Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
МИРЭА - Российский технологический университет
Предмет:
Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Файл:

Лекции УМФ (ММФ) 2008

.pdf
Скачиваний:
147
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
3.05 Mб
Скачать
☆

Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения

X 3 n x S G

X1

X 2

2u ( x,t) a2 2u( x,t) g( x,t),

x G

t2

 

 

 

u( x, 0) u0 ( x),

 

Схема решения, которая

u ( x, 0) u ( x),

использовалась в влучае

t

1

однородно уравнения,

 

«не работает»

u( x,t) 0,

x S.

 

 

 

 

Согласно теореме Стеклова, решение надо искать в виде ряда

 

 

 

u( x,t) Tm (t) X m ( x),

 

m 1

X m ( x)

 

– собственные функции задачи Штурма – Лиувилля для

 

однородного волнового уравнения (предполагаются

 

 

Tm (t) ???

известными)

– функции времени (коэффиценты

ряда Фурье) должны быть найдены

X k

( x) 2u2 ( x,t)dx a2 X k ( x) 2u( x,t)dx X k ( x)g( x,t)dx,

G

 

 

 

t

 

 

 

G

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tm (t) X k ( x) X m ( x)dx a2 Tm (t) X k ( x) 2 X m ( x)dx

t

2

 

 

 

m 1

G

 

 

 

m 1

G

 

 

 

 

X k ( x)g( x,t)dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X k ( x) X m ( x)dx km ,

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

X m ( x)

m X m ( x) 0,

x G

 

2

 

 

 

 

 

 

X m ( x) m X m

( x),

 

 

 

 

 

 

x S

 

 

 

X m ( x) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

kTk (t)

fk

(t), fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

 

 

 

 

 

Tk (t) a

 

G

уравнение вынужденных колебаний

гармонического осциллятора

u0 ( x) Tm (0) X m ( x)

m1

 

 

 

 

(t) X m ( x),

u1 ( x) Tm

m1

 

Tk (0) u0 ( x) X k ( x)dx,

G

Tk (0) u1 ( x) X k ( x)dx.

G

Уравнение и начальные условия для определения функций времени (методом вариации произвольных постоянных)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

2

(t) fk (t),

 

k a

k ,

Tk (t)

k Tk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

Tk (0) ak ,

 

ak u0 ( x) X k ( x)dx,

 

 

 

 

G

 

 

 

 

Tk (0) bk ,

 

bk

u1 ( x) X k ( x)dx.

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

 

 

 

1

t

Tk (t) ak

cos k t

sin k t

fk ( )sin k (t )d

 

 

 

 

 

 

k

 

k

0

Решение этой задачи

Постановка смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения

n

 

 

 

2u

 

2

 

2

 

 

X 3

x

S

t2 ( x,t) a

 

 

u( x,t) g( x,t),

x G

 

 

G

 

u( x, 0) u0 ( x),

 

 

 

 

 

 

 

u ( x, 0) u ( x),

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

 

X1

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

u( x,t) 0,

 

x S.

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

 

1

t

 

u( x,t) ak

cos k t

sin k t

fk ( )sin k (t )d X k ( x),

 

k

k 1

 

 

k

0

 

 

 

 

 

fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

 

 

k a k ,

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

ak u0 ( x) X k ( x)dx,

bk u1 ( x) X k ( x)dx.

 

G G

Эффект резонанса

u0 ( x) 0,

u1 ( x) 0

ak 0,

bk 0,

 

g( x,t) CX m ( x)sin t

 

fk (t) C km sin t,

t

 

 

 

sin k t k

sin t

 

 

sin sin k (t )d

,

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

k

 

 

u( x,t)

m

u( x,t)

C sin mt m sin t X m ( x).

m ( 2 m2 )

C

sin mt mt cos mt

X

 

( x) ,

t .

 

m

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

Под действием периодического внешнего воздействия с частотой , приближающейся к одной из собственных частот m, амплитуда колебаний неограниченно возрастает при t - эффект резонанса.

Решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения

X 3 n x S G

X1

X 2

2u ( x,t) a2 2u( x,t) g( x,t),

x G

t2

 

 

 

u( x, 0) u0 ( x),

 

Схема решения, которая

u ( x, 0) u ( x),

использовалась в влучае

t

1

однородно уравнения,

 

«не работает»

u( x,t) 0,

x S.

 

 

 

 

Согласно теореме Стеклова, решение надо искать в виде ряда

 

 

 

u( x,t) Tm (t) X m ( x),

 

m 1

X m ( x)

 

– собственные функции задачи Штурма – Лиувилля для

 

однородного волнового уравнения (предполагаются

 

 

Tm (t) ???

известными)

– функции времени (коэффиценты

ряда Фурье) должны быть найдены

X k

( x) 2u2 ( x,t)dx a2 X k ( x) 2u( x,t)dx X k ( x)g( x,t)dx,

G

 

 

 

t

 

 

 

G

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tm (t) X k ( x) X m ( x)dx a2 Tm (t) X k ( x) 2 X m ( x)dx

t

2

 

 

 

m 1

G

 

 

 

m 1

G

 

 

 

 

X k ( x)g( x,t)dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X k ( x) X m ( x)dx km ,

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

X m ( x)

m X m ( x) 0,

x G

 

2

 

 

 

 

 

 

X m ( x) m X m

( x),

 

 

 

 

 

 

x S

 

 

 

X m ( x) 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

kTk (t)

fk

(t), fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

 

 

 

 

 

Tk (t) a

 

G

уравнение вынужденных колебаний

гармонического осциллятора

u0 ( x) Tm (0) X m ( x)

m1

 

 

 

 

(t) X m ( x),

u1 ( x) Tm

m1

 

Tk (0) u0 ( x) X k ( x)dx,

G

Tk (0) u1 ( x) X k ( x)dx.

G

Уравнение и начальные условия для определения функций времени (методом вариации произвольных постоянных)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

2

(t) fk (t),

 

k a

k ,

Tk (t)

k Tk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

Tk (0) ak ,

 

ak u0 ( x) X k ( x)dx,

 

 

 

 

G

 

 

 

 

Tk (0) bk ,

 

bk

u1 ( x) X k ( x)dx.

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

 

 

 

1

t

Tk (t) ak

cos k t

sin k t

fk ( )sin k (t )d

 

 

 

 

 

 

k

 

k

0

Решение этой задачи

Постановка смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения

n

 

 

 

2u

 

2

 

2

 

 

X 3

x

S

t2 ( x,t) a

 

 

u( x,t) g( x,t),

x G

 

 

G

 

u( x, 0) u0 ( x),

 

 

 

 

 

 

 

u ( x, 0) u ( x),

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

 

X1

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

u( x,t) 0,

 

x S.

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bk

 

1

t

 

u( x,t) ak

cos k t

sin k t

fk ( )sin k (t )d X k ( x),

 

k

k 1

 

 

k

0

 

 

 

 

 

fk (t) g( x,t) X k ( x)dx,

 

 

k a k ,

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

ak u0 ( x) X k ( x)dx,

bk u1 ( x) X k ( x)dx.

 

G G

Эффект резонанса

u0 ( x) 0,

u1 ( x) 0

ak 0,

bk 0,

 

g( x,t) CX m ( x)sin t

 

fk (t) C km sin t,

t

 

 

 

sin k t k

sin t

 

 

sin sin k (t )d

,

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

k

 

 

u( x,t)

m

u( x,t)

C sin mt m sin t X m ( x).

m ( 2 m2 )

C

sin mt mt cos mt

X

 

( x) ,

t .

 

m

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

Под действием периодического внешнего воздействия с частотой , приближающейся к одной из собственных частот m, амплитуда колебаний неограниченно возрастает при t - эффект резонанса.

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности