Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Другий спосіб

Порівняємо підінтегральну функцію в малому околі точки х=0 з

нескінченно великою в цьому околі функцією																1	, де		1		1. Маємо:
нескінченно великою в цьому околі функцією															x		, де				1. Маємо:
	ln sin		x						ln sin x						x		2
lim				:	1	lim								lim							cos x
					1																cos x
																									1
x 0		x			x			x 0	1					x 0						1					1
		x			x															1
										x 2							sin x					x			2


																				2
							1						1									1

						x 2						x 2
		1							1							1		lim x						0 .
		1		lim					1		lim					1							2
				lim							lim												2
2		x 0 sin x								2 x 0			x	2		x 0

Таким чином, порядок зростання підінтегральної функції нижчий, ніж

порядок зростання нескінченно великої функції 1 , ( 1 1). Оскільки x 2

інтеграл

збігається

при

то

за

ознакою

порівняння

досліджуваний інтеграл також збігається.

8.3. Головні значення невласних інтегралів

x dx і

Визначення. Якщо при 0 існують власні інтеграли

f x dx ( a c b ), то під головним

значенням

у сенсі

Коші (v.p.)

розуміють число

v.p. f

x dx lim

x dx

f x dx .

f x dx

x dx .

Аналогічно

v.p.

lim

Приклади

1 x

ln 1 x

1. v.p.

lim

arctg x | A

| A

1 x

A arctg

1 A2

lim

A .

lim

arctg

2arctg

1 A

476

2. Обчислити J v.p.

Розв'язання. Особливі точки підінтегральної функції x 1 і x 2;

A 2 .

x 2

1 1

x 2

2 2

x 2

J lim

lim ln

1 0

x 1

2 0

1 1

2 2

ln 2 lim		1 1	ln	1	2	lim ln	B 2	ln	1	.
	ln

		1 1		1	2		B 1		2
1 0						B
2 0

Контрольні приклади та запитання до гл. 8

Спочатку рекомендуємо читачеві разом з нами розв’язати декілька типових задач, замінюючи знак необхідними числами або

виразами.

Приклад 8.1. Дослідити збіжність інтеграла

Розв'язання. Точка розриву підінтегральної функції

x 0.

Перетворимо підінтегральну функцію у такий спосіб:

f x

x 4

1 2x12 x 4

тобто виділимо головну частину.

При

x 0

будемо

мати

f x * .

Оскільки інтеграл

збігається,

то

досліджуваний

інтеграл

також

x *

збігається.

xdx

Приклад 8.2. Дослідити збіжність інтеграла

x 4 1

Розв'язання. Застосуємо ознаку

збіжності

формі

нерівності.

Інтеграл , оскільки при x 1 виконується нерівність

x4 1

477

аінтеграл 3 x2 .

Приклад 8.3. Знайти невласний інтеграл

x2 2x 2

Розв'язання. Оскільки область інтегрування необмежена, то даний

невласний інтеграл є інтегралом

-го роду. Всередені інтервалу ;

функція розривів не має (оскільки знаменник не перетворюється на 0).

arctg

2x 2

x 1

Отже, досліджуваний невласний інтеграл збігається і дорівнює .

Приклад 8.4. Знайти невласний інтеграл dx .

0 x 1 2

Розв'язання. Всередені області інтегрування функція зазнає розриву. Отже, досліджуваний інтеграл необхідно розбити на суму двох невласних інтегралів -го роду.

2 =

0 x 1

x 1

2 lim

x 1

2 lim

x 1

lim

, то він розбігається.

Оскільки невласний інтеграл дорівнює

Приклад 8.5. Знайти площу, обмежену кривою

y e x / 3

і віссю Ох

при x 0 .

Розв'язання

Площу криволінійної трапеції знаходимо за формулою

S f x dx .

a
У даному випадку f x e x / 3 ,	a , b , і ми отримаємо
невласний інтеграл 1-го роду:

478

			0 e0 .
S e x / 3dx e x / 3




При обчисленнях використовували значення такої границі:

lim e x/3	lim	1	1	, тобто площа дорівнює 3 кв. од.

x	x ex/3

Лабораторна робота 8. Обчислення невласних інтегралів у системі Maple

Завдання. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити, якщо вони збігаються.

Виконання. Для обчислення невласних інтегралів використовується команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна функція, var – змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі інтегрування.

1)1 1 x2 dx ,

> int(1/(1+x^2),x=1..infinity);

14 .

	arctgx
2)				dx ,
	3
0	1 x	2
			2

> int(arctan(x)/((1+x^2)^(3/2)),x=0..infinity);

12 1.

	1
3)	1		dx ,


e x ln x 3		2

> int(1/(x*ln(x)^(3/2)),x=exp(1)..infinity);

	x ln x
4)		dx ,
4)	1 x2 3	dx ,
0	1 x2 3

> int(x*ln(x)/(1+x^2)^3,x=0..infinity);

–1/8.

479

2 1

5)1 x ln x dx ,

> int(1/(x*ln(x)),x=1..2);

1 1

6)0 1 x2 21 x2 dx ,

> int(1/(1-x^2+2*sqrt(1-x^2)),x=0..1);

3 .

1	1
7)	1	dx ,


	x sin x
0	x sin x
0

> int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1);

Якщо інтеграл не виражається через елементарні функції, то Maple повертає вираз.

1		1
		1	dx ~ .

	1
0 x ~	1
		sin x ~
	2	sin x ~
Щоб		з'ясувати, збігається даний невласний інтеграл чи ні, можна

обчислити його чисельно. Для цього призначено команду evalf(int(expr,var=val1..val2)).

> evalf(int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1));

5.110412535.

1 ex

8)0 31 x3 dx

>int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1);

1	exp(x)
		dx .
	1 x3 13
0

> evalf(int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1));

2.228028318.

1 sin x

9)0 x5 dx ,

> int(sin(x)/x^5,x=0..1);

480

Контрольні завдання до гл. 8

Завдання 1. Дослідити збіжність невласних інтегралів та обчислити.

8.1.1. xe 3xdx

8.1.4. xexdx

8.1.7. xdx x4 9

	3
			dx
8.1.10.			dx

		x		x 1
2		x		x 1
2

8.1.13. dx

1 x 1 x2

8.1.16. xsin xdx

8.1.19. e x cos xdx

8.1.22. xdx

1 1 x 2

8.1.25. x ln xdx

8.1.28. ln x dx x3

x2dx

8.1.2. 1 x6

8.1.5. lnxx dx

8.1.8. x dx

x2 1 2

8.1.11. xdx

0 1 x 3

8.1.14. x3e x2 dx

8.1.17. e x sin xdx

arctg x
8.1.20.		dx
8.1.20.	x2	dx
1
	dx
8.1.23.	dx

	1 x3
0
	arctg x
8.1.26. 0	arctg x		dx

	1 x2 3/2
0
8.1.29. xexdx

8.1.3.

x2 4x 5

8.1.6.

1 x

8.1.9.

x2 x 1

8.1.12.

x x

8.1.15. xe x2 dx

8.1.18.

(1 x )4

8.1.21.

x2 1 2

x ln x

8.1.24. 0

1 x2 2

x2 1

8.1.27.

1 x4

2 3x

8.1.30.

2 x x2

481

Завдання 2. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити.

1						dx				1
8.2.1.						dx					8.2.2. ln xdx

	2 x
	2 x								1 x
0										0
2					dx					2					x3
8.2.4.					dx						8.2.5.				x3						dx

				x			1		2
									2					4 x				2
1 3										0				4 x
6					dx					1			2/ x
8.2.7.													2/ x
											8.2.8.	e					dx
		3										x2
		3	x				4		2			x2
2			x				4			0
2										2
2					x					2						2 x
8.2.10.					x			dx			8.2.11.					2 x				dx
8.2.10.								dx			8.2.11.									dx
1					x		1			0						2 x
1										0
2								dx		3					x2dx
8.2.13.								dx			8.2.14.				x2dx

			x x				2x x								9 x				2
0			x x				2x x			0					9 x
0										0

8.2.3. dx

1 1 x2

8.2.6. x dx

2 4x2 4

8.2.9. dx ex 1

8.2.12. dx

x2 6x 8

8.2.15. sin x cos x dx 3 sin x cos x

4							2					dx
8.2.16.				dx			8.2.17.					dx				8.2.18.		cos x					dx
																		cos x					dx

		x x									2			1
0		x x					0					x		1		0					sin x
0							0									0
1/ 4																6
1/ 4					dx											6				2 x
8.2.19.					dx		2									8.2.21.				2 x
							8.2.20.																		dx
										tg xdx
																				x 6
				x 2x 1																x 6
1/ 2							0									3
							0
2			dx				3						dx			2		xdx
8.1.22.			dx				8.1.23.						dx			8.1.24.		xdx

	x ln2 x							x2 4x 3
	x ln2 x							x2 4x 3												x 1
1							0									1
4							1/e									5
4				xdx			1/e				dx					5								dx
8.1.25.				xdx			8.1.26.				dx					8.1.27.								dx

		x 1							x ln x										x 3 5 x
1		x 1					0		x ln x							3			x 3 5 x
1				xdx			1	x 2								1	3x2 2
8.1.28.							8.1.29.								dx	8.1.30.										dx
								5									3
		1 x				2		5				x	3				3				x	2
1		1 x					1					x				1					x
1							1									1

482

Завдання 3. Дослідити збіжність невласних інтегралів.

		ex 1			ln x		1
8.3.1.			dx	8.3.2.		dx	8.3.3. x ln xdx
	x2	2x 5			x2 7
0				1			0

/4 ln				tg x 1
8.3.4.												dx
8.3.4.							x		3			dx
0							x
0
2		ln							1
2		ln					x		1
8.3.7.											dx
8.3.7.			e3x 1								dx
0
	2			dx
8.3.10.				dx


			e		x		1
	0		e				1
	0
	2 cos						x		1
	2 cos								1
8.3.13.						2				dx

							x	5
	0						x
	0

8.3.16. 1 sin2x x dx

8.3.19. 1 1 cos3 x dx x3 sin 3 2x

2	arcsin x2
8.3.22.						dx
		4
	x	4	2	x	5
0	x		2	x
0

cos 2x 8.3.25. 1 x dx

e xdx

8.3.28. x

1 ecos x

8.3.5. 5 x dx

8.3.8. x dx

esin x 1

8.3.11. ex ctg xdx

arc tg 2x
8.3.14.							dx

		17			x	3
1		17			x
1
4			sin x 1
8.3.17.			sin x 1


	x arc tg					x	2	1
1	x arc tg					x		1
1
1		tg x sin x
8.3.20.								dx
8.3.20.			x	4				dx
0			x
0
ln 1 x
8.3.23.							dx
8.3.23.			x	3			dx
0			x
0

8.3.26. ln xdx 1 x2

1			x2
8.3.6.			x2				dx

		1 x				4
0		1 x
0
1			dx
8.3.9.			dx
	7
	7	1 x				2
0		1 x
0
/2 sin xdx
8.3.12.
8.3.12.				x3
	0
ln x
8.3.15.						dx
8.3.15.			x5			dx
	1
			2x 5 2 xdx
dx 8.3.18.			x6 6x 1
	4
0 1 cos 1 x
8.3.21.								dx
8.3.21.						3		dx
1			x 1
1
				x
8.3.24.				x			dx

			1 x3
	0
				dx
8.3.27.				dx

					x3
				x	x3
	0

2
8.3.29.	dx	8.3.30.	sin2 xdx
	ln x		x
0		0

483

Відповіді до контрольних прикладів

Глава 1

1.1. а) 2	0	;		4	3		в)	25	10	.
			б)			;
0	2			5	2			14	1

				1			3
		2		1			3
									; 1 3									3		6
1.2.		3		0			6											3		6			9 .
1.2.		3		0			6																9 .
																	5		7
			5	0	7												5		7						1									2		3
			5	0	7														1 4									1 ; 1 ;			1 4
1.3.			3	1 2		; 2				1 1 ;						1 ;																					5 ;
1.3.			3	1 2		; 2				1 1 ;						1 ;								1													5 ;
																								1	2									1		1

																		1			4				3				1		4		3
A31 1 4							2 3										. 1								3
A31 1 4							2 3						;		4		. 1				5				3			; 1			5		3		.
							1			0
							1			0
																		1			6				4					1	6	4
																									4


			1		2					3				4				4			1				2			3 4			4
			1		2					3				4				4			1				2			3 4			4
				0		1 1								1			3						0		1 1 1						3
				0		1 1								1			3						0		1 1 1						3
1.4. 1)																			; 2)													,
1.4. 1)				1 3						0				3				1	; 2)							0 5		3		1	3	,
				1 3						0				3				1								0 5		3		1	3



				0	7 3									1			3						0		7 3				1		3
																	3														3

	1	2		3				4											2						4
	1	2		3				4			4
				1								3						1					3				4
	0 1				1																						4
	0 1				1											,		0 1				1			1	3			; 3) 3		, 3 ; 4)				a)	; 5)		б)	.

	0	0		2				4			12
																											6
																		0	0				1		2


	0	0		4	8							24
												24

Глава 2.

2.1. cos	32 4	12



	16 4 8	64 36 48

	16			4	,
	28	52		91

	arccos		4		.

		91

										CD		4k ,
2.2. AB 3i 6 j							6k		,		5 j


np CD 3 0						6 5		4 6			54
													6	.
											9
AB				9 36 36

484

a,b 0

2.3. Якщо a b , то

7 20

0 ;

4 20 ;

5 . 2.4.

Якщо

x 0z ,

то

координата

0 ,

x,a 3x

9 ,

x,b x

4 .

2 y

x 2

Розв’язуючи

систему:

одержимо:

2 y

Відповідь: x 2; 3 ; 0

2.5.S 3 a, a 4 b,b 2 a,b 6 b, a

		0 0		8	a,b		8 5 5				2
											2			100 2		.
														100 2		.
										2



2.6.	AB i 2 j 4k ;					AC 5i			4 j				8k ;
			i	j	k


AB, AC
AB, AC			1	2	4		0 i	28 j				14k			.
			5	4	8

S 12 0 282 142 75 , AC 25 16

	2	21 .
	3
2.7. AB 1,3,			3 , AC 0,	4 ,2 , AD 3,1, 4	.

Умова компланарності трьох векторів: AB,

64	105 , BD	2 7	5
		105

AC, AD 0 .

				1		3	3
Знайдемо: AB, AC, AD				0		4	2		0 вектори компланарні.
				3		1	4
2.8. AB 3, 3 ,0 , AC 4,0,
2.8. AB 3, 3 ,0 , AC 4,0,					4 , AD 5 ,2,0 .
	3	3	0
	3	3	0
AB, AC, AD	4	0	4		84 , V			1	84 14	.
AB, AC, AD	4	0	4		84 , V			6	84 14	.
								6
	5	2	0

485

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019753.66 Кб11KP_TVP.doc
#
26.08.20191.18 Mб8krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб19kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
09.09.201992.61 Кб0kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб44Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб170Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб230Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб12Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб12Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx