Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
МИРЭА - Российский технологический университет
Предмет:
Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Файл:

Лекции УМФ (ММФ) 2008

.pdf
Скачиваний:
147
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
3.05 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

Асимптотическое поведение

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (x)

 

I7 (x)

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K7 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0 (x)

 

I (x)

 

 

1

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

( 1) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K0 (x)

 

 

 

 

 

 

ln

x

,

 

0

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1 (x)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

K (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) x

 

 

 

0 0

2

4

6

 

 

 

 

 

, 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

I (x)

 

 

 

O(x

 

 

, K (x)

 

 

 

O(x

 

 

 

 

 

1

 

)

 

 

 

e

1

 

)

 

.

 

x

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модифицированные функции Бесселя полуцелого порядка

I 1

 

(x) i 12 J 1

(ix) i 12

2

sin ix i 1

 

2

ishx

 

i x

x

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 1 (x)

2

 

shx

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 1

(x) i

12 J 1

(ix) i

12

2

cos ix

 

i x

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 1

(x)

2

 

 

chx

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K 1

(x)

 

I

 

(x) I 1

(x)

 

 

1

 

2

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (chx shx) 2 x

K 12 (x) 2x e x

2

I 12 (x)

1.5

I 12 (x)

1

0.5

 

 

K 12

(x)

x

 

 

 

 

0 0

1

2

3

4

Рекуррентные формулы

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

2k

 

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

I (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k 1) (k 1)

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

2k

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

2k

k

 

 

 

( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

(k 1) (k 2)

k 1

(k

1) (k 2)

 

 

 

2( 1)

 

 

(x 2)

2k 1

 

 

 

 

 

 

(x 2)

2k 2

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

k 0

(k 1) (k

2)

 

k 0 (k 2) (k 3)

 

 

2( 1)

I

 

(x) I

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

(x)

2

 

I (x) I

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 1 (x) i 1J 1 (ix) i

1

2

J (ix) J 1

 

 

2

I (x) I 1

 

 

 

 

(ix)

 

(x)

 

 

x

 

 

ix

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

(x)

2

 

J (x) J

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

(x)

2

I (x) I

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K 1

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 1 (x) I 1 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

(x)

 

2

I

 

(x)

 

2

I (x) I

(x)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

I

 

(x) I (x)

 

I

 

(x) I

(x)

 

 

 

 

 

1

 

x

 

2sin

 

 

 

2sin ( 1)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

K (x) K

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

(x)

2

 

J (x) J

 

(x)

I

(x)

2

 

I (x) I

(x)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

1

 

1

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

(x)

2

Y (x) Y

(x)

K

 

(x)

2

 

K (x) K

 

(x)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

1

 

 

1

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные функций Бесселя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) x J (x) J 1 (x)

 

(x) x I

(x) I 1 (x)

J

 

I

 

 

 

 

 

 

(x) x J (x) J 1 (x)

 

(x) x

I (x) I 1 (x)

J

 

I

 

 

 

 

 

 

(x) x Y (x) Y 1 (x),

 

K (x) x K (x) K 1 (x)

Y

 

 

 

 

 

 

 

(x) x Y (x) Y 1 (x)

 

K (x) x K (x) K 1 (x)

Y

 

Определить температуру однородного кругового цилиндрического стержня (длина h, радиус a), если его основания поддерживаются при нулевой температуре, а боковая поверхность при температуре u0 (z).

 

u 0

X 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение теплопроводности

 

 

 

 

u

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t (x,t) u(x,t),

x G

 

G z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u u0 (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стационарный процесс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

a

 

u(x,t) u(x)

 

2u(x) 0

 

 

 

X 2

 

X1

u 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача решается в цилиндрических координатах

 

 

x1 r cos ,

 

 

 

x2 r sin ,

 

x3 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

u

 

1 2u

2u

 

 

 

 

u(r, , z)

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

r

2

 

 

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(r, , z) u(r, z)

Распределение температуры

имеет аксиальную симметрию

Постановка задачи

 

u 0

X 3

 

 

 

2

 

 

 

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

1

 

u

0,

r [0, a),

z (0, h)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

h

 

 

 

 

 

r2

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G z

 

 

 

 

 

u(r, 0) u(r, h) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

u0 (z)

 

- граничные условия

 

 

 

 

u

u(a, z) u0

(z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

| u(a, z) |

 

 

 

 

 

 

 

 

r

X

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

u 0

Решение задачи методом Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

u(r, z)

R(r)Z (z),

R

 

 

R Z RZ 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R (r)

 

R (r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(r)

 

r

 

 

 

Z (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Z (z) Z (z) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (h) 0

 

 

 

k

 

 

 

 

,

Zk

(z)

 

 

sin

 

z,

 

 

 

 

 

h

h

Z (0)

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

- задача Штурма-Лиувилля

Zk

(z)Zm (z)dz km

 

 

0

 

(r)

1

 

(r) k Rk

(r) 0

 

2

 

 

(r) k

 

r

Rk

r

Rk

Rk (r) rRk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- модифицированное уравнение Бесселя.

r 2 Rk (r) 0

0

 

 

 

 

 

 

 

Rk (r) Ak I0 (

 

k r) Bk K0 ( k r)

- общее решение

K0 (x) ,

x 0, | Rk (r) | Bk 0,

Rk (r) Ak I0 k rh

 

 

 

u(r, z) Rk (r)Zk (z) Ak I0

k 1

 

k 1

u(a, z) u0 (z)

k

 

 

u0 (z) Ak I0

a Zk (z)

k 1

h

 

k

 

 

 

h

r Zk

(z)

 

 

 

Коэффициенты определяются из граничного условия на

боковой поверхности

h

 

 

 

 

k

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

u0 (z)Zm (z)dz Ak I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

a Zk (z)Zm (z)dz,

 

 

 

 

0

 

k 1

 

 

 

h

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... Ak I0

 

h

 

a km ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

h

 

... Am I

a

,

 

Ak

 

 

 

 

 

u0 (z)Zm (z)dz

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

 

k

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

k

 

u(r, z)

2

 

 

 

 

h

 

 

 

sin k z u0 ( )sin

d

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

h k 1

I0

 

 

 

h

0

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- формальное решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (z) Az 1

0

u(r, z) 8Ah

3

z

h

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

2Ah2

 

 

, u0 ( )sin

 

 

 

d

 

 

 

 

(1

 

 

 

h

( k)

3

h

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

2k 1

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

2k 1

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

(2k 1)3 I0

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)k )

z

u(r, z)

 

 

u(r, z)

 

 

 

a

 

z h / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h / 4

 

 

a / 2

 

 

h /10

 

 

r 0

 

 

 

a h 1

0

z

h

0

r

a
Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности