Лекція 5

Криволінійний інтеграл першого роду: означення, властивості, обчислення.

5.1. Означення криволінійного інтеграла першого роду.

Розглянемо криву , в кожній точці якої визначена певна функція (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Розіб’ємо криву довільним способом точками, що слідують одна за одною від до , на частин.

Нехай – довжина дуги . Найбільшу серед довжин дуг позначимо . На кожній дузі візьмемо довільну точку й обчислимо в ній значення функції .

Складемо добуток і додамо усі такі добутки, тобто побудуємо інтегральну суму:

. (5.1)

Змусимо число точок розбиття нескінченно зростати таким чином, щоб довжина найбільшої серед дуг прямувала до нуля, тобто . Обчислимо границю послідовності інтегральних сум за цієї умови:

. (5.2)

Означення. Якщо границя (5.2) існує і не залежить ані від способу розбиття кривої на дуги, ані від вибору точок , то вона називається криволінійним інтегралом першого роду від функції вздовж кривої і позначається:

,

а функція називається інтегрованою вздовж кривої .

Тобто

. (5.3)

Запис (5.3) на мові означає наступне: для будь-якого можна визначити таке, що для усіх , всілякого розбиття кривої на частини і вибору на утворених дугах точок з випливає .

Зі структури інтегральної суми випливає, що на результат інтегрування не впливає те, яку точку вважати початком, а яку – кінцем кривої. Очевидно

. (5.4)

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду вздовж кривої у площині

. (5.5)

2. Теорема існування криволінійного інтеграла першого роду.

Теорема. Якщо криву задано параметричними рівняннями

,

де функції і визначені, неперервні та мають неперервні похідні і на проміжку , і якщо в кожній точці кривої задано неперервну функцію , то криволінійний інтеграл першого роду від функції вздовж кривої існує і виражається через визначений інтеграл так:

. (5.6)

(без доведення)

Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла першого роду є обчисленням звичайного визначеного інтеграла від функції змінної в межах, що відповідають зміні значень цієї змінної вздовж даної кривої.

Зазначимо, що для кривої у просторі, яку задано параметричними рівняннями

,

при виконанні умов теореми, отримуємо:

. (5.7)

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл , де – частина гвинтової лінії .

Розв’язання.

Рис. 5.2.

.

Приклад 2. Обчислити , де – частина перерізу циліндра площиною , що лежить у першому октанті.

Рис. 5.3.

Розв’язання. Виконаємо креслення лінії (рис. 5.3). Параметричні рівняння кола, яке є напрямною циліндра, мають вигляд , і тоді . Таким чином , . Тому .

Окремий випадок теореми існування криволінійного інтеграла першого роду.

Теорема. Якщо криву задано рівнянням , до того ж функція визначена та неперервна на проміжку та має на цьому проміжку неперервну похідну , і якщо в кожній точці кривої задано неперервну функцію , то криволінійний інтеграл першого роду від функції вздовж кривої існує і виражається через визначений інтеграл

. (5.8)

(без доведення)

У випадку, коли криву задано на площині в полярних координатах , то елемент довжини дуги , та

. (5.9)

Зауваження. Для замкненої кривої за початкову та кінцеву точки можна взяти довільну точку кривої. Замкнену криву часто називають контуром.

Через те, що криволінійний інтеграл першого роду виражається через визначений, він має такі самі властивості.