Лекции УМФ (ММФ) 2008
.pdf
Постановка смешанной задачи для однородного волнового уравнения
|
X |
|
|
n |
|
S |
2 |
u ( x,t) a2 2u( x,t), |
x G |
||||||
|
3 |
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
u( x, 0) u0 ( x), |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u ( x, 0) u ( x), |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u( x,t) 0, x |
S. |
|
|||||||||||
|
|
|
Решение методом Фурье |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u( x,t) ( Ak cos k t Bk sin k t) X k ( x) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X k ( x) k |
X k ( x) 0, |
x G |
|
|
|
|
|
|||||||
|
X k |
( x) X m ( x)dx km , |
|||||||||||||
|
|
|
X k ( x) 0, |
x S |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ak u0 ( x) X k ( x)dx, |
|
|
1 |
u1 ( x) X k ( x)dx |
||||||||
k a k , |
Bk |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
k G |
|
||
Свободные колебания (конечной) струны
|
|
2u (x,t) a2 2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t), |
a |
T0 |
, |
||||
|
|
|
|||||||
|
u(x,t) |
t 2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
u(x, 0) |
u0 (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
u (x, 0) u (x), |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
l x t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
u(l,t) 0. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
u(0,t) |
|
|
|
|
|
||
Решение задачи методом Фурье (методом разделения переменных)
u(x,t) T (t) X (x),
T (t) a2 T (t) 0X (x) X (x) 0,X (0) X (l) 0
|
|
|
|
T (t) |
|
X (x) |
, |
a2T (t) |
X (x) |
x (0,l)
Задача Штурма-Лиувилля
Решение задачи Штурма-Лиувилля
(1) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
X (x) |
|
X (x) | | X (x) 0, |
||||||||||
|
X (0) 0 |
C1 |
C2 |
0, C2 |
C1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X (l) 0 |
C (e | | l |
e | | l ) 0, |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1sh | | l 0 C1 C2 0, X (x) |
|||||||||
|
Существует только тривиальное решение |
|||||||||
(2) |
0 |
|
0, |
X (x) C1x C2 , |
||||||
X (x) |
||||||||||
|
X (0) 0 |
C2 |
0, |
|
|
|
|
|||
|
X (l) 0 |
C1l 0, C1 C2 0, |
||||||||
C1e
| | x C2e 
| | x ,
4
2 |
shx |
|
|
|
|
0. |
|
|
0 0 |
1 |
x 2 |
X (x) 0.
Снова тривиальное решение
|
|
|
|
|
|
|
(3) 0 |
|
X (x) 0, |
X (x) C1e |
i x |
||
X (x) |
|
|
|
|||
X (0) 0 |
C1 |
C2 0, C2 |
C1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X (l) 0 |
|
C (ei |
l e i l ) 0, |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2iC1sin |
l 0 |
|
|
|
k l k, |
k 1, 2,... |
||||
Нетривиальное решение
C2e i 
x ,
1 |
|
|
sin x |
|
|
0 |
|
2 |
|
||
1 |
|
|
0 |
5 |
10 x 15 |
|
(x) k X k (x) 0, |
x (0,l) |
X k |
||
|
(0) X k (l) 0 |
|
X k |
|
k |
|
k 2 |
|
X k (x) Ck sin |
kx |
|
|
|
0, |
l |
, |
||
|
|
l |
|
|
|
Задача Штурма-Лиувилля
k 1, 2,...
Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция
l |
|
|
|
X k (x) X m (x)dx 0, |
k m |
|
|
Свойство ортогональности |
|||
0 |
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
X k2 (x)dx 1, Ck2 |
sin2 kx |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
kx |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
k |
|
|
, |
X k (x) |
|
sin |
|
, |
|||
l |
l |
||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||
dx 1 Ck 
2l .
k 1, 2,...
l |
Решение задачи Штурма-Лиувилля |
|
X k (x) X m (x)dx km . |
||
|
||
|
0
Tk (t) a2 kTk (t) 0,
Tk (t) Ak cos k t Bk sin k t,
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
. |
|||
|
k |
a |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
k |
|
l |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x,t) Tk (t) X k (x) ( Ak |
||||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
||
Теорема
Стеклова
Уравнение гармонического осциллятора, общее решение уравнения и частота колебаний как функция параметров струны
cos k t Bk sin k t) X k (x)
Остается найти коэффициенты ряда Фурье из начальных условий и
свойства ортогональности собственных функций:
l |
|
1 |
l |
|
Ak u0 (x) X k (x)dx, |
Bk |
u1 (x) X k (x)dx. |
||
|
||||
0 |
|
k 0 |
||
Постановка задачи о свободных колебаниях конечной струны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
a |
2 |
2u |
(x,t), a |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t) |
|
|
0 |
, |
||||
|
u(x,t) |
|
|
|
|
|
t 2 |
|
x2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
u(x, 0) u0 (x), |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
x |
|
|
u (x, 0) u (x), |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0. |
|
|
|
|||||||
Формальное решение задачи методом Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(x,t) uk (x,t) ( Ak cos k t Bk sin k t) X k (x), |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx , |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k |
|
|
, |
X k (x) |
|
sin |
X k (x) X m (x)dx km , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak u0 (x) X k |
(x)dx, Bk |
|
|
u1 (x) X k (x)dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Физический смысл решения
Малое поперечное колебание струны (описывается функцией u(x,t))
представляет собой суперпозицию стоячих волн u1 (x,t), u2 (x,t), ...
Пространственная структура стоячей волны uk (x,t)характеризуется собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля X k (x), а ее временное изменение происходит по гармоническому закону с частотой k . Спектр колебаний конечной струны – дискретный.
|
Примеры |
|
|
u1 (x) 0 |
Bk |
0 |
|
Струна возбуждается только |
|||
|
|
|
начальным отколнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) uk (x,t) Ak X k (x) cos k t |
|||
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
x cos t |
|
||
u (x,t) A |
2 |
|
sin |
|
||||
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
l |
l |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, l |
|
|
|
|
|
|
|
узлы |
|
|
0 |
|
|
l |
x |
|
|
|
|
|
пучность |
l / 2 |
|
1 |
|
|
T0 |
Частота основного тона |
|
|
l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
(x,t) A |
2 |
|
sin |
2 x |
cos |
t |
|||
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
l |
l |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, l / 2, l |
|
|
|
|
|
|
|
|
узлы |
|
|
0 |
l |
x |
пучности |
l / 4, 3l / 4 |
2 2 1
|
|
|
|
|
|
||
u (x,t) A |
2 |
|
sin |
3 x |
cos t |
||
|
|
||||||
3 |
3 |
|
l |
l |
3 |
||
|
|
|
|
||||
узлы |
0, l / 3, 2l / 3, l |
0 |
l |
x |
пучности |
l / 6, l / 2, 5l / 6 |
3 3 1
, определяют, ... тембр звука
2 3