Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г
.).pdf
15.4.5. Интенсивность волны
- это среднее по времени от модуля вектора плотности потока энергии:
.
Для гармонической волны:
.
15.5. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит.
15.5.1. Уравнение стоячей волны
Для волны, бегущей по оси x:
Для волны, бегущей против оси x:
.
,см. (15.2.3), (15.2.4), (15.2.5).
Для простоты мы положили равным нулю значение начальных фаз этих волн. Сумма этих уравнений и дает уравнение стоячей волны:
15.5.1.1. АМПЛИТУДА СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
- это модуль выражения, стоящего перед множителем Cosωt, т.е.
15.5.2. Узлы и пучности
Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов:
Следовательно, координаты узлов:
Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.
Для пучностей:
Координаты пучностей:
15.5.3. Колебания струны, закрепленной с двух концов
В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выборе начала координат на одном из концов струны следует записать через функцию Sin kx, т.е.
.
Тогда условие 
будет выполнено. Для выполнения граничного условия на другом конце струны 
мы должны потребовать, чтобы
.
Это приводит к квантованию волнового числа, т.е. kможет принимать не любые значения, а только дискретные, определяемые равенством:
т.к.
то
Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн! Из (15.1.7) |
и мы получаем спектр (набор) частот, на ко- |
торых может колебаться закрепленная с двух концов струна: |
|
Частота v1 называется основным током, v2 - первым обертоном и т.д.
16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями
(15.3):
Применим систему уравнений Максвелла (13.4) к однородной ( ε= const, μ = const), нейтральной ( ρ= 0), непроводящей ( σ= 0) среде. Уравнения Максвелла примут следующий вид.
Первая пара:
Вторая пара:
Наша задача - получить волновые уравнения для векторов 
и 
, решениями которых будут уравнения электромагнитной волны 
(сравните с 15.3).
16.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Зададим направление оси x перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда:
От координат x и zв плоской волне 
и 
не зависят. Как известно из математики:
Учитывая, что 
не зависит от y и zиз первого уравнения первой пары:
,
получим три скалярных уравнения:
Второе уравнение первой пары дает:
Аналогично, из второй пары уравнений Максвелла получим:
16.1.1. Поперечность электромагнитных волн
Уравнения (1) и (4), (5) и (8) утверждают, что Hx и Ex не зависят от времени и координаты x, т.е. являются однородными по-
стоянными полями. Таким образом, переменное поле электромагнитной волны не имеет составляющей вдоль оси x, в направ-
лении которой распространяется волна. Это значит, что электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы 
и 
перпендикулярны направлению ее распространения.
16.1.2. Волновое уравнение
В уравнения (2) и (7) входят Ez и Hy, в уравнения (3) и (6) входят Ey и Hz. Таким образом, если первоначально было создано поле Ey, то оно породит Hz (3), которое создает Ey (6). Аналогично с Ez и Hy.
Для описания электромагнитной волны можно выбрать уравнения (2) и (7), либо уравнения (3) и (6), либо те и другие.
Получим волновое уравнение для уравнений (3) и (6):
После указанных стрелками замен имеем два волновых уравнения:
16.1.2.1. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Коэффициент при второй производной по времени, есть величина, обратная квадрату фазовой скорости волны (см. 15.3.2). Для электромагнитной волны фазовая скорость из волновых уравнений 16.1.2:
В вакууме ε = &mu = 1 и
.
Тогда:
Полученное значение фазовой скорости электромагнитной волны в вакууме равно скорости света в вакууме - с. С учетом этого:
16.1.2.2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ - ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Легко проверить, что