Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

Глава 5. Основи диференційного числення для функції однієї змінної

5.1. Похідна

Похідною функції y=f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, і позначається:

Поняття похідної широко використовується в багатьох областях. Так, наприклад, якщо функція y=f(x) описує закон руху матеріальної точки, то в цьому випадку похідна визначає миттєву швидкість точки в момент часу x. Якщо функція y=f(x) визначає кількість електрики у, що протікає через поперечний переріз провідника за час x, то f x буде визначати

силу струму, що проходить через поперечний переріз провідника в момент часу x. Теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою і т.д.

Найпростіші правила обчислення похідних

також мають похідні в цій точці, які обчислюються за формулами, поданими в табл. 5.1.

Таблиця 5.1 − Правила обчислення похідних

cu cu

u v u v

u v u v uv

З таблиці видно, що:

266

постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто

cu cu ;

похідна від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі

похідних доданків, тобто u v u v ;

похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох добутків: похідної

першої функції на другу та похідної другої функції на першу, тобто

u v u v uv ;

похідна частки дорівнює дробу, знаменник якого є квадратом даного знаменника, а чисельник – різницею добутків: похідної чисельника на

похідної даної функції за проміжним аргументом та похідної проміжного аргументу за незалежною змінною.

267

Приклад 3. Знайти похідну функції y tg12 3cos x 4x .

Розв’язання. Дана функція є степеневою функцією, основою якої є складна функція. Знаходження похідної будемо виконувати послідовно, використовуючи правила диференціювання складної функції. Перш за все

обчислимо похідну степеневої функції за формулою un n un1 u , де u tg 3cos x 4x , n 12 .

y 12 tg11 3cos x 4x tg 3cos x 4x .

Надалі знайдемо похідну від тангенса, потім від його аргументу, тобто від

Зауваження. На практиці проміжні аргументи u,v, w,... зазвичай не вводяться, при знаходженні похідних необхідно завжди аналізувати аргумент тієї функції, від якої береться похідна.

Приклад 4. Знайти похідну функції

Розв’язання. Дана функція є сумою двох доданків. Перший доданок в свою чергу є добутком, а другий – часткою. Тому послідовно використовуємо правила диференціювання суми, добутку, частки, а також складної функції.

3 3sin2 2x

y 1 3x 5 2 arctg 3x 5 3sin2 2x ln 3 2sin 2x cos 2x 2

269

є тотожністю, коли в ньому у замінюється функцією f(x), то говорять, що y=f(x) є неявною функцією, яка визначається даним рівнянням (5.1). Для того щоб знайти похідну y функції y=f(x), яка задана неявно рівнянням

(5.1), треба продиференціювати обидві частини тотожності F(x,y(х)) 0 за змінною x, користуючись правилом диференціювання складної функції. Потім отримане рівняння розв'язати відносно y .

Приклад. Знайти похідну функції y y x , яка задана рівнянням

Логарифмічне диференціювання

Нехай функція y=f(x) має похідну y f x , яку важко обчислити за

допомогою тих правил та формул, що були наведені раніше, але натуральним логарифмом цієї функції ln f(x) є функція, яка диференціюється без зайвих зусиль. Тоді для знаходження похідної застосовується метод логарифмічного диференціювання, який полягає в послідовному логарифмуванні початкової функції ln y=ln f(x), а потім диференціюванні її як функції, що задана неявно. Тоді якщо ln y x , то

після диференціювання одержимо

y x , y

270

звідки знаходимо

Розв’язання. Формули для диференціювання даної функції в таблиці немає. Скористуємось методом логарифмічного диференціювання. Прологарифмуємо цю функцію:

ln y 1x ln x3 5x2 .

Диференціюючи обидві частини рівності, знаходимо

Розв’язання. Безпосереднє обчислення похідної цієї функції є громіздким, в той час як натуральний логарифм y легко диференціюється. Прологарифмуємо цю функцію:

ln y 13 ln x ln x2 1 2ln x2 1 .

Диференціюємо обидві частини тотожності, розглядаючи у як функцію від х, тоді

звідки

271

Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі

Похідна функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до неперервної кривої в цій точці. Звідки отримаємо, що рівняння невертикальної дотичної до кривої y=f(x) в точці M0 x0 , y0 має вигляд

y y0 y x0 x x0 .

Рівняння вертикальної дотичної x x0 .

Нормаллю до кривої в точці M0 x0 , y0 називається пряма, яка є перпендикулярною до дотичної, що проведена до кривої в даній точці.

5.2. Диференціал функції

Функція y=f(x) називається диференційованою в даній точці x, якщо приріст y цієї функції в точці x, який відповідає приросту аргументу x, може бути подано у вигляді

де A – деяке число, яке не залежить від x, а – функція аргументу x, яка є нескінченно малою при x 0 . Головна частина приросту функції A x , лінійна відносно x , називається диференціалом функції і позначається dy A x .

Теорема. Для того щоб функція y=f(x) була диференційована в точці x, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.

272

При доведенні цієї теореми з’ясовується зміст А, а саме встановлюється, що

A y x .

Враховуючи цю рівність, формулу для диференціала функції можна записати так:

На основі цієї теореми можна ототожнювати поняття диференційованості функції в даній точці з поняттям існування похідної функції в цій точці. Тому операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційована в точці x, то вона неперервна в цій точці. Зворотнє твердження не завжди правильне.

Наприклад, функції у= x (рис. 5.1,а), y 3x (рис. 5.1,б) є неперервними в

точці х=0, однак вони не диференційовані в цій точці.

Диференціал незалежної змінної х дорівнює її приросту, dх= x , тому формулу (5.3) можливо записати як

Вираз (5.4) ми називатимемо канонічним виразом диференціала функції. З

цієї формули маємо, що y dydx , тобто похідну від функції y за x можна

розглядати як частку від ділення диференціала функції y на диференціал (приріст) незалежної змінної dx.

273

dx є не тільки диференціалом, але і приростом x аргументу x, якщо x – незалежна змінна. Якщо аргумент x є в свою чергу функцією деякої змінної t, то dx є диференціалом x, який не збігається з x .

Застосування диференціала до наближених обчислень

При достатньо малому x можна замінити приріст функції її диференціалом, тобто f x0 x f x0 f x0 x .

І звідси знайти наближене значення шуканої величини за формулою

сама є диференційованою в деякій точці x інтервалу a,b , тобто має в цій

точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною (або

похідною другого порядку) і позначається як y y f x .

Так само можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і взагалі похідної n -го порядку.

Для похідної n -го порядку справедливі правила:

1.u v (n) u(n) v(n) ;

2.cu (n) cu(n) , c const ;

Формула (5.6) називається формулою Лейбніца.

275