Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г

19.4 ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА

- это совокупность большого числа одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Расстояние dмежду соответственными точками соседних щелей называют периодом решетки:

наблюдения надо найти результат интерференции всех вторичных волн, с учетом их фаз и амплитуд. Линза собирает в точке P

все параллельные лучи, идущие от решетки под углом φ.

Каждая щель создает колебания с амплитудой зависящей от φ(19.3.2.3).

.

Разность хода лучей, идущих от соответственных точек соседних щелей найдем из треугольника ABC:

.

При выполнении условия максимума (18.1.2.3)

,

таким образом, условие главного максимума для дифракционной решетки будет иметь следующий вид:

Целое число mназывают порядком максимума. Колебания от соседних щелей при выполнении условия максимума в точку P

будут приходить в одинаковой фазе. Результирующая амплитуда Aр, создаваемая в точке Pрешеткой будет в Nраз больше амплитуды от одной щели:

.

Интенсивность света (16.5.4):

будет в N2 раз больше, чем интенсивность Iщ, создаваемая одной щелью.

19.4.2. Зависимость интенсивности дифракционной картины решетки от угла дифракции φ

Амплитуда результирующего колебания от Nщелей, Ap(φ), есть результат многолучевой интерференции (18.3). Таким образом:

.

Здесь δ - разность фаз колебаний, идущих в точку Pот соответственных точек соседних щелей. Выразим δчерез (18.1.2.2),

аиз треугольника ABC:

Подставив Aщ, полученную в (19.3.2.3), получим зависимость амплитуды результирующего колебания, создаваемого решет-

кой для угла φ:

.

Для интенсивности (16.5.4) получим:

.

Здесь I0 - интенсивность, создаваемая одной щелью при φ = 0, первая дробь учитывает зависимость от интенсивности от φ одной щели, а вторая учитывает результат многолучевой интерференции Nщелей.

При выполнении условия главного максимума d·Sinφ = mλвторая дробь после раскрытия неопределенности по правилу Ло-

питаля дает N2. Таким образом, интенсивность в максимуме, как и было показано в (19.4.1), в N2 раз больше интенсивности, создаваемой одной щелью.

19.4.2.1. МИНИМУМЫ ИНТЕНСИВНОСТИ ДИФРАКЦИОННОЙ КАРТИНЫ РЕШЕТКИ

Формально получить условия на φпри которых будут наблюдаться минимумы можно, если проанализировать на минимум только что полученное выражение I(φ). Анализ дает следующие результаты:

а) - это условие минимума для щели (19.3.2.2);

б) - это условие главного минимума для решетки. При выполнении этого ус-

ловия колебания от соседних щелей приходят в точку Pв противофазе и попарно гасят друг друга;

в) - целое число не кратное N.

Это условие добавочных минимумов. При k'кратном Nполучим условие максимума.

При выполнении условия добавочных минимумов векторная диаграмма сложения колебаний от Nщелей замыкается: конец N-

говектора попадает в начало 1-го и результирующая амплитуда равна нулю. На рисунке ниже изображена эта ситуация для N = 6(рис. а), k' = 1 и k' = 2 (рис. б). При k' = 2 векторы A1 и A4, A2 и A5, A3 и A6 расположены в одном месте.

19.4.2.2. ДОБАВОЧНЫЕ МИНИМУМЫ, БЛИЖАЙШИЕ К ГЛАВНЫМ МАКСИМУМАМ

Если в условии добавочных минимумов (19.4.2.1,в) положить k' = 1, N ±1, 2N ±1,…, т.е. k' = mN ±1,

m = 0, 1, 2, …, то получим условие для добавочных минимумов, ближайших к главным максимумам порядка m:

При разности хода d·Sinφравной ±mλнаблюдается главный максимум порядка m. Добавка к разности хода величины λ/N

дает условие минимума, ближайшего к главному максимуму. Эта добавка тем меньше, чем больше N- число щелей решетки, принимающих участие в образовании интерференционной картины. У хороших решеток d ≈ 10-6 м и при длине решетки lр = 1 см число щелей N = lр/d = 10000, что дает очень узкие главные максимумы, необходимые в спектральных приборах.

19.4.3. График интенсивности Ip(Sinφ )

Для наглядности графика возьмем решетку с очень малым числом щелей, N = 4. Пусть, для определенности, постоянная ре-

шетки dв четыре раза больше ширины щели b, т.е. d = 4b, а длина волны λ = b/2. Найдем значения Sinφ, при которых будут наблюдаться максимумы и минимумы от нашей решетки:

Минимумы для щели (19.4.2.1,а):

Главные максимумы решетки (19.4.1):

Главные минимумы решетки:

Добавочные минимумы решетки:

Зависимость интенсивности дифракционной картины от Sinφизображена на рисунке (расположенном ниже) сплошной линией. Бледная линия - огибающая дифракционной картины - это интенсивность дифракционной картины от одной щели, помно-

женная на N2 = 42 = 16.

19.4.4. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Из условия главного максимума (19.4.1)

видно, что положение главного максимума зависит от длины волны λ. Зная постоянную решетки d, измерив на опыте угол φ,

под которым находится максимум известного порядка mможно из условия главного максимума определить длину волны λ.

Если в получаемом спектре присутствуют две линии, длины волн которых λ1 и λ2 = λ1 + δλнезначительно отличаются, то возможность их раздельного восприятия определяется двумя причинами:

а) угловым расстоянием между максимумами;

б) их шириной.

Угловое расстояние между максимумами увеличивается с уменьшением d- постоянной решетки (это следует из условия главного максимума). Ширина максимумов определяется положением добавочных минимумов, ближайших к главным максимумам

(19.4.2.2.) и уменьшается с увеличением N- числа щелей решетки, принимающих участие в образовании главного максимума.

19.4.4.1. УГЛОВАЯ ДИСПЕРСИЯ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

По определению, угловой дисперсией D называется величина:

.

Здесь и далее до конца этой главы, δ- знак дифференциала, т.к. буква dиспользуется - она обозначает постоянную решетки.