Лекции УМФ (ММФ) 2008

u(a, , ) 0

- граничное условие

k

Ak 0ak Pk (cos ) ak

( Akm cos m Bkm sin m )Pkm (cos )

k 0

k 1

m 1

p cos bk

k

2 Pk1 1 (cos ),

40

k 0 a

2

(1 m0 ) mm ,

2

cos m cos m d

sin m sin m d mm ,

0

2

0

sin m cos m d 0,

(k m)! 2

0

m

m

kk

Pk (cos )Pk

(cos )sin d

(k m)! 2k

1

0

2 Ak 0ak Pk (cos ) 0

Ak 0

0,

Bkm 0

k 0

p m1

k

Akmak Pkm

(cos )

b

Pk1 1 (cos ), Akm

0, m 1

40

k

2

k 1

k 0 a

k

1

p cos

bk 1rk

1

u(r,

,

)

cos

Ak1r

Pk (cos

)

Pk (cos

)

4 0

a2k 1

k 0

k 1

p cos

k

k 1

b

r

Pk11 (cos ),

4 0

k 0

a2k 3

p cos

b

k

k

r

k 1

1

b

u(r,

, )

Pk 1

(cos ),

r (b, a)

4 0

2

a2k 3

k 0

rk

r a

Ck 0

)

k 1 Pk (cos

)

u(r,

,

k 0

r

1

k

m

(Ckm cos m Dkm sin m )Pk (cos ),

r

k 1

k 1

m 1

C

0,

C

0, m 1,

D 0, C

pbk 1

k 0

km

k1

km

4 0

u(r, , ) 0,

r a

- сфера экранирует поле диполя

b 0,

u

p cos 1

r

,

2

4

a3

0

r2

Er

p cos

2

1

,

E

0,

E

p sin

1

1

4

a3

4

a3

0

r3

0

r3

Уравнения эквипотенциальных и силовых линий в плоскости

X1 X 2

a2

r

dr

rd

sin

2

r3

cos const,

1

const

2

Er

E

3

r

a

r

2a

n

Формулы Грина

X

S

3

x

D 3 ,

D S,

x (x , x , x )

D

D

1

2

3

A(x) C1 (

), n - внешняя нормаль к S.

D

X1

X 2

divA(x)dx ( A(x), n(x))dSx

D

S

- теорема Остроградского-Гаусса

n

divAdx ( A, n)dSx ( A, n)dSx

S

2

n

D

D

S1

S2

div(v u) v 2u ( u, v),

v 2udx

div(v u)dx ( u, v)dx,

D

D

D

div(v u)dx (v u, n)dSx

v

u dSx

D

S

S

n

v 2udx v

u dSx

( u, v)dx

(*)

- первая формула Грина

D

S

n

D

u 2vdx u

v

dSx

( u, v)dx,

D

S

n

D

u

v

(v 2u u 2v)dx v

u

dSx

(**)

- вторая формула Грина

D

S

n

n