Лекции УМФ (ММФ) 2008

k

k

R1 er (k 1)

b

Pk (cos ) e

b

Pk1 (cos ),

k 2

k 2

k 0

r

k 0 r

p cos

k

u(r, , )

b

((k 1)Pk (cos )sin Pk1 (cos ) cos ),

4 0

k 0 rk 2

1

1 (x)

1

(P

(x) P

(1 x2 )

2 P

(x)),

2 1

1

1

(2 1)xP (x) ( 1)P

(x) ( )P

(x))

1

1

1, k

P (cos )sin

1

(P1

(cos ) P1

(cos )),

k

2k 1

k 1

k 1

P1

(cos ) cos

1

(kP1

(cos )

(k 1)P1

(cos )),

k

2k 1

k 1

k 1

(k 1)P (cos ) sin P1

(cos ) cos P1

(cos )

k

k

k 1

p

b

r

u

u0 ,

- потенциалы полей, создаваемых

u

u, u0

a

индуцированным зарядом и

X 2

диполем, (гамонические функции)

X1

r (b, a)

k

)

r

k

m

)

u(r, ,

( Akm cos m Bkm cos m )Pk (cos

k 0

m 0

k

Ak 0rk P0 (cos ) rk ( Akm cos m Bkm cos m )Pkm (cos ),

k 0

k 1

m 1

u(a, , ) 0

- граничное условие

k

Ak 0ak P0 (cos ) ak ( Akm cos m Bkm cos m )Pkm (cos )

k 0

k 1

m 1

p cos bk

k

2 Pk1 1 (cos ),

40

k 0 a

2

2

cos m cos m d (1 m0 ) mm ,

sin m sin m d mm ,

0

2

0

sin m cos m d 0,

(k m)! 2

0

m

m

kk

Pk (cos )Pk (cos )sin d

(k m)! 2k

1

0

2 Ak 0ak P0 (cos ) 0

Ak 0

0,

Bkm 0

k 0

p m1

k

Akmak Pkm (cos )

b

Pk1 1 (cos ), Akm

0, m 1

40

k

2

k 1

k 0 a

k

1

p cos

bk 1rk

1

u(r,

,

)

cos

Ak1r

Pk (cos

)

Pk (cos

)

4 0

a2k 1

k 0

k 1

p cos

k

k 1

b

r

Pk11 (cos ),

4 0

k 0

a2k 3

p cos

b

k

k

r

k 1

1

b

u(r, , )

Pk 1

(cos ),

r (b, a)

4 0

2

a2k 3

k 0

rk

r a

1

)

Ck 0

P0 (cos

)

u(r,

,

rk 1

k 0

1

k

m

(Ckm cos m Dkm cos m )Pk (cos ),

r

k 1

k 1

m 1

C

0, C

0, m 1,

D 0, C

pbk 1

k 0

km

k1

km

4 0

u(r, , ) 0,

r a

- сфера экранирует поле диполя

b 0,

u

p cos 1

r

,

2

4

a3

0

r2

Er

p cos

2

1

,

E

0,

E

p sin

1

1

4

a3

4

a3

0

r3

0

r3

Уравнения эквипотенциальных и силовых линий в плоскости

X1 X 2

a2

r

dr

rd

sin

2

r3

cos const,

1

const

2

Er

E

3

r

a

r

2a

p

b

r

u

u0 ,

- потенциалы полей, создаваемых

u

u, u0

a

индуцированным зарядом и

X 2

диполем, (гамонические функции)

X1

r (b, a)

k