTWENNYE ^ISLA I WEKTORA

4.1.sOBSTWENNOE ^ISLO I WEKTOR. ~ISLO NAZYWAETSQ SOBSTWEN-

NYM ^ISLOM OPERATORA L, ESLI SU]ESTWUET NENULEWOJ WEKTOR x TAKOJ, ^TO L(x) = x. pRI \TOM WEKTOR x NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA L, OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ^ISLU .

10

4.2.sOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO eSLI { SOBSTWENNOE ^ISLO OPE-

RATORA L, TO MNOVESTWO WSEH RE[ENIJ URAWNENIQ L(x) = x NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM PODPROSTRANSTWOM OPERATORA L, OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ^ISLU . |KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA: SOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO, OTWE^A@]EE SOBSTWENNOMU ^ISLU , { \TO MNOVESTWO SOBSTWENNYH WEKTOROW, OTWE^A@]IH , DOPOLNENNOE NULEM.

4.3.gEOMETRI^ESKAQ KRATNOSTX SOBSTWENNOGO ^ISLA { \TO RAZMER-

NOSTX SOBSTWENNOGO PODPROSTRANSTWA.

4.4.hARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN. eSLI A { MATRICA n n, TO WYRAVENIE A( ) = det(A E) QWLQETSQ MNOGO^LENOM STEPENI n OT PEREMENNOJ . oN NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM MATRICY A. hARAKTERISTI^ESKIM MNOGO^LENOM OPERATORA L : V ! V NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN EGO MATRICY W L@BOM BAZISE PROSTRANSTWA V (ON NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA). kORNI HARAKTERISTI^ESKOGO MNOGO^LENA I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI ^ISLAMI OPERATORA.

4.5.aLGEBRAI^ESKAQ KRATNOSTX SOBSTWENNOGO ^ISLA { \TO KRAT-

NOSTX \TOGO ^ISLA W HARAKTERISTI^ESKOM MNOGO^LENE (KRATNOSTX ^ISLA

W MNOGO^LENE p { \TO NAIBOLX[EE CELOE k TAKOE, ^TO p DELITSQ NA (x )k).

4.6.tEOREMA O LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI SOBSTWENNYH WEKTOROW. sOBSTWENNYE WEKTORA, SOOTWETSTWU@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ^ISLAM, LINEJNO NEZAWISIMY.

4.7.sLED MATRICY OPERATORA NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA I RAWEN SUMME SOBSTWENNYH ^ISEL OPERATORA S U^ETOM IH ALGEBRAI^ESKOJ KRATNOSTI (SLED MATRICY { \TO SUMMA EE \LEMENTOW NA GLAWNOJ DIAGONALI).

4.8.oPREDELITELX MATRICY OPERATORA NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA I RAWEN PROIZWEDENI@ SOBSTWENNYH ^ISEL OPERATORA S U^ETOM IH ALGEBRA- I^ESKOJ KRATNOSTI.

4.9.rANG MATRICY OPERATORA NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA I RAWEN RAZMERNOSTI OBRAZA \TOGO OPERATORA.

4.10.kRITERIJ DIAGONALIZUEMOSTI OPERATORA. L { DIAGONALIZUEM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET BAZIS IZ EGO SOBSTWENNYH WEKTOROW (OPERATOR NAZYWAETSQ DIAGONALIZUEMYM, ESLI SU]ESTWUET BAZIS PROSTRANSTWA V , TAKOJ ^TO MATRICA OPERATORA W \TOM BAZISE QWLQETSQ DIAGONALXNOJ).

11

4.11. dOSTATO^NOE USLOWIE DIAGONALIZUEMOSTI OPERATORA. eSLI OPERATOR L : V ! V IMEET n = dim V RAZLI^NYH SOBSTWENNYH ^ISEL, TO OPERATOR DIAGONALIZUEM. |TO USLOWIE NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM, T. E. SU]ESTWU@T DIAGONALIZUEMYE OPERATORY, U KOTORYH NE WSE SOBSTWENNYE ^ISLA RAZLI^NY.

