Лекции По Физике Оптике Для Дневников (Переверзев В. Г
.).pdf
Вычисление интеграла в пункте (19.2.1.) в общем случае - трудная задача.
В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.
Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P- точка наблюдения. Через точку O
проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольце-
вые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки Pотличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.
Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне
IIнайдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку Pот то-
чек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.
Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда
результирующего колебания, приходящего в точку Pот зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.
Происходит это из-за увеличения с ростом mугла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.
19.3.1. Дифракция Френеля на круглом отверстии
Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверсти-
ем радиуса r0. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке Pбудет наблюдаться минимум, так как все от-
крытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке Pприблизительно гасят друг друга.
При нечетном числе зон в точке Pбудет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными.
Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:
.
Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения
P.
Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r0 и rm, получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:
.
При mчетном в точке Pбудет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.
19.3.2. Дифракция Фраунгофера на щели
В случае дифракции Фраунгофера параметр b2/(Lλ ) << 1 (19.1). Это значит, что если размер препятствия b ~ λ, то расстоя-
ние до экрана наблюдения L >> b.
Пусть на длинную щель шириной bпадает плоская монохроматическая волна с длиной λ.
Поместим между щелью и экраном наблюдения линзу так, чтобы экран наблюдателя находился в фокальной плоскости линзы.
Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах (L → ∞ ).
19.3.2.1. ТАУТОХРОННОСТЬ ЛИНЗЫ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Собирающая линза обладает свойством, называемым таутохронностью: лучи, идущие от волновой поверхности ACдо точки наблюдения Pимеют одинаковую оптическую длину. Таким образом результат суперпозиции вторичных волн, который опре-
деляет амплитуду колебаний световой волны в точке P(см. 19.2), зависит от разности хода, набегающей в треугольнике ABC.
19.3.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ МЕТОДОМ ЗОН ФРЕНЕЛЯ
Для нахождения положений максимумов и минимумов интенсивности воспользуемся методом зон Френеля (19.3): разобьем сторону BCна отрезки длиной λ/2.
Из концов этих отрезков проведем линии, параллельные фронту вторичной плоской волны, идущей под углом φ. Эти линии ра-
зобьют AB - фронт первичной плоской волны на зоны Френеля. На рисунке их изображено три: AD, DEи EB. Число зон Френеля kзависит от λи длины отрезка BC = b Sinφ. Если kцелое, то
.
При четном числе зон Френеля k = 2m, где m= ±1, ±2... все зоны можно разбить на соседние пары, которые гасят друг друга (19.3). Следовательно условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели имеет вид:
При нечетном k = 2m + 1 одна зона остается без пары и ее колебания не будут погашены, следовательно, условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели будет иметь вид:
.
Обратим внимание, что условия формально противоположны условиям максимумов и минимумов (18.1.2.3) при интерференции от двух источников.
19.3.2.3. ЗАВИСИМОСТЬ ИНТЕНСИВНОСТИ ДИФРАКЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ УГЛА ДИФРАКЦИИ Φ
Разобьем щель на полоски шириной dx и изобразим векторную диаграмму колебаний, посылаемых этими полосками в точку наблюдения P. При φ = 0 колебания от всех полосок будут иметь одинаковую фазу. Результирующее колебание в точке Pпо-
лучится в результате сложения сонаправленных бесконечно малых векторов. Векторная диаграмма (14.3) в этом случае будет иметь вид вектора длиной A0.
Для колебаний приходящих от щели в точку наблюдения P, расположенную под углом φ, векторная диаграмма имеет вид дуги окружности длиной A0.
Замыкающий эту дугу вектор Aщ является амплитудой результирующего колеба-
ния от щели при произвольном угле φ.
Фазовый угол δсоответствует максимальной разности хода, равной
= b Sinφ. Так как
, см. (18.1.2.2), то
.
Величину вектора Aщ найдем из геометрических соображений.
(по определению радианной меры угла).
Из треугольника COB:
.
Исключив Rполучим:
.
Интенсивность (16.5.4.) пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:
.
Учитывая связь δс разностью хода , получим связь интенсивности дифрагировавшего света с параметрами разбираемой задачи:
.
Здесь I0 - интенсивность при φ = 0.
График этой функции в осях I - Sinφимеет следующий вид: