Лекции УМФ (ММФ) 2008
.pdfОпределить температуру бесконечной однородной пластины (толщиной h) с круговым цилиндрическим отверстием (радиуса a), если плоские поверхности поддерживаются при нулевой температуре, а цилиндрическая поверхность при температуре u0 (z).
|
|
|
K0 |
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
h |
k |
|
||
u(r, z) |
2 |
|
|
|
h |
|
sin |
k z u0 ( )sin |
d |
||
|
|
k |
|
|
|||||||
|
h k 1 |
K0 |
|
h |
0 |
h |
|
||||
|
|
|
|
h |
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полиномы Лежандра
( , x) (1 2 x 2 ) 12 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
P (x) k |
- производящая функция для |
|||||||||
(0, 1), |
|
x [ 1, 1] |
k 0 |
k |
|
полиномов Лежандра |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
Pk (x) |
- полином Лежандра степени k |
|
|||||||
P (x) |
1 |
|
k (0, x) P (x) 1, |
P (x) x |
||||||
|
||||||||||
k |
|
k ! |
k |
0 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ,1) (1 ) 1 k |
|
Pk (1) 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
Adrien-Marie Legendre |
|
|
|
|
|
|
|
|
1752 - 1833 |
Дифференциальная формула для полиномов Лежандра
Pk (x) |
|
1 |
k k (0, x), |
( , x) |
1 |
(z, x) dz |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- интеграл Коши |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
C |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Im z |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k ! |
(z, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 i |
(z )k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Re z |
|
0 |
|
|
|
|
k |
(0, x) |
|
k ! |
|
(z, x) dz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
2 i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
|
1 |
|
|
(z, x) dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
zk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( x) |
|
||||
Замена |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2xz z2 )12 |
1 z |
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2(1 z ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
dz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
( |
2 |
1) |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dz |
|
|
|
2d |
|
|
(z, x)dz |
|
2 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z, x) |
dz |
|
|
( 2 |
1)k |
|
|
d |
P (x) |
1 |
|
|
( 2 1)k |
d |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
zk 1 |
|
2k ( x)k 1 |
2k 1 i ( x)k 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- формула Шлефли (Schläfli) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d k |
|
(x2 1) |
|
k ! |
L |
( 2 |
1)k |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
dxk |
|
2 i |
( x)k 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
1 |
|
|
d k |
|
(x2 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Pk |
|
|
|
|
- формула Родрига (Rodrigues) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2k k ! dxk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( x) ( 1)k P (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( 1) ( 1)k P (1) ( 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2k 1 (0) P2k 1 (0) |
|
P2k 1 (0) 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) 1, |
|
|
P (x) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральное представление полинома Лежандра
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 |
1)k |
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 i L ( x)k 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 ei , |
|
|
|
d i 1 x2 ei d , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (k 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x) |
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
|
|
1 x2 ei (x i |
|
|
1 x2 sin ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
(x i |
1 x2 sin )k d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x i |
|
|
|
|
|
sin )k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
P (x) |
|
|
|
1 x2 |
d , |
|
|
|
|
|
|
z x i |
1 x2 sin , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
zk |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k , |
|
|
|
|
|
|
(x2 |
(1 x2 )sin2 )12 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
eik arg z , |
|
zk |
|
|
z |
|
|
eik arg z |
|
|
z |
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 1 x2 )12 1 |
|
|
|
zk |
|
1 |
|
|
P (x) |
|
1, |
|
|
|
x [ 1, 1] |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление P2k (0)с помощью интегрального представления
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
k |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||
P2k (0) |
|
|
|
sin2k d , |
Ik sin2k d sin2k 1 d cos |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2k 1) cos2 sin2k 2 d (2k 1)(Ik 1 Ik ), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ik |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
(k 12)(k 3 2) 3 |
2 12 |
|
2 |
|
(k 12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
Ik 1, |
Ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k(k 1) 2 1 |
|
|
|
( 12) (k 1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
|
|
|
2 |
|
I |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k 1 |
|
|
k 1 |
|
k 2 |
P2k (0) ( 1)k |
( 12)k |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)k |
|
|
|
(a k) |
||||||
I2 |
|
|
3 2 |
|
I1 , |
|
|
|
|
|
|
(a)k a(a 1) (a k 1) |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I1 |
|
12 |
|
|
I0 |
|
12 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- символ Похгаммера, |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекуррентные формулы
( , x) (1 2x 2 ) 12 , |
|
( , x) (x )(1 2x 2 ) 3 2 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2x 2 ) |
|
|
( x) 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , x) Pk (x) k , |
|
( , x) |
kPk (x) k |
1, |
|||||||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kPk k 1 2x kPk k kPk k 1 Pk k 1 x Pk k 0, |
|||||||||||||
k 0 |
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
(k 2)P |
k 1 2x |
|
(k 1)P |
k 1 |
|
||||||
1 |
|
k 2 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k 1)Pk k 1 xP0 x Pk 1 k 1 0 |
|
||||||||||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
[(k 2)Pk 2 (2k 3)xPk 1 (k 1)Pk ] k 1 0
k 0
(k 2)Pk 2 (2k 3)xPk 1 (k 1)Pk 0 (k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0 (1)
- рекуррентная формула для полиномов Лежандра
P0 (x)
P (x)
1
P2 (x)
P3 (x)
P4 (x)
1
x
12
12
18
(3x2 1)
(5x3 3x)
(35x4 30x2 3)
1 |
|
|
P0 |
(x) |
|
|
|
P3 (x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
P (x) P (x) P (x) |
|
||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
1 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
Вычисление |
P2k (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
с помощью рекуррентной формулы |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(k 1)Pk 1 (x) (2k 1)xPk (x) kPk 1 (x) 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2kP2k (0) (2k 1)P2k 2 (0) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(0) |
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
2 |
P |
|
(0), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
k 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P |
|
|
2 |
P |
|
|
(0), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2k |
|
|
... |
|
2k 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P (0) |
3 2 |
|
P (0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
P (0) |
12 |
|
P (0) |
12 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P2k |
(0) ( 1) |
k (k 12)(k 3 2) |
3 2 |
12 |
|
( 1) |
k (k 12) |
( 1) |
k ( 12)k |
|||||||||||||||||||
|
k(k |
1) 2 1 |
|
|
|
|
( 1 |
2 |
) (k 1) |
|
(1) |
k |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные полиномов Лежандра |
|
||
( , x) (1 2x 2 ) 12 , |
|
( , x) (1 2x 2 ) 3 2 |
, |
|
x |
|
|
(1 2x 2 ) |
|
0, |
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
(1 2x |
2 |
) |
|
( x) 0, |
|
||
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
( x) |
|
0, |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
умножение и вычитание
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x) Pk (x) k |
kPk (x) k 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
k 0 |
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
(k 1)Pk 1 |
|
k 1 |
0, |
||
Pk |
|
|
xP0 |
x (k 1)Pk 1 |
|
|
||||
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|
k 0 |
|
|
|