4.12. kRITERIJ DIAGONALIZUEMOSTI OPERATORA W TERMINAH ALGEBRAI^ESKOJ I GEOMETRI^ESKOJ KRATNOSTI. oPERATOR L DIAGONALIZUEM NAD C TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ALGEBRAI^ESKAQ KRATNOSTX L@BOGO SOBSTWENNOGO ^ISLA RAWNA EGO GEOMETRI^ESKOJ KRATNOSTI.

5.vORDANOWA FORMA

5.1.kORNEWOE PODPROSTRANSTWO. pUSTX HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO- ^LEN LINEJNOGO OPERATORA L RASKLADYWAETSQ NA MNOVITELI

L( ) = ( 1)n( 1)k1 ( s)ks;

GDE WSE ^ISLA 1; : : : ; s POPARNO RAZLI^NY. tOGDA PODPROSTRANSTWO

Ki = Ker(L iI)ki (i = 1; : : : ; s)

NAZYWAETSQ KORNEWYM PODPROSTRANSTWOM OPERATORA L, OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ^ISLU i, A EGO NENULEWYE WEKTORA { KORNEWYMI WEKTORAMI.

sOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO SODERVITSQ W SOOTWETSTWU@]EM KORNEWOM PODPROSTRANSTWE: Ker(L iI) 6 Ker(L iI)ki.

rAZMERNOSTX KORNEWOGO PODPROSTRANSTWA RAWNA ALGEBRAI^ESKOJ KRATNOSTI SOOTWETSTWU@]EGO SOBSTWENNOGO ^ISLA.

5.2. tEOREMA O RAZLOVENII PROSTRANSTWA W PRQMU@ SUMMU KOR-

NEWYH PODPROSTRANSTW. dLQ L@BOGO OPERATORA L, DEJSTWU@]EGO W KOMPLEKSNOM PROSTRANSTWE V , \TO PROSTRANSTWO RASKLADYWAETSQ W PRQMU@ SUMMU KORNEWYH PODPROSTRANSTW OPERATORA L:

V = K1 : : : Ks:

eSLI OPERATOR DEJSTWUET W WE]ESTWENNOM PROSTRANSTWE, TO UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO, ESLI WSE KORNI HARAKTERISTI^ESKOGO MNOGO^LENA OPERATORA L WE]ESTWENNY.

5.3. wYSOTA KORNEWOGO WEKTORA. pUSTX K { KORNEWOE PODPROSTRANSTWO OPERATORA L, OTWE^A@]EE SOBSTWENNOMU ^ISLU . wYSOTOJ WEKTORA x 2 K NAZYWAETSQ ^ISLO h, TAKOE, ^TO (L I)h(x) = 0, NO (L I)h 1(x) 6= 0. sOBSTWENNYE WEKTORA IMEE@T WYSOTU 1.

12

5.4. vORDANOWA FORMA. mATRICA WIDA

NAZYWAETSQ VORDANOWOJ MATRICEJ ILI VORDANOWOJ FORMOJ MATRICY OPERATORA.

tEOREMA. dLQ L@BOGO OPERATORA, DEJSTWU@]EGO W KOMPLEKSNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE, SU]ESTWUET BAZIS, W KOTOROM EGO MATRICA VORDANOWA. tAKOJ BAZIS NAZYWAETSQ VORDANOWYM BAZISOM OPERATORA.

eSTESTWENNO, L@BAQ IZ KLETOK MOVET IMETX RAZMER 1 1. eSLI WSE VORDANOWY KLETKI IME@T TAKOJ RAZMER, TO VORDANOWA FORMA { \TO PROSTO DIAGONALXNAQ FORMA MATRICY OPERATORA.

5.5. vORDANOWOJ CEPO^KOJ , SOOTWETSTWU@]EJ SOBSTWENNOMU ^ISLU , NAZYWAETSQ NABOR WEKTOROW e0; : : : ; ek, UDOWLETWORQ@]IH RAWENSTWAM

(L I)(e0) = 0 I (L I)(e`) = e`i 1 PRI ` > 1:

pRI \TOM ei NAZYWA@T i-M WEKTOROM, PRISOEDINENNYM K e0. o^EWIDNO, i-J PRISOEDINENNYJ WEKTOR QWLQETSQ KORNEWYM WEKTOROM WYSOTY i + 1.

pUSTX WEKTORA e01; : : : ; ek11; : : : ; e0m; : : : ; ekmm OBRAZU@T VORDANOW BAZIS

OPERATORA L TAK, ^TO NABOR e0i ; : : : ; eki i SOOTWETSTWUET i-MU VORDANOWU BLOKU. tOGDA, PO OPREDELENI@ VORDANOWA BLOKA, WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA

(L iI)(e0i ) = 0 I (L iI)(e`i) = e`i 1 PRI ` > 1. tAKIM OBRAZOM, VORDANOW BAZIS SOSTOIT IZ VORDANOWYH CEPO^EK.

6.sAMOSOPRQVENNYE OPERATORY I KWADRATI^NYE FORMY

6.1.sAMOSOPRQVENNYJ OPERATOR. oPERATOR L W UNITARNOM (EWKLIDOWOM) PROSTRANSTWE V NAZYWAETSQ SAMOSOPRQVENNYM, ESLI

L(x); y = x; L(y) DLQ WSEH x; y 2 V .

mATRICA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA W ORTONORMIROWANNOM BAZISE EWKLIDOWA PROSTRANSTWA QWLQETSQ SIMMETRI^NOJ. oBRATNO, OPERATOR UMNOVENIQ NA SIMMETRI^NU@ MATRICU W Rn (SO STANDARTNYM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM) QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNYM. pO\TOMU WSE UTWERVDENIQ PRO SOBSTWENNYE ^ISLA I WEKTORA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA WERNY I DLQ SOBSTWENNYH ^ISEL I WEKTOROW SIMMETRI^NOJ MATRICY.

13

6.2.tEOREMA O SOBSTWENNYH WEKTORAH SAMOSOPRQVENNOGO OPERA-

TORA. sOBSTWENNYE WEKTORA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA, SOOTWETSTWU@- ]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ^ISLAM, POPARNO ORTOGONALXNY.

6.3.tEOREMA O SOBSTWENNYH ^ISLAH SAMOSOPRQVENNOGO OPERATO-

RA. sOBSTWENNYE ^ISLA SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA WE]ESTWENNY.

6.4.tEOREMA O DIAGONALIZUEMOSTI SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA. sU]ESTWUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS, W KOTOROM MATRICA DANNOGO SAMOSOPRQVENNOGO OPERATORA DIAGONALXNA.

6.5.bILINEJNOJ FORMOJ NAZYWAETSQ FUNKCIQ B : V V ! F , UDOWLETWORQ@]EE SWOJSTWAM B( u + v; w) = B(u; w) + B(v; w) I B(w; u + v) = B(w; u) + B(w; v). bILINEJNAQ FORMA B NAZYWAETSQ

SIMMETRI^NOJ, ESLI B(u; v) = B(v; u) DLQ L@BYH u; v 2 V .

6.6.mATRICEJ BILINEJNOJ FORMY B W BAZISE f = (f1; : : : ; fn) NA-

ZYWAETSQ TAKAQ MATRICA Bf , ^TO B(u; v) = uTf Qf vf DLQ L@BYH u; v 2 V .

(nETRUDNO DOKAZATX, ^TO TAKAQ MATRICA SU]ESTWUET, A EE \LEMENT W POZICII (i; j) RAWEN B(fi; fj).)

6.7. kWADRATI^NAQ FORMA. pUSTX B { SIMMETRI^NAQ BILINEJNAQ FORMA NA V . fUNKCIQ Q : V ! F , ZADANNAQ FORMULOJ Q(v) = B(v; v), NAZYWAETSQ KWADRATI^NOJ FORMOJ, ASSOCIIROWANNOJ S B.

dLQ NESIMMETRI^NOJ BILINEJNOJ FORMY A MOVNO WZQTX EE SIMMET-

RIZACI@

B(u; v) = 12 A(u; v) + A(v; u)

TAK, ^TOBY A(v; v) = B(v; v).

pO FORME Q MOVNO WOSSTANOWITX FORMU B S POMO]X@ POLQRIZACII:

B(u; v) = 12 Q(u + v) Q(u) Q(v) :

6.8. mATRICEJ KWADRATI^NOJ FORMY Q W BAZISE f = (f1; : : : ; fn) NA-

ZYWAETSQ TAKAQ MATRICA Qf , ^TO Q(v) = vfTQf vf DLQ L@BOGO v 2 V . (nETRUDNO DOKAZATX, ^TO TAKAQ MATRICA SU]ESTWUET, A EE \LEMENT W POZICII (i; j) RAWEN B(fi; fj), GDE B { ASSOCIIROWANNAQ S Q SIMMETRI^NAQ BILINEJNAQ FORMA.) dRUGIMI SLOWAMI, MATRICA KWADRATI^NOJ FORMY { \TO MATRICA ASSOCIIROWANNOJ S NEJ SIMMETRI^NOJ BILINEJNOJ FORMY.

14

eSLI Q(x) = P aijxixj { KWADRATI^NAQ FORMA W Rn, TO \LEMEN-

16i6j6n

TY MATRICY FORMY Q W STANDARTNOM BAZISE RAWNY: (Qe)ii = aii, A

(Qe)ij = 12 aij PRI i 6= j.

6.9. pREOBRAZOWANIE MATRICY KWADRATI^NOJ FORMY PRI ZAMENE BAZISA. Qf = CeT!f QeCe!f , GDE e I f { BAZISY PROSTRANSTWA V , A

Q : V ! F { KWADRATI^NAQ FORMA.

6.10.pRIWEDENIE KWADRATI^NOJ FORMY K DIAGONALXNOMU WIDU. pUSTX Q KWADRATI^NAQ FORMA NA LINEJNOM PROSTRANSTWE V (NAD PROIZWOLXNYM POLEM, W KOTOROM 1 + 1 6= 0). sU]ESTWUET BAZIS, W KOTOROM MATRICA KWADRATI^NOJ FORMY Q DIAGONALXNA.

6.11.pRIWEDENIE KWADRATI^NOJ FORMY K DIAGONALXNOMU WIDU ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIEM. pUSTX Q KWADRATI^NAQ FORMA NA EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE V . sU]ESTWUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS, W KOTOROM MATRICA KWADRATI^NOJ FORMY Q DIAGONALXNA.

6.12.zAKON INERCII KWADRATI^NYH FORM. pUSTX Q { KWADRATI^NAQ FORMA NA WE]ESTWENNOM LINEJNOM PROSTRANSTWE V , A e I f { RAZLI^NYE BAZISY PROSTRANSTWA V , W KOTORYH MATRICA FORMY Q DIAGONALXNA. tOGDA KOLI^ESTWO POLOVITELXNYH (OTRICATELXNYH) DIAGONALXNYH \LEMENTOW W MATRICAH Qe I Qf ODINAKOWO.

6.13.sIGNATURA WE]ESTWENNOJ KWADRATI^NOJ FORMY. sIGNATUROJ WE]ESTWENNOJ DIAGONALXNOJ MATRICY A NAZYWAETSQ PARA ^ISEL (p; n), GDE p { KOLI^ESTWO POLOVITELXNYH, A n { OTRICATELXNYH DIAGONALXNYH \LEMENTOW MATRICY A.

pUSTX Q { KWADRATI^NAQ FORMA, A f { TAKOJ BAZIS, ^TO MATRICA Qf

DIAGONALXNA. tOGDA SIGNATUROJ FORMY Q NAZYWAETSQ SIGNATURA MATRICY Qf (ZAKON INERCII UTWERVDAET, ^TO SIGNATURA MATRICY Qf NE ZAWISIT OT WYBORA BAZISA f).

15

~ASTX II. pRIMERY RE[ENIQ ZADA^

zADA^A 1. bAZIS LINEJNOJ OBOLO^KI

nAJTI BAZIS LINEJNOJ OBOLO^KI STROK MATRICY

rE[ENIE (1-J SPOSOB). oSU]ESTWLQQ PREOBRAZOWANIQ gAUSSA NAD STROKAMI MATRICY A, PRIWEDEM EE K TRAPECIEWIDNOJ FORME:

(MY PERESTAWILI PQTU@ STROKU NA PERWOE MESTO, SMENILI EE ZNAK, POLU^I- LI NULI W PERWOM STOLBCE, WY^ITAQ IZ WSEH STROK STROKI, KRATNYE PERWOJ, POSLE ^EGO IZBAWILISX OT PROPORCIONALXNYH STROK).

tAK KAK MATRICA B POLU^ENA IZ A PREOBRAZOWANIQMI gAUSSA, TO STROKI MATRICY B PREDSTAWLQ@T SOBOJ LINEJNYE KOMBINACII STROK MATRICY A I, SLEDOWATELXNO, PRINADLEVAT LINEJNOJ OBOLO^KE STROK MATRICY A. kROME TOGO, rank A = rank B = 2, OTKUDA RAZMERNOSTX LINEJNOJ OBOLO^KI STROK MATRICY A RAWNA 2 (SM. 1.11), I W KA^ESTWE BAZISA MOVNO WYBRATX DWE NENULEWYH STROKI MATRICY B: e1 = (1; 1; 4; 3; 4), e2 = (0; 1; 6; 5; 6) (TAK KAK B IMEET TRAPECIEWIDNU@ FORMU, TO EE NENULEWYE STROKI LINEJNO NEZAWISIMY).

rE[ENIE (2-J SPOSOB). |TOT SPOSOB RE[ENIQ OPIRAETSQ NA SLEDU- @]EE UTWERVDENIE: LINEJNYE ZAWISIMOSTI MEVDU STROKAMI MATRICY NE MENQ@TSQ PRI \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIQH STOLBCOW. oSU]ESTWLQQ PREOBRAZOWANIQ NAD STOLBCAMI MATRICY A, PRIWEDEM EE K WIDU

BC

14 0 0 0

SRAZU OPREDELITX, KAKIE PARY EE STROK LINEJNO NEZAWISIMY. nAPRIMER, PERWAQ I ^ETWERTAQ STRO^KI. nO TOGDA, W SILU PRIWEDENNOGO WY[E

16

UTWERVDENIQ, LINEJNO NEZAWISIMU@ SISTEMU BUDUT OBRAZOWYWATX PERWAQ I ^ETWERTAQ STROKI ISHODNOJ MATRICY A. iTAK, e1 = (7; 3; 4; 1; 4), e2 = (2; 1; 2; 1; 2) { BAZIS LINEJNOJ OBOLO^KI STROK MATRICY A.

zAME^ANIE 1. oBRATITE WNIMANIE, ^TO BAZISNYE WEKTORA WO WTOROM SLU^AE WYBIRA@TSQ SREDI WEKTOROW SISTEMY, POROVDA@]EJ LINEJNOE PODPROSTRANSTWO (LINEJNU@ OBOLO^KU STOK MATRICY), W TO WREMQ KAK BAZISNYE WEKTORA, NAJDENNYE PERWYM SPOSOBOM NE OBQZANY PRINADLEVATX SISTEME OBRAZU@]IH.

zAME^ANIE 2. w SLU^AE, KOGDA W ZADA^E RE^X IDET O LINEJNOJ OBOLO^KE STOLBCOW MATRICY, TO, RE[AQ EE PERWYM SPOSOBOM, NUVNO OSU]ESTWLQTX PREOBRAZOWANIQ NAD STOLBCAMI ISHODNOJ MATRICY, A WO WTOROM SLU^AE NAD STROKAMI, OPIRAQSX NA TOT FAKT, ^TO LINEJNYE ZAWISIMOSTI MEVDU STOLBCAMI MATRICY NE MENQ@TSQ PRI \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIQH STROK.

zADA^A 2. bAZIS PROSTRANSTWA RE[ENIJ ODNORODNOJ SISTEMY

nAJTI BAZIS PROSTRANSTWA RE[ENIJ SISTEMY Ax = 0, GDE

0 1

73 4 1 4

URAWNENIQ POLU^AEM x1 = 2x3 2x4 2x4, A IZ WTOROGO x2 = 6x3+5x4+6x4.

tAK KAK WYPISANNYE W POSLEDNEJ FORMULE STOLBCY LINEJNO NEZAWISIMY (MATRICA, SOSTAWLENNAQ IZ NIH, SODERVIT EDINI^NU@ PODMATRICU 3 3), TO ONI OBRAZU@T BAZIS PROSTRANSTWA RE[ENIJ SISTEMY.

