Лекции УМФ (ММФ) 2008
.pdf
Вынужденные колебания струны
u(x,t)
F (t) F0 sin t
0
Решение задачи
u(x,t) Tk (t) X k (x),
k 1
|
|
2u |
(x,t) |
a2 |
2u |
(x,t) g(t), |
|
|
|
|||||||
|
|
t 2 |
x2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u(x, 0) |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
u |
(x, 0) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l x |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
T0 |
, |
g(t) g |
|
sin t, g |
|
|
F0 |
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля
X |
|
(x) |
2 |
sin kx , |
||
k |
|
|||||
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x) k X k (x) |
|||
X k |
||||||
|
|
|
(0) X k (l) 0 |
|||
X k |
||||||
k 2 , k
l
0, x (0,l)
l
X k (x) X m (x)dx km
0
Уравнение и начальные условия для определения функций времени
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk (t) g(t) X k (x)dx, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
k Tk |
(t) fk |
(t), k |
|
a |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Tk |
(t) |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
Tk (0) 0, |
Tk (0) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
g0l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
X k (x)dx |
|
|
|
|
( 1) |
k |
|
fk (t) |
|
( 1) |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
l |
|
|
|
k |
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g0l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
fk ( )sin k (t )d |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 ( 1) |
k |
sin sin k (t )d , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
l |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin k t k |
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sin sin k (t )d |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1) |
|
|
sin k t k sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Tk |
(t) g0a |
|
2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
( 2 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2g0a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
u(x,t) |
|
(1 ( 1)k ) sin k t k sin t sin |
x |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
l k 1 |
|
|
|
|
k2 ( 2 k2 ) |
|
l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
4g |
0 |
a |
sin |
t |
2k 1 |
sin t |
|
2k 1 |
|
|||
|
u(x, y) |
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
sin |
|
|
|
x, |
|||
|
l |
|
|
22k 1 ( 2 22k 1 ) |
l |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
||||||
2k 1 (2k 1) al
Вслучае резонанса
lim |
sin 2m 1t 2m 1 sin t |
|
sin 2m 1t 2m 1t cos 2m 1t |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2m 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 m 1 |
|
|
|
2m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4g |
0 |
a |
|
sin |
|
t |
2k 1 |
sin t |
|
2k 1 |
|
|||||||||
u(x, y) |
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|||||||||
l |
|
|
|
22k 1 ( 2 22k 1 ) |
|
|
l |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 0, k m |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sin 2m 1t 2m 1t cos 2m 1t |
|
|
|
2m |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 23k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
Свободные колебания прямоугольной мембраны
Мембрана возбуждается ударом молоточка, который сообщает ей импульс I в
точке (x0 , y0.)
y
l2
y0 I
|
|
|
|
0 |
x0 |
l1 x |
|
2u |
a |
2 |
|
2u |
2u |
|
x (0,l1 ), y (0,l2 ), |
|||||||
t |
2 |
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x, y, 0) u0 (x, y) 0, |
|
|
||||||||||||
u (x, y, 0) |
I |
(x x ) ( y y |
), |
|||||||||||
|
||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x, 0,t) u(x,l2 ,t) 0, u(0, y,t) u(l1, y,t) 0
Происхождение второго начального условия
I l1 |
dxl2 |
u |
(x, y, 0)dy |
u (x, y) |
I |
(x x ) ( y y ) |
|||
|
|
||||||||
|
t |
|
|
1 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
f (x0 ), |
x0 (a,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x0 ) |
|
|||
f (x) (x x0 )dx |
0, x0 (a,b) |
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
дельта-функция Дирака |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи методом Фурье |
|
|
||||||||||||||
u(x, y,t) T (t)V (x, y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
T (t) |
|
|
|
V |
(x, y) |
|
V (x, y) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a2T (t) |
V (x, y) |
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T (t) 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T (t) a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
(x, y) V (x, y) 0, |
|
|
||||||||||
|
V (x, y) V |
|
|
||||||||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V (0, y) V (l1, y) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (x, 0) V (x,l2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задача Штурма-Лиувилля |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V (x, y) X (x)Y ( y) |
|
X (x) |
|
Y ( y) |
, |
||||||||||||||
X (x) |
|
Y ( y) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X (x) |
|
, |
Y ( y) |
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
X (x) |
|
|
Y ( y) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
x (0,l1 ) |
Y |
|
y (0,l2 ) |
(x) X (x) 0, |
( y) Y ( y) 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
X (0) X (l1 ) 0 |
|
Y (0) Y (l2 ) 0 |
|
||
k 2 , k l1
m 2 m l2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx , k 1, 2,... |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X k (x) |
2 |
sin |
1 |
X k (x) X k (x)dx kk |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
l1 |
|
l1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
my , m 1, 2,... |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, Ym ( y) |
|
|
2 |
sin |
|
2 |
Ym ( y)Ym ( y)dy mm |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
l2 |
|
l2 |
|
0 |
|
||||
km k m ,
Vkm (x, y) X k (x)Ym ( y)
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tkm (t) a |
kmTkm (t) |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Уравнение гармонического |
|
|||||||||||
Tkm (t) Akm cos kmt Bkm sin kmt, |
|
|
|||||||||||||||
|
осциллятора, общее решение |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения и частота колебаний как |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
функция параметров мембраны |
|
||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
km a km a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
l1 |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x, y,t) Tkm (t)Vkm (x, y) Tkm (t) X k (x)Ym ( y) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k 1 m1 |
|
|
|
|
|
|
|
k ,m1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стеклова |
|
||
|
( Akm cos kmt Bkm sin kmt) X k (x)Ym ( y) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
k ,m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициенты ряда Фурье из начальных условий и свойства |
|
||||||||||||||||
ортогональности собственных функций: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Akm X k (x)dx u0 (x, y)Ym ( y)dy 0, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Bkm |
|
1 |
|
1 |
X k (x)dx 2 u1 (x, y)Ym ( y)dy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
km 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I |
|
1 |
X k (x) (x x0 )dx 2 Ym |
( y) ( y y0 )dy |
|
I |
X k (x0 )Ym ( y0 ) |
|||||||||||||||||||
km |
km |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Формальное решение задачи методом Фурье |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u(x, y,t) ukm (x, y,t) |
Bkm X k (x)Ym ( y)sin kmt |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ,m 1 |
|
k ,m 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4I |
|
|
|
1 |
sin kx0 sin |
my0 |
|
kx sin |
my sin kmt, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l1l2 k ,m 1 |
km |
|
l1 |
|
|
|
l2 |
l1 |
|
l2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
km a km a |
k |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Физический смысл решения
Малое поперечное колебание мембраны (описывается функциейu(x, y,t) )
представляет собой суперпозицию стоячих волн
u11 (x,t), u12 (x,t), ..., u21 (x,t), u22 (x,t), ...
Пространственная структура стоячей волны ukm (x, y,t)характеризуется собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля Vkm (x, y,)а ее
временное изменение происходит по гармоническому закону с частотой km Спектр колебаний – дискретный.
Примеры стоячих волн для квадратной мембраны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 l1 l |
|
u(x, y,t) ukm (x, y,t) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ,m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4I |
|
|
|
1 |
|
|
kx0 |
|
my0 |
|
kx sin |
my sin kmt, |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
sin |
sin |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
l |
k ,m 1 |
km |
l |
|
l |
|
l |
l |
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
km |
|
k 2 m2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u (x, y,t) |
|
4I |
sin x0 |
sin |
y0 |
sin x sin |
y sin t, |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
l 2 |
l |
|
l |
|
l |
l |
11 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- частота основного |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
l |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
тона |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u11 (x, y,t)
y
x
G1
|
узловые линии |
|
|
пучность |
|
||
G1 |
|||
|
|||
|
|