Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

.pdf

Скачиваний:

170

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

6.13 Mб

Скачать

☆

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Глава 13. Диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує невідому функцію, її похідні та незалежні змінні.

Якщо функція, що входить у рівняння, залежить від однієї незалежної змінної, то рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Порядок старшої похідної, що входить у дане рівняння, називається порядком рівняння. Звичайне диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд:

		n	0 .
F x, y, y , y ,...,y
Будь-яка функція y x ,	що	задовольняє диференціальному

рівнянню, тобто перетворює його в тотожність, називається розв'язком цього рівняння. Співвідношення x, y 0, що задає неявно розв'язок рівняння, називається інтегралом цього рівняння. Графік розв'язку диференціального рівняння називається його інтегральною кривою. Процес знаходження розв'язку диференціального рівняння називається його інтегруванням.

13.1. Диференціальні рівняння I порядку
Загальний вигляд диференціального рівняння I порядку:
F x, y, y 0 .	(13.1)

13.1.1. Диференціальні рівняння, що розв'язані відносно похідної

Припустимо, що рівняння (13.1) можна розв'язати відносно похідної.


Тоді воно набуває вигляду:	y f x, y .
					(13.2)
Задача знаходження розв'язку рівняння				y f x, y ,	який
			y0 , називається задачею Коші.
задовольняє початкову умову y		x x0

Розв'язок, що задовольняє початковій умові, називається частинним
розв'язком диференціального рівняння.
Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Якщо права
частина f x, y рівняння y	f x, y і її частинна			похідна за у
					f y x, y

визначені і неперервні в області D зміни x і у, то яка б не була внутрішня точка x0 , y0 цієї області, дане рівняння має єдиний розв'язок, який набуває при x x0 заданого значення y y0 .

194

Геометрично це означає, що через кожну точку області D проходить (і лише одна) інтегральна крива.

Загальним розв'язком диференціального рівняння I порядку

називається функція	y x,C , що залежить від однієї довільної сталої C
і задовольняє дві умови:
1) функція	y x,C є розв'язком рівняння при будь-яких

припустимих значеннях довільної сталої C ;

2) довільну сталу C завжди можна вибрати так, щоб задовольнити будь-яку початкову умову y x x0 y0 .

Співвідношення (x, y,C) 0 , що визначає загальний розв'язок у неявному вигляді, називається загальним інтегралом рівняння і являє собою однопараметричну сім’ю інтегральних кривих.

Частинним розв'язком диференціального рівняння (13.1) називається розв'язок, який одержаний з загального розв'язку при певному значенні довільної сталої С. Розв'язок задачі Коші, тобто розв'язок, що задовольняє початкові умови, є частинним розв'язком.

Розглянемо методи інтегрування диференціального рівняння (13.2) для окремих випадків правої частини f x, y .

13.1.2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння (13.2) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його права частина f x, y може бути подана як добуток двох функцій, кожна з яких залежить лише від однієї змінної:

f x, y x y .

Тоді рівняння (13.2) можна переписати у вигляді: dydx x y .

Поділимо обидві частини рівняння на y y 0 dx :

dy x dx .

(13.3)

і помножимо на

195

В останньому рівнянні змінні відокремлені. Вважаючи, що y y x є розв'язок рівняння, одержимо тотожність. Інтегруючи її, знайдемо загальний інтеграл рівняння

x dx C .

Якщо існують значення y ,

при яких функція y обертається в нуль

y1 0, y2 0,...,

то рівняння (13.3)

буде

мати ще і розв'язки

y y1, y y2,...

Приклад. y

x2 1

Розв'язання. Це рівняння з відокремлюваними змінними.

Припускаючи, що y 0

, відокремимо змінні:

x2 1

Після інтегрування одержимо: ln

x2 1

Звідки y C x

1 (загальний розв'язок рівняння).

Розв'язок y 0 міститься в загальному розв’язку при C 0 .

До рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою заміни змінних приводяться й рівняння вигляду

y f ax by c .

Зробимо заміну змінної, приймемо за нову функцію z ax by c . Тоді z a by . Враховуючи, що y f z , одержимо

z a bf z .

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні й інтегруючи, знайдемо


				dz	C x .

				a bf z
	Приклад. y	x y 1	.
	Приклад. y		.
		x y
	Розв'язання. Права частина цього рівняння є функція від						x y .
Тому,	вважаючи	z x y ,			одержимо:	z 1 y	або

196

z 1

z .

Відокремлюємо змінні zdz dx

та інтегруємо

z 2 2x C .

Оскільки

z x y , то загальний інтеграл

рівняння має

вигляд: x y 2 2x C .

13.1.3. Однорідні диференціальні рівняння

Розглянемо диференціальні рівняння першого порядку, які пов'язані з поняттям однорідної функції.

Функція f x, y називається однорідною функцією k того степеня,

якщо виконується тотожність			f tx,ty t k f x, y .
Наприклад, f x, y			x y	–		однорідна функція з показником

		x	2 y 2
		x	2 y 2
однорідності k 1, бо
f tx,ty	tx ty				1 x y		t 1 f x, y .

	t 2 x2 t 2 y 2				t x2 y 2
	t 2 x2 t 2 y 2				t x2 y 2

Функція f x, y x2 y 3xy 2 8y3 – однорідна 3-ого степеня.

Функція f x, y xy sin xy – однорідна нульового степеня.

Якщо функція f x, y є однорідною нульового степеня, то вона задовольняє тотожності f tx,ty f x, y й її завжди можна подати як

функцію відношення xy . Дійсно, поклавши в тотожності t 1x , одержимо

f 1,

y	f x,
	f x,
x

f x, y

y . Ліва частина одержаної рівності залежить лише від

y .x

Рівняння (13.2) називається однорідним, якщо його права частина f x, y є однорідною функцією нульового степеня.

Запишемо однорідне рівняння (13.2) у вигляді:

y y .

197

За допомогою заміни змінної це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними:

x z x y xz,

z xz

Підставивши ці вирази до рівняння, знайдемо

z xz z або

xz z z .

Поділяючи змінні й інтегруючи, одержимо загальний інтеграл

рівняння

z z

При відокремлюванні змінних ми ділимо на z z , припускаючи,

що цей вираз відмінний від нуля. Якщо ж існує таке значення

z0 , при

якому z0 z0

0 , то маємо ще розв'язок z z0

або y xz0 .

2xy

Приклад.

x2 y 2 .

Розв'язання.

Це

однорідне

диференціальне рівняння,

бо

f x, y

2xy

–

однорідна

функція

нульового степеня.

Для

його

x2 y 2

розв'язання вводимо

нову

функцію

z x x y xz,

Відносно нових змінних рівняння має вигляд:

Після інтегрування знайдемо: ln z

	z	Cx (C 0) .	Підставляючи значення

1 z 2
інтеграл рівняння			x2 y2 C y (C 0) .

z 0 y 0.

1 z 2

z 1 z 2 dz

ln 1 z 2 ln

або

одержимо загальний

Крім

того,

розв'язком



Рівняння вигляду	y		a1x b1 y c1					приводиться до

		f a			x b	y c
				2	2		2
однорідного диференціального рівняння за допомогою заміни змінних.
Зауважимо, що якби c1	і c2	дорівнювали нулю, то рівняння було б

однорідним (у цьому можна було б переконатися, поділивши чисельник і знаменник на x ).

198

Рівняння a1x b1 y c1 0 і a2 x b2 y c2 0 визначають дві прямі. Для знищення в рівняннях прямих вільних членів треба перенести початок координат у точку перетину цих прямих. Розв'язуючи систему рівнянь

a x b

y c

знайдемо точку перетину прямих (x0 , y0 ) .

a2 x b2 y c2 0,

Заміна змінних x x0 , y y0 ,

приводить до рівняння

a1 b1

. Це є однорідне диференціальне рівняння.

d f a b

Розглянутий метод не можна застосовувати, якщо прямі паралельні.

У цьому випадку коефіцієнти при поточних координатах пропорційні

і диференціальне рівняння може бути записане у вигляді:

a1x b1 y c1

F (a1x b1 y) .

k(a1x b1 y) c2

Отже,

заміна

змінної

z a1x b1 y перетворить

рівняння в

рівняння

відокремлюваними змінними.

x y 1

Приклад. y

x y 3 .

x y 1 0,

Розв'язання.

Розв'язуючи систему рівнянь

знайдемо

x0 1,

y0 2 .

Вважаючи x 1, y 2 , будемо мати

або

Заміна

змінних

або

приводить

до

рівняння

відокремлюваними змінними: z

1 z

Відокремлюємо змінні:

1 z dz

2z z 2

199

Інтегруємо:

1 2z z 2 2

C .

1 2z z 2

Підставляючи

, одержимо

2 2 2

C . Повертаючись до

старих змінних, знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння

x	2 2xy y2 2x 6y C .
	1
13.1.4. Лінійні диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння називається лінійним, якщо y і y		входять
до нього лінійно, тобто в першому степені:
	A x y B x y C x .
Оскільки A x 0 , то рівняння приводиться до вигляду:
	y p x y f x ,	(13.4)
де f x – права частина лінійного диференціального рівняння.
Якщо f x 0 , то	рівняння називається однорідним	лінійним

рівнянням. Якщо f x 0 , то маємо неоднорідне лінійне рівняння. Однорідне лінійне рівняння являє собою рівняння з

відокремлюваними змінними:

y p x y 0 dyy p x dx .

