Лекции УМФ (ММФ) 2008

Постановка задачи

u(r,t)

2u

a

2

2u

1 u

,

t

2

r

2

r r

l

u(r, 0) u0 (r),

u (r, 0) u1 (r),

y

t

x

u(l,t) 0

Решение методом Фурье

u(r,t) T (t)R(r),

2

1

T (t)R(r) a T (t) R (r)

R (r)

r

1

1

T (t)

,

2

R (r)

r

R (r)

2

T (t) a T (t) 0

R(r)

a T (t)

2

2

r R (r) rR (r) r R(r) 0,

- задача Штурма-Лиувилля

R(l) 0,

| R(r) |

0,

R(r) C1J0 (

r) C2Y0 (

r)

- общее решение

уравнения Бесселя

1

J0 (x)

Y0 (x) C2 0

0.5

R(l) 0

C1J0 ( l) 0

2

k l k ,

k 1, 2, ...

1

2.4048,

2

5.5201,

0

x

3

8.6537,

4

11.7915

1

Y (x)

k

2

Rk

0.5 0

5

0

10

15

20

l

k ,

(r) Ck J0

l

k

r

,

l

1

rJ0

l 2 J12 ( k ) km

k r J0

m r

dr

– свойство ортогональности

0

l

l

2

функций Бесселя

J0 ( k ) 0,

k 1, 2, ...

l

1

2

rRk (r)Rm (r)dr km

Ck2

l 2 J12

( k ) 1

Ck

2

lJ1

( k )

0

Rk (r)

2

k

J

0

r

lJ1

( k )

l

2

kTk (t) 0,

Tk (t) a

a k

Tk (t) Ak cos k t Bk sin k t,

k a k

l

u(r,t) Tk (t)Rk (r) ( Ak cos k t Bk sin k t)Rk (r)

k 1

k 1

l

u0 (r) Ak Rk (r)

Ak ru0 (r)Rk (r)dr,

k 1

0

l

1

u1 (r) k Bk Rk (r)

Bk

ru1 (r)Rk (r)dr

k 1

k 0

J0

1

r

u (r,t)

I

l

sin t

1

l 2

J 2 ( )

1

1

1

1

1

J0 (x)

0.5

пучность

узловая линия

0

x

1

0.5 0

5

10

15

20

1

2.4048

1

1

T0

- частота основного тона

l

2 r

I

J0

u

(r,t)

l

sin

t

2

l 2

J 2

(

)

2

2

2

1

1

J0 (x)

0.5

0

2

x

0.5 0

5

10

15

20

2

5.5201

r

1 l,

r

l

- радиусы узловых линий

1

2

2

1

l

- радиус линии пучностей:

J1 ( 1 ) 0,

1 3.8317

r1

2

J

3

r

0

u (r,t)

I

l

sin t

3

l 2

J 2

(

)

3

3

1

3

1

J0 (x)

0.5

0

x

3

0.5 0

5

10

15

20

3

8.6537

r1

r2

2 l,

r3 l - радиусы узловых линий

1 l,

1

3

3

l,

2

l

- радиусы линий пучностей

7.0156

r

r

2

1

3

2

3