Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009

1

Тоді

v(x) x2

x e x . Загальний розв'язок диференціального рівняння:

2

y(x) c ex c e3x

1

x2

x ex .

1

2

2

3)

Якщо

є дійсним

коренем

характеристичного

рівняння

кратності 2, то частинний розв'язок шукаємо у вигляді:

v(x) x2 Q (x)e x .

n

Приклад 3. Знайти загальний розв'язок ЛНДР

y 4 y 4 y xe2x .

Розв'язання.

Pn (x) x n 1; 2 .

Розглянемо відповідне ЛОДР

y 4y 4y 0 .

Характеристичне

рівняння 2

4 4 0 ,

або

2 2 0 , корені

рівняння 1

2

2 .

Таким

чином,

число

2

є

дійсним

коренем 2-ї

кратності

характеристичного рівняння.

Частинний розв'язок шукаємо у вигляді:

v(x) x

2 A A x e 2x .

0

1

Підставимо функцію v(x)

та її похідні

в дане диференціальне

v (x)

і v (x)

рівняння і отримаємо тотожність:

2A0 6A1x x .

Звідси

x

1

6A 1,

1

x

0

2A

0.

0

A

0, A

1

.

0

1

6

Тоді

v(x)

1

x

3

e

2x

. Загальний розв'язок

диференціального

рівняння

6

набуває вигляду:

y(x) c e

2x

c

2

xe

2x

1

x

3

e

2x

.

1

6

II. Нехай права частина диференціального рівняння має вигляд:

f (x) e x P (x)cos x e x R

(x)sin x ,

n

m

де P (x) b

b x ... b xn ,

R (x) c

0

c x ... c

m

xm

– багаточлени,

n

0

1

n

m

1

Прирівнюючи

коефіцієнти

при sin x і

cosx , отримаємо систему двох

рівнянь:

cos x

A 3B 2A 0,

A 3B 0,

B 3A 2B 2

або

sin x

3A B 2.

Звідси A

3

, B

1

. Тоді

v(x)

3

cos x

1

sin x . Загальний розв'язок

5

5

5

5

y y xcosx sin x

Розв'язання. f (x) xcosx sin x P (x) x, R (x) 1; 0, 1.

1

0

Розглянемо відповідне ЛОДУ

y y 0 .

2 1 0, i,

2

i .

1

Число i i

є коренем

характеристичного рівняння. Частинний

розв'язок шукатимемо у вигляді

v(x) x Ax B cos x Cx D sin x .

Підставимо функцію v(x) та її похідні v (x)

і v (x) в дане диференціальне

рівняння та одержимо тотожність

2С sin x 2Acos x (4Cx 2D)cos x (4Ax 2B)sin x xcos x sin x .

cos x

2 A 2D 0,

Звідси

x cos x

4C 1,

sin x

2C 2B 1,

x sin x

4 A 0.

A 0, D 0, C

1

, B

1

.

4

4

Тоді v(x)

1

x2 sin x

1

x cosx .

Загальним

розв'язком диференціального

4

4

рівняння є:

y(x) c cos x c

sin x

1

x2 sin x

1

x cos x .

2

1

4

4

Примітка. Якщо ЛНДР має вигляд:

y a1 y a2 y f1(x) f2 (x) ,

y y 2y e x e 2x .

Розв'язання. f

1

(x) e x , f

2

(x) e 2x .

Розглянемо відповідне ЛОДР

y y 2y 0 .

Характеристичне рівняння 2

2 0, його коренями є

2,

2

1.

1

Частинний розв'язок ЛНДР шукаємо у вигляді v(x) v1(x) v2 (x) ,

де v1(x)

і v2 (x) – відповідно частинні розв'язки диференціальних рівнянь

y y 2 y e x , y y 2y e 2x .

v (x)

1

e x ,

v

(x)

1

e 2x .

2

1

2

4

Частинний розв'язок даного ЛНДР

v(x)

1

e

x

1

e

2x

.

2

4

y 25y cos5x .

(13.17)

Розв'язання. Розглянемо відповідне ЛОДР

y 25y 0 .

Характеристичне рівняння 2 25 0, його корені

5i,

2

5i.

1

Розглянемо допоміжне рівняння

y 25y e5ix ,

(13.18)

13.7. Системи диференціальних рівнянь

При

розв'язанні багатьох

задач

потрібно

знайти

функції

y1 y1(x), y2 y2 (x), …, yn yn (x) ,

що

задовольняють

системі

диференціальних рівнянь, які містять незалежну змінну

x , шукані функції

y1, y2 ,..., yn

та їхні похідні.

d 2 x

dx

dy

dz

m

Fx t, x, y, z,

,

,

,

dt 2

dt

dt

dt

d

2

y

dx

dy

dz

m

Fy t, x, y, z,

,

,

,

(13.19)

dt 2

dt

dt

dt

d

2

z

F t, x, y, z,

dx

dy

dz

,

m

,

,

dt 2

z

dt

dt

dt

де m – маса точки; t

– час;

x(t), y(t), z(t) – шукані функції (координати

точки у будь-який момент часу);

dx

,

dy

,

dz

– проекції вектора швидкості

dt

dt

dt

на осі координат; Fx , Fy , Fz

– проекції вектора сили

на осі координат.

F

dy

1

f

(x, y , y

,...,y

),

dx

1

1

2

n

dy2

f

2 (x, y1, y2 ,...,yn ),

(13.20)

dx

dyn

f

(x, y , y

,...,y

),

n

2

n

1

dx

де x – незалежна змінна; y1,

y2 ,...,

yn – шукані функції.

Будь-яку систему диференціальних рівнянь можна звести до

нормальної, вводячи до розгляду нові функції.

Так, наприклад, позначаючи

x(t)

через

x (t) ,

введемо x

2

(t)

dx1

. Тоді

1

dt

d 2 x

dx

2

dy

d

2 y

dy

2

. Аналогічно y(t) y ,

1

y

,

,

dt 2

dt 2

dt

1

dt

2

dt

dz

d 2 z

dz

2

z(t) z ,

1

z

,

.

dt 2

1

dt

2

dt

dx

1

x

,

dt

2

dx2

Fx (t,x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 ),

dt

dy

1

y2 ,

dt

(13.21)

dy2

Fy (t,x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 ),

dt

dz

1

z

2

,

dt

dz

2

Fz (t,x1,y1,z1,x2 ,y2 ,z2 ).

dt

dy

1

a

(x) y

a

(x) y

... a

(x) y

f (x),

dx

11

1

12

2

1n

n

1

dy2

a21(x) y1

a22 (x) y2

... a2n (x) yn f 2

(x),

(13.22)

dx

dyn

a

(x) y

a

(x) y

... a

(x) y

f

(x).

n1

n2

2

nn

n

n

1

dx

y

1

y

2

За правилом диференціювання матриць: Y

.

y

n

Тепер систему (13.22) можна записати у матричному вигляді