Після інтегрування одержимо загальний розв'язок однорідного лінійного рівняння:

y Ce p x dx .

Для розв'язання неоднорідного лінійного рівняння застосуємо метод варіації довільної сталої: розв'язок шукаємо в тому ж вигляді, що і розв'язок однорідного рівняння, але вважаємо С невідомою функцією x , тобто

y C x e p x dx ,

C x e

p x dx

C x e

p x dx

p x .

Підставимо отримані вирази у рівняння (13.4):

C x e

p x dx

C x e

p x dx

p x p x

C x e

p x dx

f x .

Після спрощення одержимо

p x dx

C x f x e

200

Інтегруючи, знаходимо C x

C x f x e p x dxdx C1 .

Загальний розв'язок неоднорідного лінійного рівняння має вигляд:

y x C1e

p x dx

x e

p x dx

u x V x ,

dx e

де u x

V x – частинний

– загальний розв'язок

однорідного рівняння;

розв'язок неоднорідного рівняння C1

0 .

Приклад 1. x2

1 y xy x x2 1 .

Розв'язання. Поділимо дане рівняння на x2

1 :

x2 1 y x .

Розв'язуємо рівняння без правої частини

x2 1 u 0 .

Відокремлюємо змінні

1 dx та інтегруємо

ln x2 1 ln

Звідки

x2 1

Розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:

C x

x2 1 ,

x2 1 x2 1 3 2 x .

Підставляємо отримані вирази до рівняння:

C x

x2 1 C x x2 1 3 2

x2 1

x2 1 x .

Звідки

1 ,

C x x

C x x2 1 3 2 C .

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд

x2 1

u V .

x2 1

201

Приклад 2. x 2yx y2 dy y2dx 0 .

Розв'язання. Це диференціальне рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від у. Дійсно,

	y 2	dx		1 2 y x y 2 .
	y 2	dy		1 2 y x y 2 .
		dy
Поділимо все рівняння на y 2 y 0 :						dx		1 2 y	x 1.
Поділимо все рівняння на y 2 y 0 :									x 1.
						dy		y 2
1.	Знаходимо розв’язок однорідного рівняння. Це рівняння з
відокремлюваними змінними:
			dx		2 y 1		dy .
							dy .
			x		y 2

Після інтегрування знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння:

ln x ln y 2 1y ln C x Cy 2e y .

2. Застосовуючи метод варіації довільної сталої, шукаємо загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння у вигляді:

			1							1			1		1
										1			1
x C y y							y y				C y
	2		y					2		y			y		y
		e		,	x	C			e			2ye		e		.

Знайдені x та x підставимо у рівняння:

		1
	2
		y
		y	C y	2 ye

C y y e

1	1	1
			1 2 y
y e y				C y y 2e y	1,


			y 2

			1			1
		1			C y e
або після спрощення:		1		y			y	C1.
			e

	C y	y 2
		y 2

		1

			y
Остаточно	x e
Остаточно


	y 0.

		1	1
	y 2e
C	y 2e	y	y 2 C y 2e y ,
1			1

202

13.1.5. Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння вигляду

y p x y f x y

0, 1

називається рівнянням Бернуллі.

Це рівняння зводиться до лінійного рівняння за допомогою заміни

змінної. Поділимо все рівняння на y :

y y p x y1 f x

і зробимо

заміну змінної

z x . Тоді z 1 y y . Підставимо у рівняння:

p x z f x .

Одержали лінійне неоднорідне рівняння.

Приклад. xy y y 2 ln x .

Розв'язання. Поділимо на y 2 y2

0 : xy 2 y y 1

ln x .

Робимо заміну: z x y 1,

z y 2 y .

Рівняння набуває вигляду: xz z ln x .

1. xu

u 0,

u x ,

u Cx .

2. z x C x x,

x C

x x C x ,

xC x C x x ln x

ln x

C x x

C x x2 .

C x

ln x

C , z ln x 1 C x ,

z C1x ln x 1

Рівняння має ще додатковий розв'язок y 0 .

Лінійні рівняння та рівняння Бернуллі можна розв'язувати ще й іншим методом. Пояснимо цей метод на прикладі цього ж рівняння Бернуллі:

xy y y 2 ln x .

Подамо невідомий розв'язок y x у вигляді добутку двох інших

невідомих функцій u u x та v v x , тобто

y u v, y u v v u .

Після підстановки y та y у вихідне рівняння воно набуває вигляду x u v v u u v u 2v2 ln x ,

203

1 / 241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб8krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб19kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
09.09.201992.61 Кб0kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб44Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб170Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб230Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб12Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб12Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx
#
24.11.2019782.85 Кб9KURSAChmarketing(нетбук).doc