17

oTWET: e1 = ( 2; 6; 1; 0; 0)T, e2 = ( 2; 5; 0; 1; 0)T, e3 = ( 2; 6; 0; 0; 1)T. zAME^ANIE 1. s TO^KI ZRENIQ KOMPX@TERNOGO ALGORITMA: KAK TOLXKO

zADA^A 3. bAZIS SUMMY I PERESE^ENIQ

nAJTI RAZMERNOSTX I BAZIS SUMMY I PERESE^ENIQ LINEJNYH PODPROSTRANSTW V1 I V2 W R4, NATQNUTYH NA SISTEMY WEKTOROW: a1 = (1; 2; 0; 1)T,

a2 = (1; 1; 1; 0)T, a3 = (0; 1; 1; 1)T I b1 = (1; 0; 1; 0)T, b2 = (1; 3; 0; 1)T, b3 = (0; 3; 1; 1)T.

rE[ENIE (1-J SPOSOB). tAK KAK V1 + V2 ESTX LINEJNAQ OBOLO^KA SISTEMY WEKTOROW a1; a2; a3; b1; b2; b3, TO BAZIS SUMMY PODPROSTRANSTW MOVET BYTX NAJDEN S POMO]X@ RASSUVDENIJ, PRIWEDENNYH W ZADA^E 1. sOSTAWIM

nA \TOM \TAPE PREOBRAZOWANIJ MOVNO SDELATX WYWODY:

1.dim V1 = rank A = 2; c1 = (1; 1; 1; 0)T, c2 = (0; 1; 1; 1)T { BAZIS V1;

2.dim V2 = rank B = 2; t1 = (1; 0; 1; 0)T, t2 = (0; 3; 1; 1)T { BAZIS V2.

tEPERX, KOGDA NAJDENY BAZISY W PODPROSTRANSTWAH V1 I V2, MOVNO OTBROSITX ^ERTU, RAZDELQ@]U@ MATRICY A I B, I PRODOLVITX PREOBRAZOWANIQ NAD STOLBCAMI:

18

oTS@DA dim(V1+V2) = rank(AjB) = 3, WEKTORA (1; 0; 1; 0)T, (0; 1; 0; 0)T,

(0; 0; 1; 1)T OBRAZU@T BAZIS W V1 +V2. dLQ OPREDELENIQ RAZMERNOSTI PERESE^ENIQ PODPROSTRANSTW WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ gRASSMANA (SM. P. 1.16): dim(V1 \ V2) = 2 + 2 3 = 1.

oSTALOSX NAJTI BAZIS PERESE^ENIQ PODPROSTRANSTW. pUSTX WEKTOR v 2 V1\V2. tOGDA v = c1+ c2 = t1+ t2. oTS@DA c1+ c2 t1 t2 = 0. sOSTAWIM \TU SISTEMU I RE[IM EE:

oTWET: BAZIS V1 \ V2 SOSTOIT IZ ODNOGO WEKTORA (2; 3; 1; 1)T.

rE[ENIE (2-J SPOSOB). oPREDELIM RAZMERNOSTI V1 I V2, WYBEREM W NIH BAZISY I ODNOWREMENNO NAJDEM ODNORODNYE SISTEMY URAWNENIJ, OPREDELQ@]IE DANNYE PODPROSTRANSTWA. s \TOJ CELX@ SOSTAWIM MATRICY A I B, STOLBCAMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORA PERWOJ I WTOROJ SISTEMY SOOTWETSTWENNO:

pREOBRAZUEM RAS[IRENNU@ MATRICU (AjE) METODOM gAUSSA SO STROKAMI TAK, ^TOBY W LEWOJ ^ASTI POLU^ILASX TRAPECEIDALXNAQ MATRICA:

19